河南开封市五校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

开封五校2025~2026学年下学期期末考试 高一数学 考生注意： 1.本议暮分逃操随和非遮择道两部分。满分150分，考试时间120分仲。 2.冬题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密讨线内项目填写清旋。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题日的答案标号涂黑：非选择題请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上 各題的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人救A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数=(2i一1)(3+i)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知A(1,4),B(5,一4)，点P满足PA=AB,则P的坐标是 A.(-4,12) B.(-3,-14) C.(-4,-14) D.(-3,12) 3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个 球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中 约有红球 A8个 B.10个 C.12个 D.14个 4.已知a,B是两个不同的平面，m是一条直线，且mCa,则“m⊥β”是“a⊥B”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知圆台的上、下底面直径长分别为2,8，侧面积为25π，则该圆台的体积为 A.84π B.68π C.36π D.28π 6.在正四棱台ABCD-A,B,CD1中，AB=6.A,B1=2,高为1，则直线A,B与AC所成角的余 弦值为 A. 42 要 c n哥 【高一期末考试·数学第1页（共4页）】 26-L-699A 7.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法渊養了S0名高一 学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和0，女生身高的平均数和方差 分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为 A168.35 B.168,20 C169.6,35 D.169.6.20 8.设向量a,b的夹角为0，定义a⊙b=|allblsin0,已知平面内五不相等的两个非零向量m,n 满足|ml=√2，且(m-)与n的夹角为135°，则m⊙n的最大值为 A号+2 B号+1 C.√2+2 D.√2+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：26,29,27.29,26,29,33,33，则这8个数 据的 A.极差为7 B.众数为29 C.中位数为27.5 D.平均数为29 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB十tanC=tan Atan Btan C C.若a=4,b=5,B=T,则符合条件的△ABC有2个 D.若cos2B>cos2A+sin2C,则△ABC为钝角三角形 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD,中，E为棱CC,的中点，F为线段A:B上的 动点（含端点），则下列结论正确的是 A.过A,D,E三点的平面截正方体ABCD-A,B,CD,所得的裁面的 D 面积为号 B.存在点F,使得EF∥平面ADC C.当F在线段A,B上运动时，三棱锥C-AFD1的体积不变 D.FA十FC的最小值为2W2十√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)=0.6,P(C)=0.7,则P(BC)= 13.已知向量a=(m,1),b=(m十1，一2)，若向量a,b的夹角为饨角，则实数的取值范围 为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.S为△ABC的面积，且2S=a2一(b-c)2,则 十C的取值范围为 【高一期末考试·数学第2（共4贞）】 26-L-699A 血、解答题：本题共5小题，共77分。覦答应写出文字说明、证明过程或调算步隙。 15.(本小题满分13分) 已知复数e=1+i是关于r的方程r2十ar十b=0(u.b∈R)的一个根，复数x=a十i (1)求|上1， (2)若复数=，+(m-1)+(m-2)i(m∈R)为纯虚数，求号。 16.(本小题满分15分) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2∠BAD=苓，点E是DC的中点. (1)用B.A.BE表示BD,AC (2)若点F是BE的中点，求DA·AF的值 17.(本小题满分15分) 为了满足游客需求，提供更好的旅游体验，某市文旅局在各景区共设置了1000个特色摊 位.为调查这些摊位的服务情况，随机抽取了100个摊位进行评分（满分：100分，评分越高 服务越好，评分均在[50,100]内).根据评分，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求n的值 4频率 (2)该文旅局准备制定一个评分分数，给达到这个分数0.036 组距 的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书，若恰有30%的摊 0.024 位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数； 0.020 (3)为进一步提高摊位服务质量，该文旅局拟用分层随 机抽样的方法从样本中[50,60)，[90,100]两个区间0.008- 内抽取5个摊位，再从这5个摊位中随机抽取2个进 0V5060708090100评分/分 行交流学习，求这2个摊位来自不同区间的概率， 【高一期末考试·数学第3页（共4页）】 26-L-699A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ab,(,且sinB-sinC=(sinA+sinC)(o二O (1)求A: (2)若b=2,△ABC的面积为3y5, 21 (1)求△ABC的周长： ()若点D是边BC上的-点，记△ABD的面积为S△ACD的面积为S,求当号十 取得最小值时，AD的长. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=号，平面MAB ⊥平面ABCD.MA⊥MB,点E,F分别是CD.BD的中点. (1)求证：平面MAB⊥平面MBE: (2)求三棱锥M-ABD外接球的表面积： (3)设MF与平面ABCD所成角为0，求 cos的取值范围， 【高一期末考试·数学第4页（共4页）】 26-L-699A开封五校2025~2026学年下学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由(2i一1)(3十i)=-5十5i,得复数之在复平面内对应的点为（一5,5），位于第二象限.故选B. 2.D因为PA=AB,所以OA-O=O市-OA,即O°=2OA-Oi=(-3,12),所以P的坐标为(-3,12).故 选D. 3.C设袋中红球有x个，由题意可得g千x0.6,解得x-12,所以袋中约有红球12个.故选C 4.A若m⊥B,又mCa,所以a⊥B,所以“m⊥3”是“a⊥3的充分条件.若a⊥B,则m与B可能平行，所以“m⊥” 不是“a⊥”的必要条件.所以“m⊥3"”是“a⊥3”的充分不必要条件.故选A 5.D设圆台的母线长为，又圆台的上、下底面直径长分别为2,8，侧面积为25π，所以25π=π(1+4)l,解得 l=5,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示： 作CE⊥AB与E,则CE为圆台的高h, D O:C O E 且h=√5-(，2)=4，所以圆台的体积V=号(xX1+x×+√XPXx×④)×4=28元放选D. 6.B在正四棱台ABCD-A1B1CD1中，AB=6,AB1=2,所以AC=6√2，AC=2√2，又高为1，所以AA= (222)十1？=3，过点A作AB的垂线，垂足为E,易得AE=2,EB=4,所以AE=√AA=AE =√5，AB=√EB+AE=√2I,同理可得BC=√2I.因为AC∥A,C,所以∠CAB为直线AB与AC 所成角或补角，在△C1AB中，BC=√2T,AB=√2I,AC=2√2，由余弦定理得cos∠CAB= CA+A-CE_2D)+（)（)=厘，即直线AB与AC所成角的余弦值为里 2CA1·A1B 2×22×√/21 21 211 故选B. ?A由题意知，样本中男生30人，女生20人，样本的平均数为00×172+0”0×162=168，样本的方 差为器×[9+(172-163)]+器×[14+(162-168)y]=35,放选A &.D设∠AOB=0,Oi=m,O克=n,则m-n=BA,因为(m-m)与n的夹角为135，则∠OBA=年，∠OAB= 华-a由正孩定理E所以a=反cs0十Esin0.mOn=-E万cas反sn0)sng= sinm(-0）sn年 【高一期末考试·数学参考答案第1页（共6页）】 26-L-699A sn20+1-cos20=1+②sin(20-于)≤厄+1.当0=餐时，取得最大值，所以m⊙n的最大值为2+1.故 选D. 9.ABD由题意知极差为33一26=7，故A正确：众数为29，故B正确：将这组数据从小到大排列为：26,26,27， 29,29,29,33,33,所以中位数为29,29=29，故C错误：因为26X2+27+29X3+33X2=29,所以平均数为 2 8 29,故D正确.故选ABD 10.BD因为acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,所以sin2A=sin2B,所以A=B或2A+ 2B=x,即A十B=交，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；由△ABC不是直角三角形且A=- B+O,则anA=-anB+C=一巴品C,所以mA十amB+mnC=on At Buan C..故B正 确：因为asin B=2√2，又b=5>a,b=5>asin B,所以符合条件的△ABC有1个，故C错误：因为cos2B> cos2A+sinC,所以1-sinB>1-sinA+sinC,即sinA>sinB+sinC,由正弦定理得a2>+c2,所以 osA=士4<O,所以受<A<,即△ABC为钝角三角形，放D正确，故选BD, 2bc 11.ACD对于A,取BC的中点G,连接AG,GE,ED,DA,则四边形AD,G即为所求截面，显然四边形ADEG 为等腰梯形，AD,=2B,G=反，AG=DE=√牛币=6，梯形的商A=VG-(四可 √5-（号）3，所以面积为S=DGh (22+2).3V2 2 、9 2 2 ，A正确：对于B,过E与平 面AD1C平行的直线都在过E与平面AD,C平行的平面内，易知过E与平面AD1C平行的平面截正方体 ABCD-A,B1CD的截面为如图所示1的六边形EGHIJK,其各顶点都是正方体的相应棱的中点，由于 A,B∥IH,A,B不在平面EGHIJK内，所以平面EGHIJK与直线A1B平行，所以平面EGHIJK与线段 A,B没有公共点，B错误；因为AB∥DC,D,CC平面ADC,AB不在平面AD1C内，所以AB∥平面 AD1C,又因为F∈AB,所以F到平面AD1C的距离为定值，又因为△ADC的面积为定值，所以当F在线 段A1B上运动时，三棱锥C-AFD1的体积不变，C正确；将矩形A1DCB展开到与等腰直角三角形A1AB 在同-平面内，如图2所示，FA+FC≥AC'=√/2+2-2×2×2×（ -号)=2√2+V2,当A,F,C共线 时取等号，D正确.故选ACD. H 图1 图2 【高一期末考试·数学参考答案第2页（共6页）】 26-L-699A 12.0.28因为A与B对立，所以P(B)=1一P(A)=1-0.6=0.4,又B与C相互独立，所以P(BC)= P(B)P(C)=0.4X0.7=0.28. 13.（-2,-号)U(-3,1）由a·b=m(m+1)-2<0,得-2<m<1.当a/b时，有m十1=-2m,解得 m=- 子，此时向量a,b的夹角为，所以实数m的取值范围为（一2，-子）U(-子，1)》 14[2,腊) 在△ABC中，由余弦定理得a2=B+e2-2cosA,且△ABC的面积为S=-besin A,由2S=d -(b-c)2,得bcsin A=2bc-2 becos A,化简得sinA十2cosA=2,又A∈(0，)，sim2A十cos2A=1,联立得 5imA4如A=0,解得A=音或mA=0(含去)，所以名=8=如先9= sin C sin C 如AcC结巴A血CC计号，因为△AC为俊角三角形，所以0<C<受：B=AC<受，所以 sin C 吾-AC<受，所以tan Ctan(受-A)=A景所以c(o,号)，所以∈（得，号）设兰 1,中（停·导），所议装-总+云-什片由对勾函数单粥性知)=1十在（导）上单新运谈。 在(1，)上单调速增，当1=1时y=2:当=号时=酷：当1=号时=器所以)[2)，即 的取值范围是[2，). 15.解：(1)由题知(1+i)2+a(1+i)+b=0, …1分 整理得(a十b)十(a十2)i=0,… …3分 a+b=0, a=-2, 则 解得 5分 a+2=0, b=2, 所以必=一2十2i,.… ....a 6分 |=W(-2)2+22=22. 7 分 (2)由(1)知，x2=1+(m-1)+(m-2)i=(m-3)+mi, m-3=0, 因为复数2为纯虚数，所以 解得m=3, 9分 m≠0. 所以心2=3i,…… 10分 所以第+ 13分 16.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，点E是DC的中点， 所以市=B,C范=Bi所以励-萨+市-萨+2； 3分 AC-BC-Bi=庇+E武-BA-成-C成-BA-成-BA-BA-成-BA. …6分 【高一期末考试·数学参考答案第3页（共6页）】 26-L-699A (2)因为A=A店+萨-A+成-A+之C+C)=AB+之(A市+BA)=A市+A成， …9分 所以Di·A=-A市.（合A亦+是A)=-A亦-￥成.A亦合×1-是×1X2o吾=-是 15分 17.解：(1)根据题意可得(0.008十0.020+0.024十0.036十)×10=1，解得n=0.012. ……3分 (2)设应该制定的评分分数为m分，则在频率分布直方图中，直线x=m右边小矩形的面积和为0.3， [90,100]的小矩形面积是0.12，[80,90)的小矩形面积是0.20， 则m在[80,90)内，于是0.12+(90-m)×0.02=0.3,解得m=81, 所以应该制定的评分分数为81分.… 8分 (3)由频率分布直方图，可得[50,60)的频率为0.08，[90,100]的频率为0.12， 用分层随机抽样的方法从[50,60)，[90,100]两个区间中共抽取5个摊位， 则从[50,60)抽取2个摊位，记为a,b,从[90,100]中抽取3个摊位，记为1,2,3，…10分 从这5个摊位中依次随机抽取2个，则该试验的样本空间2={(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2), (b,3),(1,2)(1,3),(2,3)},共10个基本事件， 设事件A=“这2个摊位来自不同区间”，A={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)},共6个基本事件， 14分 放PA)=品子 …15分 18.解：(1)因为sinB-sinC=snA十inC)(a-。,由正弦定理，得6-c=a十c)a-。, b b 即你十c心-d=c,所以cosA+正=条-号 2bc 26c 2' 4分 又A∈(0，x),所以A=晋 5分 (2(1)Sc=号esin A=-7cX2x9-35,解得c=3.… 2 2 7分 由余弦定理，得d2=+2-2 tcos A=4+9-2X2×3×号=7，所以Q=√万， …9分 所以△ABC的周长为a+b+c=√7+2+3=√7+5. 10分 (i)设BD=√7m,CD=7n,m+n=1,m,n∈(0,1)， 所以g边=”=m,则S=Sam=mSa,所以兮mS2 2W3 S△ABC√T 11分 9m 同理可得S一nS△c 1 _23 9n …12分 所以号+5-1盟+额-25（品+）2（是+）m+w2(兴+兴+10) 9m 91 【高一期末考试·数学参考答案第4页（共6页）】 26-L-699A 9 当组仅当器-兴即=子m=子时等号成立， 14分 所以CD=互 4 又在△ABC中，0sC=2+F-C=7+4-9厄 2ab 2×27 14 在△ACD中，AD=AC+CD-2 ACXCDc-=4+(?)-2X2×9×得-器 所以AD=3Y7 4 17分 19.(I)证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD-冬，所以△BCD是等边三角形，AB/CD, 因为点E是CD的中点，所以BE⊥CD,BELAB.…1分 因为平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面ABCD=AB,BEC平面ABCD,BE⊥AB,所以BE⊥平面 MAB,……3分 又BEC平面MBE,所以平面MAB⊥平面MBE.……4分 (2)解：因为△MAB为直角三角形，平面MAB⊥平面ABCD,所以三棱锥M-ABD的外接球球心一定在平 面ABD内，且为△ABD的外心.… …6分 因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=苓，所以△ABD是等边三角形，BD=AB=2,由正弦定 理，得2R= BD D4号(R为△ABD的外接圆半径)，解得R=2,即三棱锥M-ABD的外接球半径 sin∠BAD3 为2 3 8分 所以三棱锥M-ABD外接球的表面积为4红（②零）=1。 9分 (3)解：取AB的中点G,作MN⊥AB,垂足为N,连接MG,FG,FN. 因为平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面ABCD=AB,MNC平面MAB,MN⊥AB,所以MN⊥平面 ABCD,∠MFN为MF与平面ABCD所成的角，∠MFN=Q. …11分 ①若N在线段GB(不含端点)上，如图1，设∠MGN=a,a∈(0，受)， 因为MALMB,G为AB的中点，所以MG=号AB=1,MN=sina,GN=osa, 因为F,G分别是BD,AB的中点，所以FG∥AD,FG=2AD=1,又∠BAD=号，所以∠FGN=苔，由余 弦定理，得NF=1十cos2a-cosa, 【高一期末考试·数学参考答案第5页（共6页）】 26-L-699A 所以c00am0+1十十cosa一oa sin a 2-cos a +1-1+cos a-cos a 令2-cosa=,由a∈(0，受)，得1∈(1,2)， 1 1 所以03+-32V√ 25+3,当且仅当1=B,即c0sa=2-5时取“=” 3 -3 又1∈1,2)，所以的取值范周为(1,25+3] …14分 M 图1 图2 ②若N在线段GA上（不含端点），如图2，设∠MGN=P,8E(0,受)， 因为MG=1,所以MN=sinB,GN=cosB, 又FPG/AD,∠BAD=号，所以∠PGN=要，h余弦定理，得NPF=1+coS计osR 所以0m0+1器+1=1中2月1=中群8 sinB 2+cos B 令2+cos=s,由e(0,受)，得s∈(2,3)，所以 1 o30g2-36+3+3-3 令=+是-3e(2,3),任取∈23)s< 则y一为=十3 --3=5-2+392=s-》s19-32 5S2 S的S2 S1 S2 因为51，∈(2,3)，<，所以5一<0，>4，故3为一为=-）59-3》<0，即为<2， S1S2 所以y=十至-3在s∈(2,3)上单调递增，且)∈（分1），所以的取值范围为1,2).…16分 ③若N与G重合，则MN=MG=1,NF=FG=1, os20 n0+1-x+1=2 综上所述，的取值范围为(1,2+3] 17分 3 【高一期末考试·数学参考答案第6页（共6页）】 26-L-699A