专题12 反比例函数与几何图形综合题集训 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与三角形、平行四边形等几何图形的综合应用，通过分类题型构建知识逻辑，强化数形结合与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形综合|6题（如第3题）|含存在性问题、面积计算|k=xy与三角形边长、角度性质结合| |平行四边形综合|3题（如第9题）|涉及面积、中点坐标|反比例函数与平行四边形对边平行性质| |矩形综合|6题（如第10题）|面积与k值关系|矩形面积公式与k的几何意义关联| |菱形综合|6题（如第19题）|对角线、平移问题|菱形对称性与反比例函数图象性质| |正方形综合|6题（如第25题）|翻折、周长计算|正方形边长相等与k值求解|

专题12 反比例函数与几何图形综合题集训 类型一 反比例函数与三角形综合 1．（2026•庐阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，AB＝4，点A、C均在反比例函数，x＞0）的图象上，若△ABC是等边三角形，则k的值为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】作CD⊥x轴，设点B坐标为（m，0），则A（m，4），利用等边三角形性质得到BC＝4和∠CBD＝30°，解直角三角形得到点C坐标，列出关于m的方程解出m即可得到k值． 【解答】解：如图，作CD⊥x轴，垂足为点D， 设点B坐标为（m，0），则A（m，4）， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵AB⊥x轴， ∴∠CBD＝30°， ∴CD2，BD， ∴C（m+2，2）， ∵A（m，4），C（m+2，2）都在反比例函数y的图象上， ∴4m＝2m+4， 解得m＝2， ∴k＝4m＝4×28． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，求出点A、C关于m的坐标是解答本题的关键． 2．（2026春•海淀区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点B，点A在第一象限．C为斜边OA上一点，且OB＝BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），已知AB＝CD，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．下列结论不正确是（　　） A．△OBA≌△BCD B．点C是OA的中点 C．四边形AOBD是平行四边形 D．k的值是2 【分析】运用SAS即可证明△OBA≌△BCD，即可判断A，进一步证得 OA＝BD，再结合等边对等角和内错角相等两直线平行，则OA∥BD，可证得四边形AOBD是平行四边形，即可判断C；延长DA 交y轴于一点E，过点D作DF⊥x 轴，先证明四边形OFDE是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形OFDE的面积是4，故矩形OBAE的面积是2，因为反比例函数的图象过点A，则k＝2，即可判断D；若点C是OA的中点，则△OBC为等边三角形，由于无法求得∠AOB＝60°，即可判断B． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，DC⊥BC， ∴∠OBA＝∠BCD＝90°， 在△OBA和△BCD中， ， ∴△OBA≌△BCD（SAS），故A正确； ∴OA＝BD，∠AOB＝∠DBC， ∵OB＝BC， ∴∠AOB＝∠OCB， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OA∥BD， ∵OA＝BD， ∴四边形AOBD是平行四边形，故C正确； ∴AD＝OB，AD∥OB， 延长DA 交y轴于一点E，过点D作DF⊥x 轴，如图： ∵AD∥OB， ∴∠OED＝90°， ∵DF⊥x轴，∠FOE＝90°，∠OED＝90°， ∴四边形OFDE是矩形， ∴ED＝OF， 同理，可证四边形OBAE是矩形，四边形ABFD是矩形， ∴AE＝OB，AD＝BF， ∴矩形OFDE的面积是4， ∵AD＝OB， ∴OB＝BF， ∴矩形OBAE的面积是2； ∴k＝2，故D正确； 若点C是OA的中点，则BC＝OC， 由于OB＝BC，则△OBC为等边三角形， ∵无法求得∠AOB＝60°， ∴故B不正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b 得：6＝1+b，b＝5， 将A（﹣1，6）代入得：k＝﹣6； （2）∵y＝﹣x+5， ∴x＝5﹣y， 设C（5﹣m，m）， ∵CD＝10， ∴xC﹣xD＝10， xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m， ∴D（﹣5﹣m，m）， ∵点D在双曲线上， ∴m（﹣m﹣5）＝﹣6， 解得：m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（6，1）； （3）存在．设C（n，﹣n+5）， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M， 则∠EMN＝∠ONM＝90°， ∵∠ECO＝90°， ∴∠ECM+∠OCN＝90°， ∵∠EMC＝90°， ∴∠MEC+∠ECM＝90°， ∴∠OCN＝∠MEC， 又∵等腰直角三角形ECO中，CE＝CO， ∴△EMC≌△CNO（AAS）， ∴CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5， ∴； ②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M， 同理可得：△EMO≌△ONC， ∴EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n， ∴E（n﹣5，n）， ∴（n﹣5）n＝﹣6， 解得：n1＝2，n2＝3， 此时E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或（﹣3，2）或（﹣2，3）． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8与双曲线y（k≠0）交于A（1，a）、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标． （2）直接写出不等式x+8的解集． （3）若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标． 【分析】（1）先求出点A（1，9），再用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立来个表达式求出点B坐标； （2）由点A、B坐标和图象，直接得出答案； （3）分两种情况：利用直角三角形的特征即可得出答案． 【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+8①上， ∴a＝1+8＝9， ∴A（1，9）， ∵点A在双曲线y上， ∴k＝1×9＝9， ∴反比例函数的表达式为y②， 联立①②解得，或， ∴点B（﹣9，﹣1）， 即反比例函数的表达式为y，B（﹣9，﹣1）； （2）∵A（1，9），B（﹣9，﹣1）， ∴不等式x+8的解集为﹣9＜x＜0或x＞1； （3）∵点D，P在x轴上， ∴只有两种情况：如图， ①当∠APD是直角，即AP⊥x轴， ∴点P的坐标为（1，0）， ②当∠DAP'是直角， ∵点D在直线y＝x+8上， ∴D（﹣8，0）， ∴DP＝9， ∵A（1，9）， ∴AP＝9， ∴AP＝DP， ∴∠DAP＝45°， ∵∠DAP'＝90°， ∴∠PAP'＝45°， ∴∠DP'A＝45°＝∠PAP'， ∴PP'＝AP＝9， ∴P（10，0）， 即点P的坐标为（1，0）或（10，0）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 5．（2026•历城区一模）如图，点A（2，3）和点B在反比例函数的图象上，且点B在点A的右侧，作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式； （3）在x轴上存在一点P，当△ABP是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点B坐标． 【分析】（1）将点A（2，3）代入，可得k，即可得反比例函数的解析式； （2）设，根据题意列方程，可得B（6，1），设直线AB的表达式为y＝px+q，代入A（2，3），B（6，1），可得p，q，即可得直线AB的表达式； （3）设，根据题意可得n＞2，当△ABP是等腰直角三角形时，按照直角顶点进行分类讨论，根据三角形全等的判定和性质，结合反比例函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴， ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为； （2）设， ∵BC⊥y轴，垂足为点C， ∴BC＝m， ∵△ABC的面积为6， ∴， 解得m＝6， ∴B（6，1）， 设直线AB的表达式为y＝px+q， 则， 解得， ∴直线AB的表达式为． （3）设， ∵A（2，3），点B在点A的右侧， ∴n＞2， 当△ABP是等腰直角三角形时，分以下3种情况： 若AB＝AP，∠BAP＝90°， 作AH⊥x轴于点H，交BC于点K，则∠AHO＝90°， 又∵BC⊥y轴，垂足为点C， ∴四边形COHK为矩形， ∴∠AKB＝∠CKH＝90°，CK＝OH， ∴∠ABK＝90°﹣∠BAK＝∠PAH， 在△AHP和△BKA中， ， ∴△AHP≌△BKA（AAS）， ∴AH＝BK， ∴n﹣2＝3， ∴n＝5， ∴， ∴； 若BA＝BP，∠ABP＝90°， 作BM⊥x轴于点M，作AN⊥BM于点N， 则∠N＝∠BMP＝90°，∠ABN+∠PBM＝90°， ∴∠BAN＝∠PBM， 在△ANB和△BMP中， ， ∴△ANB≌△BMP（AAS）， ∴AN＝BM， ∴， ∵n＞2， 解得， ∴， ∴； 若PA＝PB，∠APB＝90°， 作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F， 则∠AEP＝∠PFB＝90°，∠APE+∠BPF＝90°， ∴∠EAP＝∠FPB， 在△AEP和△PFB中， ， ∴△AEP≌△PFB（AAS）， ∴EP＝FB，AE＝PF， ∴， 解得n＝6， ∴， ∴B（6，1）， ∴当△ABP是等腰直角三角形时，所有满足条件的点B坐标为，（6，1）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（2026•让胡路区模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设P（0，p），根据S△BCP＝S△BDP+S△CDP2|p+2||p+2||p+2|，结合S△AOBS△BPC列出方程进行求解即可； （3）分∠BOQ＝45°和∠OBQ＝45°两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3）； ∴k2＝1×（﹣3）＝﹣3m， ∴k2＝﹣3，m＝1， ∴y，A（﹣3，1）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x﹣2； （2）设直线AB交y轴于点D， ∵y＝﹣x﹣2， ∴当y＝0时，x＝﹣2，x＝0时，y＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，﹣2）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×12×3＝4， 设P（0，p）， S△BCP＝S△BDP+S△CDP2|p+2||p+2||p+2|， ∵S△AOBS△BPC， ∴S△AOB＝4， ∴S△BPC|p+2|＝6， ∴|p+2|＝4， ∴p＝2或p＝﹣6， ∴P（0，2）或P（0，﹣6）； （3）存在；①当∠BOQ＝45°时， 将OB绕点O旋转90度得到OB'，连接BB'，交OQ于点E，如图， 则：B′（3，1），∠BOB'＝90°，OB＝OB'， ∵∠BOQ＝45°， ∴∠B'OQ＝45°＝∠BOQ， ∴BE＝EB'， ∴E（2，﹣1）， 设OE的解析式为：y＝mx，则：﹣1＝2m， ∴m， ∴yx， 联立， 解得：或（舍去）； ∴Q（，）； ②当∠OBQ＝45°时，将OB绕点B旋转90度得到O′B，连接OO'，交BQ于点E， 则O′（4，﹣2），∠OBE＝∠O′BE， ∴OE＝O'E， ∴E（2，﹣1）， 同法可得：BE的解析式为：y＝2x﹣5， 联立， 解得或， ∴Q（，﹣2）； 综上：Q（，）或Q（，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型二 反比例函数与平行四边形综合 7．（2026春•万州区期末）在平面直角坐标系中，点A、B两点关于y轴对称，以AB为边在x轴上方作平行四边形ABCD，点D恰好落在y轴上，反比例函数交边CD于点E，交边BC于点F．点P是平行四边形ABCD内任一点，连接PA、PB、PC、PD、PO．若DE：EC＝2：3，且2S△AOP+S△PCD＝25，则k的值为（　　） A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20 【分析】连接OE，过点P作x轴的垂线，交AB于点H，交CD于点G，先求出平行四边形ABCD得面积，再求出△OED的面积，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【解答】解：如图，连接OE，过点P作x轴的垂线，交AB于点H，交CD于点G， 由条件可得AO＝BO， ∴S△ABP＝2S△AOP， ∵2S△AOP+S△PCD＝25， ∴S△ABP+S△CDP＝25， ∴， ∴CD•GH＝50． ∴CD•OD＝50． ∵DE：EC＝2：3， ∴， ∴． ∴|k|＝2S△OED＝20， 由条件可知k＜0， ∴k＝﹣20． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026春•秀英区期中）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，点D在x轴正半轴上，以AB、AD为边作平行四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为　5　 ． 【分析】连接OA、OB，利用反比例函数k的几何意义求出△OAB的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【解答】解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴． ∴； 点B在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD的面积． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026•金水区模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（2，m），过点A作AB垂直y轴于点B，△AOB的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点C（﹣5，n）在反比例函数图象上，直线AC交x轴于点M，求△AOM的面积； （3）过点C作CD⊥x轴于点D，连结BD，证明：四边形AMDB是平行四边形． 【分析】（1）由三角形AOB的面积等于A横纵坐标乘积的一半来求，根据A的坐标及已知三角形AOB的面积，求出m的值即可；由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）设直线AC的解析式为y＝mx+n，将A与C的坐标代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出直线AC的解析式，令y＝0求出对应x的值，确定出M的坐标，得到OM的长，三角形AOM的面积由OM与A纵坐标乘积的一半即可求出； （3）根据AB⊥y轴，DM⊥y轴，得到DM∥AB，由DM＝5﹣3＝2，AB＝2，得到DM＝AB，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABDM是平行四边形． 【解答】（1）解：∵S△OAB2×m＝5， ∴m＝5， ∴A的坐标为（2，5），代入反比例解析式得5， 解得：k＝2×5＝10； （2）解：点C（﹣5，n）代入得 n＝﹣2， 设直线AC的解析式为 y＝ax+b， 由， 得， ∴y＝x+3， 令y＝0 得 x＝﹣3， ∴M（﹣3，0）， ∴， （3）证明：∵AB⊥y轴，DM⊥y轴， ∴DM∥AB， 又∵DM＝5﹣3＝2，AB＝2， ∴DM＝AB， ∴四边形ABDM是平行四边形． 【点睛】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，梯形的定义，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题第二问的关键． 类型三 反比例函数与矩形综合 10．（2026春•诸暨市期末）如图，在矩形ABCD中，点B、C在x轴上，点A、D分别在反比例函数y和y上，若矩形ABCD的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形，点B、C在x轴上，点A在反比例函数y的图象上， ∴矩形ABOM的面积为4． ∵矩形ABCD的面积为6， ∴矩形OCDM的面积为2， ∴k＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质及反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 11．（2026•惠山区三模）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 【分析】依据题意，设出点A和点C的坐标，进一步表示出点B的坐标，再结合ODBD表示出点D的坐标，最后利用△OBF的面积是24及整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知，令点A坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， 则点B坐标为（a，b）． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，BE＝bbb， ∴S△OBFab＝12，解得ab＝27， ∴S△OEF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF ＝abababab ab ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2026•新市区模拟）如图所示，反比例函数y（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD＝4，OA＝6，则k的值为 　﹣8　 ． 【分析】利用矩形的性质可得OC＝AB，由MN∥OC，点M是AC的中点，OA＝6，可得出点M、D的横坐标，再设出OC的长，表示出点D、M的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可求出OC的长，进而确定k的值． 【解答】解：过点M作MN⊥OA，垂足为N，则MN∥OC， ∵点M是AC的中点，OA＝6， ∴AN＝ONOA＝3，MNOC， 设OC＝c，则AD＝c﹣4， ∴D（﹣6，c﹣4），M（﹣3，c）， 由点D、M都在反比例函数y（x＜0）的图象上， ∴k＝﹣6×（c﹣4）＝﹣3c， 解得c，k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出点D、M的坐标是解决问题的关键． 13．（2026•灞桥区二模）如图，矩形AOCB中，∠ABO＝60°，矩形AOCB的面积为24，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线（k≠0）经过点A，则k的值为　﹣18　 ． 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，得∠ADO＝90°，设AB＝a，利用含30°角的直角三角形的性质可得OB＝2a，，证△AOD∽△BOA，利用相似三角形的性质可得，进而求得S△AOD＝9，再利用反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图： 由条件可知S△BOA＝12， ∴∠ADO＝90°， ∵∠BAO＝90°，∠ABO＝60°， ∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°， 设AB＝a， 则OB＝2a，， 由条件可知∠AOD＝30°＝∠AOB， ∴△AOD∽△BOA， ∴，即：， 解得：S△AOD＝9， ∴|k|＝2×9＝18， 由图得：k＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 14．（2026春•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上，将点A先向下平移至点B，再向右平移至图象上另外一点C，以AB、BC为一组邻边作矩形ABCD，连接OA、OD，点E在x轴正半轴上． （1）如果k＝2，且∠AOE＝45°，求点A的坐标； （2）求证：点B在直线OD上； （3）如果，求证：． 【分析】（1）延长AB交x轴于点G，根据题意得出AB∥y轴，BC∥x轴，确定AG⊥x轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出AG＝OG，设点A坐标为（m，m），它在反比例函数图象上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点A坐标为，点C坐标为，得出B坐标为，点D坐标为，设直线OD的函数表达式为y＝k1x（k1≠0），确定直线OD的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接AC交BD于点F，根据矩形的性质得出，确定OA＝AF，BF＝CF，再由等边对等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠BCF，利用三角形外角的性质及等量代换得出∠1＝2∠3，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【解答】解：（1）延长AB交x轴于点G，如图所示： ∵将点A先向下平移至点B，再向右平移至图象上另外一点C，以AB、BC为一组邻边作矩形ABCD， ∴AB∥y轴，BC∥x轴， ∴AG⊥x轴， ∵∠AOE＝45°， ∴∠AOE＝∠OAG＝45°， ∴AG＝OG， 设点A坐标为（m，m），它在反比例函数图象上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点A的坐标为； （2）根据题意设点A坐标为，点C坐标为， ∵矩形ABCD， ∴B坐标为，点D坐标为， 设直线OD的函数表达式为y＝k1x（k1≠0），点D在直线OD上， ∴， 解得， ∴直线OD的函数表达式为， 当x＝a时，， ∴点B在直线OD上； （3）连接AC交BD于点F， ∵矩形ABCD， ∴AC＝BD， ∴， ∵， ∴OA＝AF，BF＝CF， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠BCF， ∵∠2＝∠3+∠BCF＝2∠3， ∴∠1＝2∠3， 由题意得BC∥OE， ∴∠3＝∠DOE， ∴∠AOE＝3∠DOE， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数性质是关键． 15．（2026•红花岗区二模）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与反比例函数（x＞0）的图象交于点C（1，n），矩形ABDE的顶点D（m，3）在第一象限，且在反比例函数图象上． （1）分别求出n，k，m的值； （2）直接写出点E的坐标． 【分析】（1）依据题意，由点C（1，n）在直线y＝2x+4上，则2×1+4＝n，即n＝6，可得C（1，6），又C在反比例函数（x＞0）的图象上，可得k＝1×6＝6． 故反比例函数为y，又D（m，3）在第一象限，且在反比例函数图象上，计算可以得解； （2）依据题意，设E（a，b），又直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，可得A（﹣2，0），B（0，4），又四边形ABDE为矩形，可得对角线互相平分，即AD与BE互相平分，由（1）得，D（2，3），故，，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵点C（1，n）在直线y＝2x+4上， ∴2×1+4＝n，即n＝6． ∴C（1，6）． ∵C在反比例函数（x＞0）的图象上， ∴k＝1×6＝6． ∴反比例函数为y． ∵D（m，3）在第一象限，且在反比例函数图象上， ∴3m＝6，则m＝2； （2）设E（a，b）， ∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∵四边形ABDE为矩形， ∴对角线互相平分，即AD与BE互相平分． 由（1）得，D（2，3）， ∴，． ∴a＝0，b＝﹣1． ∴E（0，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． 类型四 反比例函数与菱形综合 16．（2026春•惠安县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D都在反比例函数的图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，若菱形ABCD的面积为40，则k的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】根据菱形的对称性质，设D（，h），则点B的纵坐标为h，再根据反比例函数图象上点的坐标特征分别求出点A、D的坐标，继而推出点B、C坐标，最后根据S菱形ABCD，代入数据求出k值即可． 【解答】解：如图，连接AC，设D（，h），则点B的纵坐标为h， ∵坐标原点O为BC的中点， ∴点C的纵坐标为﹣y， ∵点A、C关于BD对称， ∴点A的纵坐标为3h， ∵点A在反比例函数图象上， ∴点A的横坐标为， ∴A（，3h）， ∴C（，﹣h）， ∵点B、D关于AC对称， ∴B（，h）， ∴BD，AC＝3h﹣（﹣h）＝4h， ∴S菱形ABCD， ∴40， 解得k＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形性质及面积求法是关键． 17．（2026•思明区模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若菱形ABCD的面积为，点B的坐标是（﹣1，1），则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据点B坐标求出OB的长，再结合菱形ABCD的面积求出点A的坐标即可解决问题． 【解答】解：过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 因为点B坐标为（﹣1，1）， 所以BN＝ON＝1， 所以OB． 因为菱形ABCD的面积为， 所以， 所以OA． 因为∠BON＝45°且AC⊥BD， 所以∠AOM＝45°， 所以AM＝OM， 所以点A坐标为（）． 将点A坐标代入y得， k． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质及菱形的性质是解题的关键． 18．（2026•芜湖模拟）如图，直线y＝ax+3（a＞0）交y轴于A点，取其图象第一象限内一点B，以OA和AB为一组邻边作菱形OABC，且面积恰为．若反比例函数经过点C，则k的值为　　 ． 【分析】过点C作CD⊥OA于点D，根据一次函数先求得A的坐标，进而根据菱形的性质求得OC＝OA＝3，根据菱形的面积求得CD的长，再根据勾股定理求得OD的长，进而求得C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥OA于点D， 由条件可知A（0，3）， ∴OA＝3， ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝3， ∵菱形OABC的面积恰为， ∴， ∴， 在Rt△OCD中，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴k的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026•仓山区三模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，A（﹣9，0），B（﹣1，0）．反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）菱形的对角线AC与BD相交于点E，将菱形ABCD沿x轴的正方向平移，当点D恰好在反比例函数的图象上时，试判断此时点E是否也在反比例函数的图象上？请说明理由． 【分析】（1）过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图，根据两点间的距离公式得到AB＝﹣1﹣（﹣9）＝8，根据菱形的性质得到BC＝AB＝8，∠CBQ＝180°﹣120°＝60°，根据勾股定理和待定系数法即可得到结论； （2）设菱形ABCD向右平移m个单位长度，此时D（m﹣5，4），根据题意列方程得到m＝8，求得E（﹣3，2）向右平移8个长度单位后的坐标为（5，2），于是得到结论． 【解答】解：（1）过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图， ∵A（﹣9，0），B（﹣1，0）， ∴AB＝﹣1﹣（﹣9）＝8， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴BC＝AB＝8，∠CBQ＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BCQ＝30°， ∴BQBC＝4， ∴CQ4， ∵B（﹣1，0）， ∴OQ＝BQ﹣BO＝3， ∴C（3，4）， ∵点C在反比例函数y的图象上． ∴k＝3×412， ∴反比例函数的表达式为y； （2）点E不在反比例函数的图象上， 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝8，CD∥AB，AE＝CE， ∴D（﹣5，4）， 又∵C（3，4），A（﹣9，0）， ∴E（﹣3，2）， 设菱形ABCD向右平移m个单位长度，此时D（m﹣5，4）， ∵点D恰好在反比例函数y的图象上， ∴4（m﹣5）＝12， ∴m＝8， ∴E（﹣3，2）向右平移8个长度单位后的坐标为（5，2）， ∵5×21012， ∴点E不在反比例函数的图象上． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，反比例函数的图象等，掌握其相关知识点的性质是解题的关键． 20．（2026•兰山区一模）如图．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为菱形，对角线OB，AC相交于点D．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，已知菱形OABC的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形OABC的边长． 【分析】（1）菱形对角线互相平分，所以点D是AC的中点，可得到D点坐标与C点坐标的关系．结合反比例函数上的点的坐标特征和菱形面积，即可求出k的值； （2）由OA＝3x，且菱形边长OC＝OA，可得OC＝3x，结合C（x，y）在反比例函数上，用勾股定理即可求出边长． 【解答】解：（1）设C（x，y），菱形OABC中，BC∥OA， ∴B（x+OA，y）， 对角线交点D是AC中点，A（OA，0）， ∴D（，）， ∵C．D都在y上， ∴xy•， 化简得：xy， 得4x＝x+OA，即OA＝3x， 菱形面积公式：S＝OA•y＝6， ∵k＝xy，且OA＝3x， ∴3x•y＝6，即3k＝6，k＝2． ∴反比例函数的解析式为：y； （2）由（1）知，OA＝3x，菱形边长OC＝OA，即OC＝3x， 在Rt△OC∁x中，OC2＝x2+y2， k＝xy＝2， ∴y， 代入得：（3x）2＝ x2， 9x2＝x2， 8x2， ∴x4＝1， x＝1（x＞0） ∴OA＝3x＝3，即菱形边长为3． 【点睛】本题考查反比例函数与菱形的综合应用，核心是利用菱形对角线中点性质建立坐标关系．熟练掌握中点坐标公式和菱形面积公式，是解决这类问题的关键． 21．（2026•镇江一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　（0，）或（，﹣2）　 ． 【分析】（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，得到∠BFC＝∠AEO＝90°，根据勾股定理得到OA，根据菱形的性质得到BC∥AO，BC＝AO＝OC，根据全等三角形的性质得到BF＝AE＝2，CF＝OE，求得B（﹣4，2），待定系数法即可得到k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y，根据题意得到过原点的某条直线为y＝x，求得B′（2，﹣4），把B′（2，﹣4）代入y验证的﹣4，符合条件，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴∠BFC＝∠AEO＝90°， ∵点A的坐标为， ∴AE＝2，OE， ∴OA， ∵四边形ABCO为菱形， ∴BC∥AO，BC＝AO＝OC， ∴∠BCF＝∠AOE， ∴△BCF≌△AOE（AAS）， ∴BF＝AE＝2，CF＝OE， ∴B（﹣4，2）， ∵点B在反比例函数位于第二象限的图象上， ∴2， ∴k＝﹣8； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y， ∵将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上， ∴过原点的某条直线为y＝x， ∵B（﹣4，2）， ∴B′（2，﹣4）， 把B′（2，﹣4）代入y验证得﹣4，符合条件， ∵OC＝OA， ∴C（，0）， ∴点C关于直线y＝x的对称点C′（0，）． 当点C′与点A关于原点对称时，点B的对应点B′在反比例函数上， 即C′（，﹣2）， 故答案为：（0，）或（，﹣2）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，轴对称的性质，反比例函数的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 类型五 反比例函数与正方形综合 22．（2026•广州二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，根据点B的坐标表示：BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，由HQ＝CM，列方程可得x的值，表示A和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论． 【解答】解：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M， 设A（x，）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°， 易得△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS）， ∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x， ∴AG＝CM＝DH＝1， ∵AH+AQ＝CM， ∴11﹣x， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，2），CM＝AG＝DH＝13， ∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1， ∴点E的纵坐标为3， 把y＝3代入y得x， ∴E（，3）， ∴EH＝2， ∴DE＝DH﹣HE＝3， ∴S△CDEDE•CM3； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 23．（2026•西城区模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①利用S△OCF＝S△AOEk，证明△OCF≌△OAE（SAS），即可求解； ②证明△EFO不一定是等边三角形，即可求解； ③四边形AEGD的面积＝S△AEO﹣S△ODGk﹣S△ODG，△FOG面积＝S△ODF﹣S△ODGk﹣S△ODG，即可求解； ④证明若∠EOF＝45°，才有EF＝CF+AE成立，即可求解； ⑤求出点E的坐标为（2+2，2），即可求解． 【解答】解：①S△OCF＝S△AOEk， 而OC＝OA，故CF＝AE， 又∠OCF＝∠OAE＝90°， ∴△OCF≌△OAE（SAS）， ∴OF＝OE； 故①正确，符合题意； ②由①知，OF＝OE，而EF不一定和OE或OF相等， 即△EFO不一定是等边三角形，故∠EFO不一定等于60°， 故②不一定正确，不符合题意； ③四边形AEGD的面积＝S△AEO﹣S△ODGk﹣S△ODG， △FOG面积＝S△ODF﹣S△ODGk﹣S△ODG， 故四边形AEGD与△FOG面积相等，故③正确，符合题意； ④将△OAE绕点O旋转到OCE′时，即CE′＝AE， 若∠EOF＝45°，则∠EOA+∠FOC＝45°， 故∠FOE′＝∠E′OC+∠FOC＝45°＝∠EOF， 而OE＝OE′，FO＝FO， ∴△FOE′≌△FOE（SAS）， ∴EF＝E′F＝CF+CE′＝AE+CF， 即当∠EOF＝45°时，才有EF＝CF+AE成立， 故④错误，不符合题意； ⑤若∠EOF＝45°，由④得EF＝CF+AE，由①知CF＝AEEF＝2， 则BF＝BE，故△BEF为等腰直角三角形， 则BE＝BFEF＝2， 则OA＝AB＝AE+BE＝2+2， 故点E的坐标为（2+2，2）， ∵△BEF为等腰直角三角形，故∠BFE＝45°，故设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b， 将点E的坐标代入上式并解得：b＝4+2， 故直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2，故⑤正确，符合题意， 故正确的为①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 24．（2026•长沙模拟）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y图象的一支上，点C，D在x轴上，且OD＞OC，若四边形ABCD是面积为12的正方形，则实数k的值为　﹣8　 ． 【分析】由题意可得四边形ADOE，BCOE都是矩形，k＜0，由反比例函数比例系数的几何意义得S矩形ADOE＝|k|＝﹣k，，再根据S矩形ADOE+S矩形BCOE＝S正方形ABCD列出方程，求解即可． 【解答】解：如图， 由正方形性质可知：四边形ADOE，BCOE都是矩形， ∵反比例函数图象一支在第二象限， ∴k＜0， 由反比例函数k的几何意义得： S矩形ADOE＝|k|＝﹣k，， ∵S矩形ADOE+S矩形BCOE＝S正方形ABCD， ∴， 解得k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2026春•婺城区期末）正方形OABC在平面直角坐标系中如图所示，已知B（4，4），反比例函数的图象经过BC中点E，交AB于点F． （1）求反比例函数的解析式． （2）连结OE，OF，EF，求△OEF的周长． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝OC＝OA，∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°，求得AB＝BC＝OC＝OA＝4，由点E是BC的中点，得到E（2，4），于是得到结论； （2）根据题意得到点F（4，2），求得CE＝BE＝BF＝AF＝2，根据勾股定理得到OE2，OF2，EF2，根据三角形的周长公式得到△OEF的周长＝OE+OF+EF＝42． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是正方形， ∴AB＝BC＝OC＝OA，∠B＝∠BCO＝∠BAO＝90°， ∵B（4，4）， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝4， ∵点E是BC的中点， ∴E（2，4）， ∵反比例函数的图象经过BC中点E， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y； （2）当x＝4时，y2， ∴点F（4，2）， ∵E（2，4）， ∴CE＝BE＝BF＝AF＝2， ∴OE2，OF2，EF2， ∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝42． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，矩形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 26．（2026•江阳区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为3，其顶点A，D均在x轴上，顶点B在反比例函数的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0＜m＜3），其边B′C′，A′B′分别与反比例函数的图象交于点E，F．如图2，当点D′与点O重合时，连接OE，OF，EF，求△OEF的面积． 【分析】（1）求出点B（，3），即可可求k的值； （2）当点D′与点O重合时，求出E（，3），F（3，），即可求△OEF的面积； 【解答】解：（1）∵D（，0），AD＝3，CD＝3， ∴A（，0），B（，3）， ∴k＝4， ∴y； （2）①当点D′与点O重合时，A'（3，0），B'（3，3）， ∴E（，3），F（3，）， ∴△OEF的面积（3）×（3）； 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平移的性质是解题的关键． 27．（2026•广宁县二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． （1）如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用|m﹣n|表示，即“相近度”＝|m﹣n|，若∠ABC＝60°，求该菱形的“相近度”； （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m≥n），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若∠AOD＝45°，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上，BD∥y轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k1+k2的值． 【分析】（1）利用菱形的性质可得△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算m，n即可； （2）①先求得∠OAB＝22.5°，在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE，进而可证AE＝CE，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形ABCD是正方形，设AE＝BE＝CE＝DE＝p，D（3，a），再得到A，B的坐标，结合A，B都在反比例函数的图象上，进而得到p＝3﹣a，再代入求k1+k2即可． 【解答】解：（1）由条件可得△ABC是等边三角形，∠AOB＝90°， ∴m＝AC＝AB＝2， ∴OA＝1， 由勾股定理可得： ， ∴， ∴， 即该菱形的“相近度”为； （2）①由条件可知： ，， 如图，在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE， 则∠ECB＝∠CEB＝45°， ∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝22.5°， ∴∠OAB＝∠ACE， ∴AE＝CE， 在Rt△BCE中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即该矩形的“相近度”为； ②如图，连接AC交BD于点E，延长BD交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∴BE＝AE＝CE＝DE， 设AE＝BE＝CE＝DE＝p，D（3，a）， ∵BD∥y轴， ∴B（3，a+2p），A（3+p，a+p）． 由条件可知k1＝3（a+2p）＝（3+p）（a+p）， 解得p1＝0，p2＝3﹣a． ∵p≠0， ∴p＝3﹣a， ∴B（3，6﹣a）． 由条件可知k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a， ∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 反比例函数与几何图形综合题集训 类型一 反比例函数与三角形综合 1．（2026•庐阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，AB＝4，点A、C均在反比例函数，x＞0）的图象上，若△ABC是等边三角形，则k的值为（　　） A．4 B． C． D． 2．（2026春•海淀区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点B，点A在第一象限．C为斜边OA上一点，且OB＝BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），已知AB＝CD，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．下列结论不正确是（　　） A．△OBA≌△BCD B．点C是OA的中点 C．四边形AOBD是平行四边形 D．k的值是2 3．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8与双曲线y（k≠0）交于A（1，a）、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标． （2）直接写出不等式x+8的解集． （3）若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标． 5．（2026•历城区一模）如图，点A（2，3）和点B在反比例函数的图象上，且点B在点A的右侧，作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式； （3）在x轴上存在一点P，当△ABP是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点B坐标． 6．（2026•让胡路区模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 反比例函数与平行四边形综合 7．（2026春•万州区期末）在平面直角坐标系中，点A、B两点关于y轴对称，以AB为边在x轴上方作平行四边形ABCD，点D恰好落在y轴上，反比例函数交边CD于点E，交边BC于点F．点P是平行四边形ABCD内任一点，连接PA、PB、PC、PD、PO．若DE：EC＝2：3，且2S△AOP+S△PCD＝25，则k的值为（　　） A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20 8．（2026春•秀英区期中）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，点D在x轴正半轴上，以AB、AD为边作平行四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 9．