精品解析：河南郑州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷（四） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，虚部为． 2. 如图，是水平放置的的直观图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，原图中垂直于x轴的直线变为与x轴夹角为，原来平行于y轴的直线长度变为原来的，根据这个关系计算即可． 【详解】由直观图可知，，因为，，故， 故，则． 3. 已知随机事件和相互独立，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【详解】因为和相互独立，所以 4. 记的内角A，B，C的对边分别是a、b、c，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理知，则， 所以的面积. 5. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】由题意可知 . 6. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 7. 某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先按分层抽样比例确定男女生样本量，再计算总样本平均数，最后代入分层总方差公式求解即可. 【详解】确定样本中男女生人数：按比例分层抽样， 男生样本量，女生样本量， 则总样本均值， 根据分层总方差计算公式， 代入数值计算 . 8. 在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意得，， 所以的内切圆半径为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量和对应的复数分别为和，则下列选项正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. ，之间的距离为 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用复数乘法法则计算出，从而得到A正确；B选项，利用两点距离公式进行计算；C选项，由进行计算；D选项，表示点到圆上点的距离，从而得到最小值 【详解】A选项，，， 故， 所以在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，A正确； B选项，，，之间的距离为，B错误； C选项，，C正确； D选项，，位于圆心为原点，半径为的圆上， 而表示点到圆上点的距离， 故为圆心与的距离减去半径，即，D正确. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数为3或4”，事件为“点数小于4”，下列说法正确的是（ ） A. B、C是相互独立事件 B. A、B是互斥事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先明确样本空间和各事件对应的基本事件集合，再结合互斥事件定义、相互独立事件定义、古典概型概率公式逐一判断选项 【详解】样本空间，由题意得，，， 选项A：，，，故，满足，因此B、C是相互独立事件，A正确； 选项B：，不满足互斥事件交集为空的要求，故A、B不是互斥事件，B错误； 选项C：，共包含4个基本事件，故，C错误； 选项D：，故，D正确. 11. 在长方体中，底面是边长为3的正方形，点在棱上，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面面积为 C. 三棱锥外接球的体积是 D. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面正方形的交线长为 【答案】BD 【解析】 【分析】过作于，过作底面垂线，利用勾股定理构造方程求出，判断选项A；找出截面图形，求出上下底及腰长和高，进而计算截面面积，判断选项B；确定三棱锥的垂直结构，求出底面外接圆半径，进而求出外接球半径，再利用体积公式计算求解，判断选项C；求出球心到平面距离，算出底面截得小圆半径，再判断该圆落在正方形内的弧，进而计算弧长，判断选项D． 【详解】过作于，由长方体性质知，设， 则， 在中，， 在中，， 两式相减得，解得，则， 故，故A错误； 在上底面过作，交于，由得， 故四点共面， 由，，相似比为，则， 下底， 腰长，等腰梯形的高， 故截面积为，故B正确； 三棱锥中，平面，由余弦定理，故， 由正弦定理，故， 外接球的球心到平面的距离为， 故外接球半径，故， ，故C错误； 球心到底面的距离为，球半径为， 球面与底面交线为圆，截面半径， 截面圆圆心为在底面的投影，在正方形的边上， 故此圆的右半圆在正方形内，交线为半圆，弧长， 故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义和公式求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为， ，， 代入计算，得到. 故答案为：. 13. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，其中，，，则球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】将对棱相等的三棱锥补形为长方体，其外接球与长方体外接球一致，通过长方体面对角线的关系求出外接球半径，进而计算表面积. 【详解】由于三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三棱锥的六条棱对应长方体的六个面对角线，二者的外接球为同一个球.如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为，球的半径为，根据题意可得： 将三式左右两边分别相加，得，即. 长方体的体对角线长度等于其外接球的直径，因此，解得. 根据球的表面积公式，代入得. 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定总基本事件数，根据题意列不等式并化简不等式， 分类讨论符合条件的事件数，确定概率. 【详解】有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为， 设三次抽取数字为，则前两次平均数， 三次平均数，代入， 得：， 整理得：，即， 由于是整数，所以为整数， 因此不等式等价于：， ：，共种（按和为讨论）； ：，共种； ：，共种； ：，共种. 符合条件的总事件数为. 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）若为纯虚数，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，解得， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由题意得，解得， 故，. 16. 马拉松起源于古希腊，最早是为了纪念公元前490年马拉松战役中希腊胜利的消息而设立的．根据传说，希腊战士菲迪皮茨从马拉松跑到雅典，报告胜利消息，最终疲惫不堪倒毙于此．现代马拉松于1896年复兴，此后逐渐演变为全球最具影响力的马拉松赛事之一．马拉松不仅是一次体育竞技，更是一种文化象征，它代表着挑战自我的精神、永不放弃的毅力和团结一心的团队精神．2026年3月29日郑州市马拉松成功举办，赛道串联郑东新区CBD、商城遗址、二七纪念塔等城市地标．一单位承办了本次马拉松赛事志愿者选拔的面试工作，现随机抽取1000名候选者的面试成绩，并分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）若面试成绩的前为优秀候选者，试估计优秀候选者的入围分数线． （2）承办单位采用分层抽样的方法从得分在和的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行复试，求抽取的2人得分均在内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： ，， ，， ，， 因为面试成绩的前为优秀候选者，即成绩较高的， 而成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以优秀候选者的入围分数线在内， 设入围分数线，则，解得， 故估计优秀候选者的入围分数线为分. 【小问2详解】 得分在和的两组频率之比为, 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人， 则从组中抽取的人数为人，记为； 从组中抽取的人数为人，记为, 从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况有： ， 共15种． 其中抽取的2人得分均在内的情况有 ，共6种． 故所求概率． 17. 已知分别是三个内角的对边，且. （1）求角． （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式、两角和与差的正弦公式以及辅助角公式即可求出结果； （2）结合正弦定理、辅助角公式以及两角和与差的正弦公式，根据锐角三角形来进一步确定角的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，， 由正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以或， 所以或（舍去），故. 【小问2详解】 由（1）知，， 由正弦定理得，， 所以， 所以 ， 又是锐角三角形，且， 所以，解得， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形是直角梯形，，，且，，，为的三等分点（靠近点）． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取靠近点的三等分点为，连接，先得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）结合勾股定理和线面垂直的判定定理得到平面，取靠近点的三等分点为，连接，得到平面，根据平行线段比例求得的长，将三棱锥的体积转化即可求解； （3）作出二面角的平面角，然后解相关三角形即可求出结果. 【小问1详解】 如图，取靠近点的三等分点为，连接， 因为为的三等分点（靠近点），所以且， 又，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 取靠近点的三等分点为，连接，则， 所以平面，且， 所以三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 过点G作，垂足为H，连接， 由于平面，平面，故，， 平面，故平面， 则即为二面角的平面角， ，则，而，故， 又，故，则在中，， ， 即二面角的正弦值为. 19. 规定平面向量旋转变换规则：将向量绕起点沿逆时针方向旋转角，得到向量；绕起点顺时针旋转角，等价于逆时针旋转角． 在平面直角坐标系中，已知点，点，记点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点，点绕点顺时针旋转得到点． （1）求点和点的坐标； （2）设点为平面内任一点，且．若，求值． 【答案】（1） ，. （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求得向量的坐标，再依据题目给出的旋转变换规则，分别计算旋转后对应向量、的坐标，结合点的坐标即可得到的坐标. （2）由可知点在直线上，结合三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到的取值. 【小问1详解】 ∵ 点，，∴ . 点绕顺时针旋转得到，等价于绕逆时针旋转得到， 因为，， 故 的横坐标为， 纵坐标为， 即，故可得. 点绕逆时针旋转得到，绕顺时针旋转得到，等价于逆时针旋转得到， 因为，， 故 的横坐标为， 纵坐标为， 即，故. 【小问2详解】 ∵ ，，∴ 点在直线上. 由得，且直线的方程为， 设点横坐标为，则的面积， ∵ ，∴ ，得. 又，，， 得， ∴ ，解得， 所以或 【点睛】方法归纳：本题属于向量新定义运算题型，解题核心为准确理解旋转变换规则，旋转不改变向量模长，可先合并旋转角度简化计算；对于共线向量的线性组合，可直接判断在直线上，结合几何性质求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷（四） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件和相互独立，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.9 4. 记的内角A，B，C的对边分别是a、b、c，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（ ） A. B. C. D. 8. 在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量和对应的复数分别为和，则下列选项正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. ，之间的距离为 C. D. 若，则 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数为3或4”，事件为“点数小于4”，下列说法正确的是（ ） A. B、C是相互独立事件 B. A、B是互斥事件 C. D. 11. 在长方体中，底面是边长为3的正方形，点在棱上，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面面积为 C. 三棱锥外接球的体积是 D. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面正方形的交线长为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______． 13. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，其中，，，则球的表面积为________． 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）若为纯虚数，求． 16. 马拉松起源于古希腊，最早是为了纪念公元前490年马拉松战役中希腊胜利的消息而设立的．根据传说，希腊战士菲迪皮茨从马拉松跑到雅典，报告胜利消息，最终疲惫不堪倒毙于此．现代马拉松于1896年复兴，此后逐渐演变为全球最具影响力的马拉松赛事之一．马拉松不仅是一次体育竞技，更是一种文化象征，它代表着挑战自我的精神、永不放弃的毅力和团结一心的团队精神．2026年3月29日郑州市马拉松成功举办，赛道串联郑东新区CBD、商城遗址、二七纪念塔等城市地标．一单位承办了本次马拉松赛事志愿者选拔的面试工作，现随机抽取1000名候选者的面试成绩，并分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）若面试成绩的前为优秀候选者，试估计优秀候选者的入围分数线． （2）承办单位采用分层抽样的方法从得分在和的两组中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行复试，求抽取的2人得分均在内的概率． 17. 已知分别是三个内角的对边，且. （1）求角． （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形是直角梯形，，，且，，，为的三等分点（靠近点）． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值． 19. 规定平面向量旋转变换规则：将向量绕起点沿逆时针方向旋转角，得到向量；绕起点顺时针旋转角，等价于逆时针旋转角． 在平面直角坐标系中，已知点，点，记点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点，点绕点顺时针旋转得到点． （1）求点和点的坐标； （2）设点为平面内任一点，且．若，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $