河北廊坊市大城县2025-2026学年高一下学期期末综合检测数学试题

综合检测卷 数学参考答案及评分意见 1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．BC 10．BC 11．ABD 12． 13． 14． 15．解：（1）在中，由余弦定理， 得，所以．（2分） 因为弧与相切于点，所以，， 所以．（5分） 所以，所以．（6分） （2）设 m， m， 则在中，由余弦定理，得， 所以．（9分） 因为，所以， 即，所以，即，（11分） 当且仅当时，取最小值256．（12分） 所以当 m时， 占地面积最小，为 ．（13分） 16．（1）证明：设点到平面的距离为． 且，．（1分） ，要使三棱锥的体积最大，则最大． 当点在平面内的射影在棱上时，最大．（3分） 连接，平面，平面，．（4分） ，，，平面，平面． 又平面，．（5分） （2）解：如图，取的中点，连接．（6分） 又是的中点，． 平面，平面，平面．（8分） 又，．（9分） （3）解：为直角三角形，是的中点，过点作平面，则三棱锥的外接球的球心在直线上． 设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，连接，． 设的中点为，连接，是等边三角形，． 平面平面，平面平面，平面，， 平面，．（11分） 如图，连接，过点作交于点，则四边形为矩形，．（12分） ，在中，，即； 在中，，即，解得．（14分） 三棱锥的外接球的表面积为．（15分） 17．解：（1）， 由正弦定理，得．（1分） ，，， ，即，即． ，．（4分） （2）①，， ，，， ．（6分） ， ．（8分） ②，，． ，． 点在边上且不包含端点，．（10分） 在中，，， 则由正弦定理，得．（12分） 又， ． ，，．（14分） 的取值范围是．（15分） 18．解：（1）因为B餐厅的满意指数在内的学生有15人，样本量为50， 所以满意指数在内的频率为，所以．（2分） 由B餐厅满意指数频率分布直方图，得，解得．（3分） A餐厅每组的频率为 ，， ，． 前两组累计频率为， 前三组累计频率为， 所以中位数落在内．（5分） 设中位数为，则，解得． 所以A餐厅满意指数的中位数为．（7分） （2）A餐厅满意指数的平均数为．（9分） B餐厅满意指数的平均数为．（11分） 因为，所以A餐厅满意指数的平均数更高．（12分） （3）因为B餐厅打分结果在，，的频率分别为，，， 所以这三层的人数之比为 因为共抽取6人， 所以从B餐厅打分结果在，，三组中分别抽取3人、2人、1人， 分别记为；，，，；，，；．（14分） 从这6人中随机抽取2人进行访谈， 样本空间为．（16分） 样本空间中共有15个等可能的样本点，其中来自相同组包含的样本点有，，，，共4个，（16分） 所以这2人来自相同组的概率为．（17分） 19．（1）证明：因为，的中点分别为，，所以． 又平面，平面，所以平面．（3分） （2）证明：因为，，，所以． 又因为，所以F为的中点．又E为的中点，所以，． 因为，的中点分别为N，M，所以，所以．（4分） 因为的中点为M，所以．又， 所以，． 又因为，所以，则，故．（6分） 在和中，由已知，得，， 所以∠． 因为，所以，故． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面．（9分） （3）解：如图，设G为，的交点，H为，的交点，连接． 因为平面，平面，所以． 又因为，即，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角．（11分） 由等面积法，得， 所以，则，故， 所以∠．（12分） 由（2）知，所以． 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得， 则，所以．（14分） 又因为， 所以在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得． 由（2）知，， 所以在中，由余弦定理，得， 故，（16分） 所以，即平面与平面的夹角为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的虚部为 A．   B．   C．   D． 2．如图，在中，，，则 A．   B． C．   D． 3．在中，“”是“”的 A．充分不必要条件   B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件 4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则   B．若，，，则 C．若，，，则   D．若，，则 5．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为粒，则样本量应为 A．   B．   C．   D． 6．若样本数据：，，，，的平均数为，则此样本的第百分位数为 A．   B．   C．   D． 7．甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽子和长跑的专项对抗练习．在这三个项目中，甲获胜的概率分别为0.6，0.5，0.7，且各项目的对抗练习结果相互独立，则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为 A．0.44 B．0.45 C．0.46 D．0.47 8．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有多年的历史．殿内部有垂直于地面的根木柱，分三圈环形均匀排列，内圈有根约为米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有根约为米的金柱，代表十二个月；外圈有根约为米的檐柱，象征十二个时辰．已知在由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 10．下列说法正确的是 A．若事件与事件相互独立，，，则 B．若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 C．一个盒子中有个黑球，个白球，个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．，，，…，，，这个数的上四分位数是 11．如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是 A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若，则点的轨迹长度为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是________． 13．在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，点是线段上的点，且，则点到平面的距离为_________． 14．在中，是边的中点，是线段的中点，设，，试用，表示为________；若，的面积为，则的最小值为________．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）公园内有一块三角形绿地，其中 m， m，．绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两半径分别落在和上，弧与相切于点． （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为了美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径 m，并且与相切于点，两半径分别落在边上的扇形，求绿地占地面积的最小值，并求出此时，的长． 16．（15分）如图1，在平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，如图2． （1）当三棱锥的体积最大时，证明：； （2）若棱上存在一点，使得平面，且，求实数的值； （3）当平面平面时，求三棱锥的外接球的表面积． 17．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角． （2）若为边上一点（不包含端点），且满足． ①若，，求的长； ②求的取值范围． 18．（17分）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数．将打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人． （1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）现采用比例分配的分层随机抽样方法从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，，，的中点分别为E，N，M，，，点F在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $