26.3二次函数与一元二次方程暑假预习同步训练 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程关系，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合推理的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数与x轴交点判定、根与系数关系|选择1-4、填空9-10，直接应用判别式与韦达定理，强化概念理解| |中档|图像与方程根的对应、不等式解集|选择5-7、填空11-12，结合图像分析根的分布，提升几何直观能力| |提升|综合应用与动态问题|选择8、解答13-18，涉及参数讨论、存在性问题，发展推理能力与应用意识|

第10讲26.3二次函数与一元二次方程暑假预习同步训练 新人教版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.若二次函数=r-4r+2(a≠0 的图象与轴没有交点，则“的取值范围为() A.a>2 B.a<2 C.a>-2 D.a<-2 2.已知抛物线 =r+x+C(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 -5-20713 A.abc>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 3.已知抛物线'=-+2x+3+c(1≤x≤3 与直线’=x+1有唯一的交点，则的取值范 围是()· A6=号 B.c24 C0scs4或e= 4 D.0<c54政c=g 4 =x2- 4.二次函数 的图象与轴交于A,B两点，则线段1B的长是() A.3 B.6 C.9 D.18 5.二次函数y=+br+C的部分图象如图所示，则方程(x+3)+b(x+3)+c=2根是( ) 2 x=0.5 Ax4,52=-3 B.-3,5=-2 c.=-2,5=-1 D.=-山5=0 6.已知抛物线y=2r+r-b与轴交于点1(，0)，B(,0）,且+名=-2,5=1， 则a的值是() 1 A.16 B.16 C.4 D.-4 7.二次函数y=ar+hr+ 的部分图象如图所示，则关于X的不等式ar+br+c之2的解集 是() 2-10 2 A.x≤2 B.x≤0 C.-3≤x≤0 D.x≤-3或x≥0 8.如图所示是二次函数'=ar+br+c(a≠0 的部分图象，该抛物线的对称轴是直线 x=-1 2a-b= ，且与y轴交点的纵坐标是2有下列结论：① 0,@方程r+r+c=0-定 有一个根在1和2之间：③4a+2b+c>0;④若点 -2,m) 是抛物线上一点，则m=2,其 中正确结论的个数为() 4-书-20l 12 -1 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.二次函数=+2x+1与'轴交于-a,0）,则“的值为 10二次函数'=mr-3x- 的图象与坐标系横轴有交点，那么”的取值范围是 y=x2+mx+m- 11.抛物线 与x轴交于A,B两点，且B=5 ，则的值为 2如图，三次玉数'=++ca0叭的图象与直线'=心+aa0)有两个X点，交 点横坐标分别为1、3，则关于'的不等式r+b-m)x+c-n≥0 的解集为 三、解答题 13.二次函数=K-P+长的图象与'轴交于点-3,0.8(m0)且m>3,h-长=-5 (I)求h,k的值 (2)当a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，求a的取值范围. 14.已知关于‘的西数"=r-(6a-4)r+9咖+2(“是实数)。 (1)当a=1时，直接写出对称轴及与y轴的交点坐标： (2)若对于任意实数x,总有y>0,求实数a的取值范围： 3)设函数'=r-(6a-4)x+9如+ 的图象与销交点为低0)，(：，0)，若<1<5，求 实数a的取值范围. 15。在平面直角坐标系xO中，抛物线'=r-3mr-4m(m≠0) (I)①证明：抛物线与x轴恒有两个交点： ②求出抛物线与x轴交点的坐标（用含m的式子表示）： (2)过点 (t,0) 作轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=mr+ 于点N(M,N不重 合). ①若m=-l,t=2,求MN的长； ②若当1<t<3,MW的长随t的增大而增大，求m的取值范围. y=-x2+bx+c 16.已知抛物线 (1)若b=1,c=2,求抛物线的顶点坐标： (2)若抛物线上存在一 点P(,)在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点： (3)抛物线与轴交于A,B两点，与》轴交于 点C(0,2),直线y=br+2与’=r-l相交 于点D,E是'轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足 MA=MB=MC=ME,试探究CD和DE的数量关系，并证明. 1。在平面直角丝标系*0中，点(2m网）是抛物线”=ar-20r-7a-1a=0与直线 y=kx+1-a 的一个公共点， (1)用含a的式子分别表示m和k: ②M()是抛物线上的点，N)是直线上的点，若对于5<1<-2，都有>为，求 a的取值范围. 18,已知=次函数y=ar-4ar-5a(a≠0) (1)若a=1,求此函数与x轴的交点坐标： @对于二次函数”=-4r-5a(a≠0，当a<0,2≤x≤7时，y的最大值与最小值的 差为5，求a的值： B)将y=ar-4ar-5a(a≠0)在-2≤x≤7间的图象记为G,若图象G与直线y=-x+5有2 个不同的交点，请求出a的取值范围. 参考答案 1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.c 8.B 9.1 9 10.m2-4且m≠0 11.1或3 12.1≤x≤3 13.【详解】(1)解：根据题意，得二次函数=--)+ 的图象与轴交于点 A(-3.0).B(m,0)且m>-3。 -(3-}+k=0,h=m3 2，m-3>6, ∴h>-3, h-k=-5, .h=k-5, .-(-3-k+5)2+k=0 整理，得k2-5k+4=0, k=1,k2=4 解 =1+h=1-5=-4<-3 当 时， 不满足要求，舍去： 当专 时，h=4-5=-b-3 满足要求： 故h=-1,k=4 (2)解：h=-1,k=4」 故二次函数的解析式为y=一(x+°+4 且抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1， 当y=3时，得(++4=3 =0,x2=-2 解得 如图所示，此时C(0,3.D(-2,3) 2 :'a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，且对称轴左侧，y随x减小而减小， .a+1k-2, 解得a<-3； ,a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，且对称轴右侧，y随x增大而减小， .a-l>0, 解得a>1: 综上所述，符合要求的a的取值范围是a<-3或a>1. 14,【详解】()解：当a=1时，则”=r-2x+11 y=x2-2x+11=(x-1)2+10 ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 当x=0时，y=11, ·抛物线与》轴的交点为 0,11) (2)解：若对于任意实数x,总有y>0, 当a=0时，y=4x+2,不满足题意， 当≠0时，函数'=r-(6a-4)x+9a+2 二次函数， 抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴a>0,且△<0， ∴.(6a-4)2-4a(9a+2)<0 整理得-56a+16<0, 解得0八2 , :实数。的取值范围是0> 7 (3)解：“函数'=r-(6a-4)x+9a+2 的图象与轴交点为 0(0)，且5<1<5 当40 y=4x+2 时， ，不满足题意， 当a≠0时，函数'=r-(6a-4)x+9a+ 为二次函数，且x=1时的函数'的值与异号， x=1 y=a-6a+4+9a+2=4a+6 时， a<0 a>0 4a+6>0,或4a+6<0, 3 解得2<a<0. 15.()①证明：：令y=0,则x2-3mx-4m2=0,即a=1,b=-3m,c=-4m2, :△=b-4ac=(-3m°+16m2=25m2 ,m≠0， .25m2>0, ∴.抛物线与x轴恒有两个交点： ②由①得x2-3mx-4m2=0且△=25m2, .Fs 3m±V25m2 3m±5m 2 2, m≠0. x=-m x2=4m 解得： “抛物线与x轴交点坐标为←m,0)和(4m,0), (2)①，m=-1, y=x2+3x-4 y=-x+1 ∴抛物线解析式为： 直线解析式为： t=2, :P2,0) 点P20 作轴的垂线，交抛物线于点M,交直线于点V, :AMN三点共线，即=w=w=2 :w=2+3×2-4=6w=-2+1= :N=w-W小=7 ②：点P,0)作轴的垂线，交抛物线于点M,交直线于点N, RMN三点共线，即=w=y=( :w=-3-4m2w=m+m2 :MN=-w=2-4mt-5m2 分类讨论： (i)P2-4mt-5m2>0,MN=t2-4mt-5m2, MN=-4mt-5m2=(t-2m}-9m2 ∴.MW是关于t的二次函数，即对称轴为直线t=2m, .当1<t<3,MW的长随t的增大而增大， “2m≤1，解得m≤2， （a)当0<m≤2时， t2-4mt-5m2=(t-5m)t+m)>0 1<t<3, .t+m>0, .t-5m>0,即t>5m, “5m≤1，解得m≤5 :0<ms} (b)当m<0时， :-4t-5m2=t-5mj0e+m）>0 1<t<3, .t-5m>0. .t+m>0,即t>-m, .-m≤1，解得m≥-1， .-1≤m<0, (i)-4mt-5m2<0,即W=-(-4m-5m2) N=-(-4m1-5m2)=-(t-2mj}+9m2 :,MN是关于t的二次函数，即对称轴为直线t=2m, .当1<t<3,MN的长随t的增大而增大， 小2m≥3，解得m≥2 2 -4mi-5m2=-6-mj0+m）<0 3 1<t<3,m Γ2 .t+m>0, .t-5m<0,即t<5m, 3 ·5m≥3，解得m≥写 Γ5 :.m22 ·当1<1<3，MN的长随，的增大而增大，求m的取值范围为-1≤m<0或0<m≤5或 2 16.【详解】(1)解：b=1,c=2, 129 y=-2+x+2=气x-2+4, 19 六抛物线的顶点坐标为2’4】 (2)证明：·抛物线上的 P(）在x轴上方 .=-x后+bx。+c>0 ..c=xo-bxo+Yo :b-4×(-)×c=b2+4c=b2+4x号-4hx+4=(2x。-b)}+4y,>0 即方程-x2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴有两个交点 (③)CD和DE的数量关系是CD=DE, 证明：“抛物线"=-+r+c与轴交于4,8两点，与'箱交于点C02),如图. M D B 故可设1(，0)，B(,0)>5 则，”是方程+x+2=0的 的两根， 重来根公式可狗8+68.与-份8 2, 2 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, M 由对称性可设 b b+b2+8 由勾股定理可得， MA2 a-0,wc-份+a-2。 b b+b2+8 2 +-o0-+a-2明， 解得n》 b1) “点M的坐标为22， “直线 =bx+2.y=-bx- 与 相交于点D. ∴.b≠0， 3 x=- 2b 联立[y=bx+2,解得 1 y=-bx-1 y=2 31 “点D的坐标为2b2」 又：MC=ME, ∴.MD垂直平分CE, .CD=DE 17.【详解】(1)解：：点 (-2m）在揽物线'=ar-2ar-7a-a≠0)上， m=a×(-2}'-2ax(-2)-7a-1 =4a+4a-7a-1 =a-1, 点1(2m叭在直线=+1-0上 再将A(-2,a-)代入直线方程， a-1=kx(-2)+1-a 2k=2-2a 整理得k=1-a; (2)解：由（小）可知，直线的解折式为y=1-a)r+1-a。 y=ax2-2ax-7a-1 抛物线解析式为 :M)是抛物线上的点， :y=am2-2at-7a-1 ,)是直线上的点， 为=(1-a)+1-a :y>乃 :t2-2a4-7a-1>1-a4+1-a 整理得+2at-3a-1)小>0 当-5<t<-2时，t+2<0,要使t+2a1-3a-l)>0,则必须at-3a-1<0恒成立， 即-3)-1<0 分两种情况讨论： 当a>0时：t-3<0, a-3)-1<0-1=l<0,不等式恒成立，满足条件， 当a<0时：at-3a-1是关于t的一次函数，函数随t增大而减小， 当t=-5时，at-3a-1最大， 即-5a-3a-1≤0， 1 解得a28: 1 8sa<0, 1 综上，a的取值范围是a之8且a≠0： 18.【详解】（山）解：当a=时，y=r-4-5 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得：-】与=5 六此函数与x轴的交点坐标为-10)，(5,0)， (2)解：y=ar2-4ax-5a=a(2-4)-5a=ax-2}-9u ra<0. ∴·抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,距离对称轴越远函数值越小， 当x=2时，y=-9a为最大值： 2-(-2)<7-2 ∴当x=7时，y=a(7-2-9a=16a为最小值 :-2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5， .-9a-16a=5, ∴.-25a=5」 解得：a三： (3)解：y=ar-4ar-5a=a(x+10x-5) 抛物线与x轴的交点坐标为 -1,0)(5,0) 令y=-x+5=0,则x=5, “·直线y=-x+5与x轴的交点坐标为 5,0) 六图象G与直线y=-x+ 始终有1个交点50) 当a>0时， VA 当x=-2时，y=-(2)+5=7 y=-x+5 ”图象G与直线 有2个不同的交点， “当x=-2时， a×(-2}-4a×(-2）-5a≥7 .7a≥7， 解得：a≥1： 当a<0时， 当x=7时，y=-7+5=-2, =-x+5 图象G与直线 有2个不同的交点， x=7 a×72-4a×7-5a≤-2 当时， 16a≤-2， 解得：as、l 8’ 当r-4ar-5a=-t+5时，整理得，ar-(4a-lx-5a-5=0 若直线y=-+5与图象G相切，则A=[-(4a-]-4a(-5a-5)=0 整理得， 3602+12a+1=0,即(6a+l=0 解得：a=一6，此时只有1个交点， 1 综上可知，若图象G与直线y=-x+5有2个不同的交点，a的取值范围为a≥1或a≤-8且 a≠ 6·