（2026•金水区模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（2，m），过点A作AB垂直y轴于点B，△AOB的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点C（﹣5，n）在反比例函数图象上，直线AC交x轴于点M，求△AOM的面积； （3）过点C作CD⊥x轴于点D，连结BD，证明：四边形AMDB是平行四边形． 类型三 反比例函数与矩形综合 10．（2026春•诸暨市期末）如图，在矩形ABCD中，点B、C在x轴上，点A、D分别在反比例函数y和y上，若矩形ABCD的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 11．（2026•惠山区三模）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 12．（2026•新市区模拟）如图所示，反比例函数y（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD＝4，OA＝6，则k的值为 　 　 ． 13．（2026•灞桥区二模）如图，矩形AOCB中，∠ABO＝60°，矩形AOCB的面积为24，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线（k≠0）经过点A，则k的值为　 　 ． 14．（2026春•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上，将点A先向下平移至点B，再向右平移至图象上另外一点C，以AB、BC为一组邻边作矩形ABCD，连接OA、OD，点E在x轴正半轴上． （1）如果k＝2，且∠AOE＝45°，求点A的坐标； （2）求证：点B在直线OD上； （3）如果，求证：． 15．（2026•红花岗区二模）如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与反比例函数（x＞0）的图象交于点C（1，n），矩形ABDE的顶点D（m，3）在第一象限，且在反比例函数图象上． （1）分别求出n，k，m的值； （2）直接写出点E的坐标． 类型四 反比例函数与菱形综合 16．（2026•惠安期末）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D都在反比例函数图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，若菱形ABCD的面积为40，则k的值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 17．（2026•思明区模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若菱形ABCD的面积为，点B的坐标是（﹣1，1），则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2026•芜湖模拟）如图，直线y＝ax+3（a＞0）交y轴于A点，取其图象第一象限内一点B，以OA和AB为一组邻边作菱形OABC，且面积恰为．若反比例函数经过点C，则k的值为　　 ． 19．（2026•仓山区三模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，A（﹣9，0），B（﹣1，0）．反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）菱形的对角线AC与BD相交于点E，将菱形ABCD沿x轴的正方向平移，当点D恰好在反比例函数的图象上时，试判断此时点E是否也在反比例函数的图象上？请说明理由． 20．（2026•兰山区一模）如图．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为菱形，对角线OB，AC相交于点D．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，已知菱形OABC的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求菱形OABC的边长． 21．（2026•镇江一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数位于第二象限的图象上，点C在x轴的负半轴上，四边形ABCO为菱形． （1）求点B的坐标和k的值； （2）将菱形ABCO沿过原点的某条直线翻折，记点B的对称点为B′，点C的对称点为C′，当B′点落在函数位于第四象限的图象上时，C′点的坐标为　 　 ． 类型五 反比例函数与正方形综合 22．（2026•广州二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 23．（2026•西城区模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2026•长沙模拟）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y图象的一支上，点C，D在x轴上，且OD＞OC，若四边形ABCD是面积为12的正方形，则实数k的值为　 ． 25．（2026春•婺城区期末）正方形OABC在平面直角坐标系中如图所示，已知B（4，4），反比例函数的图象经过BC中点E，交AB于点F． （1）求反比例函数的解析式． （2）连结OE，OF，EF，求△OEF的周长． 26．（2026•江阳区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为3，其顶点A，D均在x轴上，顶点B在反比例函数的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0＜m＜3），其边B′C′，A′B′分别与反比例函数的图象交于点E，F．如图2，当点D′与点O重合时，连接OE，OF，EF，求△OEF的面积； 27．（2026•广宁县二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． （1）如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用|m﹣n|表示，即“相近度”＝|m﹣n|，若∠ABC＝60°，求该菱形的“相近度”； （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m≥n），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若∠AOD＝45°，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上，BD∥y轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k1+k2的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $