河北石家庄市辛集市2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

辛集市2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1考试时间120分钟，另附加卷面分5分。 2答题前，考生务必将自已的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置。 3全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上的无效。 一单选题（每小题5分，共40分) 1.设复数z满足(2-i)z=5i,则=（ A.1 B.2 C./3 D.√5 2.已知平面向量a=(1,m,b=(-1,3),若(2a-b)⊥b,则|āF( A.2 B.√5 C.3 D.5 3.如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 BE=( ) A.2B4-BC B.2B4+C c写+ D.2B4+IEC 3 4.甲、乙两人独立地攻克二道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列计算正确的是( A.该题被攻克的概率为 5 且该题未被攻克的概丰为号 C该慰至少被一人攻克的概率为5D.该题至多被-人攻克的概率为号 15 5.某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生 进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方 图，下列结论中正确的是( 频率组距 0.040F 0.020 a 0.005 05060708090100分数 A.图中[60,70)一组的频率为0.015 B.估计样本数据的众数m=75 C.估计样本数据的75%分位数为88.75 D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异(80分及以上)的人数约为7000人 6.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点.六氟 化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化疏分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八 面体（图2）.若正八面体外接球的体积为4忆，则此正八面体的表面积为(） 3 A. B.√3 C.23 D.4W5 2 7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D,现 测得c0s∠CBD-5,CD-10W万米在点C处测得塔顶A的仰角为30，在点D处测得塔顶A的仰角 3 为45°，则铁塔的高度为( A.80米 B.100米 C.112米 D.120米 8.如图，正四棱台ABCD-AB,CD,上下底面的中心分别为O和0，若AC=24C=4W2,侧面与底 面所成锐二面角的正切值为√，则正四棱台ABCD-AB,CD,的体积为() B D A.28V2 B.20W2 C.28V6 D.20v6 3 3 3 3 二 多选题（每小题6分，共18分。有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分 分，有选错的得0分) 9.己已知复数z满足(1-)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是（) A.|zF√2 B.复数z的共轭复数为三=-1-i C.复平面内表示复数z的点位于第二象限 D.复数z是方程x2+2x+3=0的一个根 10.如图，在四棱锥PACD中，底面8G0为平行四边形，D4B-子4B-2AD=2PD, PD⊥底面ABCD,则() A.PA⊥BD B.BC⊥平面PBD C.异面直线B与PC所成角的余弦值为5 D.PB与平面ABCD所成的角为写 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2，且 acosB+bcos4=c(4cosA-1),则下列结论正确的是( A.A= B.a=2√5 6 C.△ABC面积的最大值为3√5 D.若b-c=2,角A的平分线交BC于点D,则4D=4 3 三填空题：（每小题5分，共计15分） 12.袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，从中随机抽取2个球，则 取出的2个球中至少有1个白球的概率是 13.若圆锥P0的体积为25π，它的母线与底面所成的角的余弦值为3，则圆锥P0的表面积为 3 14.直角梯形中，AB=BC=2,AD=√5，CD=1,点0，E为AB,BC的中点，F在BC边上运动（包含端 点)，则O正.OF的取值范围为 四：解答题（本题共5小题，共计77分。解答应写出文字说明或演算步骤。） 15.(13分)已知平面向量a=2,=2,且(2a-3b)2a+b)=4. (1)求2a-的值；(2)求向量a与a-2b夹角的余弦值. 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为ab,c,且(2b-a)cosC=ccos4. (⑩求O:@)已知c=万△C的面积为5，求△BC的周长。 17.（15分)甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲获胜的 概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响。 (1)求三局比赛结束的概率；(2)求四局比赛结束且甲获胜的概率； (3)若第一局甲获胜，求最终乙赢得比赛的概率 18.（17分)长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市.为更好地了解游客对长沙旅游体验 的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根 据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图. 个频率 组距 0.040 0.015 0.010 0.005 5060708090100分数 (1)根据频率分布直方图，求x的值 (2)估计这100名游客体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)： (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60)，「60,70)的两组中共抽取6 人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在[50,60)内，另1 人在[60,70)内的概率. 19.（17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面PBC,AC⊥BC,PA=PC=2W2,BC=1,E为 棱AB的中点 B (1) 证明：平面APC⊥平面ABC (2)求三棱锥P-ABC的表面积， (3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值. 高一数学期末试卷详解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B B D D B A ABC AB BCD 51 1.答案：D解析：(2-)z=5i 0-5a-142aH-0+交5 -2-i(2-i)(2+i) 5 2.答案：B解析：平面向量ā=(4m,b=(-1,3),则2a-b=(2,2m-(←-1,3)=(3,2m-3), 因(2a-b)⊥b,则(2a-b)-b=-3+6m-9=6m-12=0,得m=2,则a=(1,2),则1a=√5 3.答案：B 解折：依题意，明-+亚-a4+写-应+面-A动-厨+C-A-通C 4.答案：D 解析：k该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率1-1-儿1-)，故A错误： B,该题未被攻克的橛率为1一？号，故B错误： C,由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； .该题至多液1人攻克概率为分号》（司》号）1号)号，故D正确， 5.答案：C 解析：由图知(0.005+a+0.02+0.04+0.02)×10=1, 可得a=0.015,故60,70)一组的频率为0.15，A错： 由(0.005+0.015+0.02)×10=0.4<0.5，(0.005+0.015+0.02+0.04)×10=0.8>0.5， 所以众数为80+90 2 =85,B错； 由上75%分位数位于[80,90)设为x,则0.4+(x-80)×0.04=0.75,所以x=80+35=88.75,C对： 4 由题设，80分以上的占比有(0.04+0.02)×10=0.6，所以12000×0.6=7200人，D错. 6.答案：D 解析：根据题意，作正八面体如下所示，连接AC,BD,PE,设AC∩BD=O, 根据其对称性可知，PE过点0，又该八面体为正八面体，则PO⊥面ABCD,又AOC面ABCD,故 PO⊥AO: 显然正八面体的外接球球心为0，设其半径为R,PA=a, 则OA=OP=R,在直角三角形PAO中，a=PA=VOA+OP=√2R; 3 可得R=1,则aV2;故该八面体的表面积s=8×5: 7.答案：B 解析：设AB=x,由题意得AB⊥BC,AB⊥BD,而∠ACB=30°，∠ADB=45°， 得到BC=V5xBD=x,在△BCD中，cas∠CBD=5, 3，D=1Oo2 由余弦定理得 52+x-2V5×5-10N2,解得x=10,故B正确. 故选：B. 8.答案：A解析：取BC、BC的中点F、E,连接OE、EF、OF, 则由题意可知∠EFO为侧面与底面所成锐二面角，则tan∠EFO=√2， AC=24C=42,AB=4,AB=2, 在直角梯形00F2中，t∠2r0=O0=:V2,则00=V5, 2-1 则正四棱台的体积为(42+④×2×2=285 9.答案：ABC 解折：由0-0=21，得：=2=20=1Hi.5;=-1-1, 1-i(1-i01+i) 复平面内表示复数z的点的坐标为(-1，)，位于第二象限； .(-1+i)2+2(-1+i+3=-2i-2+2i+3=1≠0，∴.复数z不是方程x2+2x+3=0的一个根. 10.答案：AB 解析：设PD=AD=1,则AB=2,对于A,由余弦定理可得BD= +4-2x1x2x0D=BADBD, 3 :PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.BD⊥PD.又AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD, ∴.BD⊥平面PAD,PAC平面PAD,.PA⊥BD,故A正确. 对于B,由A选项分析知AD⊥BD,又ADIIBC,∴.BC⊥BD, :PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.BC⊥PD,又BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD, BC⊥平面PBD,故B正确. 对于C,ABCD,.∠PCD为异面直线AB与PC所成的角， ncV店等，故c错误， PD=1,CD=4B-2,PC=PD+CD=5,.00PCD-CD=225 对于D,PD⊥平面ABCD,.∠PBD为PB与平面ABCD所成的角， tan /PBD=PD=5=3,又PBD∈0，)，∠PBD=6,故D错误. 故选AB. 11.答案：BCD 解析：对于A,因为a cos B+bcos A=c(4cosA-1),所以sin Acos B+sin B cosA=sinC(4cosA-I), 所以in(A+B)=sinC(4cosA-1),又A+B=元-C,即sin(A+B)=sin(T-C)=sinC, 则sinC=sinC(4cosA-1),又sinC≠0，所以1=4cosA-1, 解得caA-,又0<A<,故4-子故A错误： 对于B,因为A=号，△1BC外接圆的半径为2，所以a-2RmA=4×5-25,故B正确： 2 对于C,因为b2+c2-a2=2 be cosA,即b+c2=12+bc,又b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,得 bc≤12，当且仅当b=c=25时，取等号，所以S4=bcsin A=5c≤512=35， 2 4 4 即△ABC面积的最大值为3√5，故C正确： 对于D,由b-c=2,结合b2+c2=12+bc,解得b=4,c=2,由S△Ac=S△ABD+S△4cD,即 1 2x4山2x4ADn工4 ADxsin,解得40，故D正，确 2 32 62 12.答案：10 7 解析：袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中2个白球，3个黄球，设2个白球为a,b,3 个黄球为1,2,3，从中随机抽取2个球，基本事件为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1), (b,2),(b,3),1,2),1,3),(2,3),共有10种，其中取出的2个球中至少有1个白球的情况有7 种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为 7 13.答案：4元 解析：由题意可作图如下： B 在圆锥PO中，易知PO⊥AB,且PBO为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦位为，则c0sP80-》 OB 1 在Rt△POB中， PB3'可得PB=30B,则PO=2V0B, 圆锥Po的体积yPO:OB元=OB=，解得OB=1,则PB3 3 圆0的周长为C=20B=2,则圆维侧面展开图的面积S-号P8C-3, 圆锥底面面积S,=π·OB2=兀，所以圆锥的表面积S=S1+S,=4π. 故答案为：4元. 14.答案： 13 22 D 15.解析： E A 建立平面直角坐标系如图，则A(0,0),B(2,0),C1,5),D(0,V5), 因为点0g为1a的中点010，左90=3号，C-5小.0丽-0叭. F在BC边上运动（包含端点），设BF=BC(0≤入≤I), B丽=（←元，3,0F=0B+BF=(1,0)+(元5=(1-元5， 远.o-0刘+5a=+0ss, 25, :0E.0心的取值范阳为3引 15.解析：(1)由(2a-3b)(2a+b)=4整理得4a-4a.b-32-4,又=V2,5=2, 代入得4×2-4a.b-3x4=4,解得a-b=-2, 则2a--V2a-万=6-4a6+6=4k24k(2片4=25； (2)因为aa-2b)=-2ab=2-2×(←2)=6， 又a-2=Va-2万=a2-4ab+6=24(2H4软4=V26, 所以cosa,a-2b= a(a-26) 6 -33 a-2bV2×V2613· 16.解析：(1)由正弦定理得：(2sinB-sin4)cosC=sinCcos4. ÷2 2sinBcosC=n(4+C=nB,由snB≠0得cosC=) 又因为Ce(Q,列，解得c-骨： 2)由c=,得simc= 2’cosC 2’ 由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC→7=d2+b2-ab①. 因为smc子6：当 24 。b=3@ 联立①②得：a+b=4, .△4BC的周长=4+V7. 17。解析：（①比赛三局，甲获胜的概率乃=了-；乙获胜的概率乃-白7， 所以三局比赛结束的概率为日-》 (2) 四局比赛结束且甲获胜，则前3局甲输1局，且第4局胜， 其概率为 ×327 (3)第一局甲获胜，最终乙赢得比赛的事件为B, 乙连赢3局的概率为白分， 第2,3,4局乙输1局，第5局赢的概率为3× 3 所以P(B)= 1+2=1 272791 18.解析：（1)由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1,解得a=0.030; (2)(55×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95×0.040)×10=84, 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为84分： (3)评分在50,60)的人数为100×0.005×10=5人， 评分在[60,70)的人数为100×0.010×10=10人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在060)中抽取6×02人分别为ab表示： 从评分在到600中指取6写品。=4人分别用私BG,D表示 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba, Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共15种. 则恰有1人评分在「50,60)内，另1人在[60,70)内的所有结果为 Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在[50,60)内，另1人在60,70)内的概率为 15 19.解析：(1)在三棱锥P-ABC中，由AP⊥平面PBC,BCc平面PBC,得AP⊥BC, 而AC⊥BC,AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,则BC⊥平面PAC, 又BCC平面ABC,所以平面APC⊥平面ABC. (2)由(I)得AP⊥PB,AP⊥PC,BC⊥PC,而PA=PC=2√2，BC=1 AC=AP+PC2=4,PB=PC2+BC2=3, 所以三棱锥P-4BC的表面积5-25x2万+方25x1+分41+与分25x3-6+45. (3)由AP⊥平面PBC,得点A到平面PBC的距离为AP=2√2， 由E为棱AB的中点，得点E到平面PBC的距离d-AP=V, 1 由@知Pi-4=ac+Bc- 2, 所以直线PR与平面P8C所成角的正弦值为d-22_234 PE√17-17