安徽省六安第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 试卷以卫星导航干扰测试、企业产值回归分析等真实情境为载体，融合统计、函数、概率等知识，体现数学应用与思维梯度，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|散点图相关系数、集合、函数比较|基础概念与图像分析结合| |多选|3/18|正态分布、概率决策、函数性质|选项分层考查批判性思维| |填空|3/15|导数计算、数学期望、不等式最值|小切口深挖掘| |解答|5/77|回归分析、函数导数综合、概率分布|如企业产值预测（数据观念）、卫星干扰概率计算（模型意识），凸显应用与逻辑推理|

六安一中2026年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B．8 C．16 D． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若，都是正数，且，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C． D． 5．某中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（     ） 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C．依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001 D．没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 6．（ ） A． B． C． D． 7．已知定义域为,（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9．大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，，则（     ） 参考数据：若，则，0.9973． A． 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 10．在年六安某中学的答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判．主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会．记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项．则下列说法正确的是（     ） A． B． C．换号后答对概率增大 D．换号后答对概率不变 11．已知函数则（ ） A．，是减函数 B．，的对称中心为 C．若有三个不同的零点，则 D．过点（0，m）且与曲线相切的直线恰有3条，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数,则_________． 13．有4个相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记为这4个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________. 14．已知均为正数，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某私营企业积极发展新质生产力，积极生产新能源产品，并设定了年产值超过320万元的目标，该企业近5年的产值（单位：万元）与年份如下表所示． 2021 2022 2023 2024 2025 235 246 256 277 286 （1）求2021年至2025年该企业产值的平均值； （2）设，用模拟与的关系，求出经验回归方程，并推测该企业在哪一年可以实现目标． 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：． 16．（本小题满分15分） 已知命题“存在，使得”为假命题. （1）求实数的取值集合A. （2）设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（本小题满分15分） 已知函数， （1）若的值域为，求满足条件的整数的值； （2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19．（本小题满分17分） 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性;科研团队进行了一项模拟测试.测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号.已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为.当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然.设为该时段内被激活的干扰源数量. （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率; （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值.记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值,且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误值的和.若的分布列与期望. 六安一中2026年春学期高二年级期末考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A C C B B A ACD BC BCD 12．2 13. 14．1 7．B 【详解】令得；令，所以是偶函数，令①，故②，由①②知的一个周期是6.由②得所以所以，又由周期性和偶函数可得：所以所以故选B. 8．【详解】令恰有6个零点，等价于，所以 ，要满足有6个实数根，则需即故的取值范围为故答案为： 11．【详解】A选项错误.B选项可证明恒成立，也可令二阶导为0求对称中心横坐标,B选项正确.,若有三个不同的零点则关于的方程有三个不等实根显然其中一个根为0，不妨记，则是关于的方程的两个不等实根，，则，所以，故C正确.设切点坐标为，因为，所以，则切线方程为，将代入得，令，则过点且与曲线相切的直线恰有3条.等价于直线与函数的图像有3个交点.=，令，得或.当时，，函数单调递减；当或时，，函数单调递减，又，，当时，，所以作出的大致图象，如图所示，作出直线，由图可知，，故D正确. 14．【详解】 15．（1）计算5年产值的总和：235+246+256+277+286=1300；平均值为 答：2021年至2025年该企业产值的平均值为260万元 .……4分 （2）由可得对应的取值为计算回归系数，计算截距： 因此经验回归方程为 ……11分 ，代入回归方程得：，取最小正整数，对应.答：推测该企业在2028年可以实现年产值超过320万元的目标.……13分 16．【详解】（1） …7分 （2）先证：，证明：设单减，…………………15分 17．【详解】 （1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，，当时，，其值域为，不满足条件，当时，令，则函数的对称轴为，当时，，即的值域为，所以，解得，当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，综上所述，，所以满足条件的整数的值为；…………………7分 （2）因为函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得或，由函数不是常数函数，所以，经检验，符合题意，即，由，，，得，，，只要即可，当时，，所以函数，则，，令，因为，所以，函数，当时，，则时，恒成立，符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，不等式组无解；当，即时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，解得，综上所述，的取值范围为.……………………15分 18．【详解】 （1）由题意知.若，则，所以.令，得.当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于.…3分 （2）因为，所以，由，即，解得或，所以在和单调递增；由，即，解得，所以在单调递减；故的单调增区间为和.………………6分 （3）（i）当时，由（2）知，在和单调递增，在单调递减，此时有极大值为；当时，恒成立，故在上单调递增，没有极大值；当时，，令，解得或，令，解得，故在单调递增，在单调递减，在单调递增，此时，有极大值；当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，没有极大值；综上所述，若有极大值，则；…11分 （ii）证明：当时，由上述分析可知，；当时，；令，所以，在上，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故，综上所述，.…17分 19．【详解】（1）记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件，“该时段至少发生了2次信号误差”为事件，由题知，，，，   ，，   故所求概率为．…………5分 （2）每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为，3个全被激活的概率为．   连续测试3个时段后停止测试有2种情况：①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为，   ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个，第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个，概率为，   故所求概率为．……10分（3）因为的分布列为，，，，的所有可能取值为2，4，8.所以，所以，   所以，，，的所有可能取值为4，6，8，10，12，16．    ，， ，， ，，    所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以．…………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $