1.2.4 二面角导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修一

该高中数学导学案围绕“二面角”展开，核心知识点包括二面角及其平面角的概念、直二面角、二面角大小的度量及法向量夹角的关系。通过“温故”链接斜线与平面所成的角，“知新”系统梳理二面角定义、平面角作法等，搭建从线面角到二面角的知识支架，引导学生循序渐进学习。 资料融合数学史（阿波罗尼奥斯《圆锥论》）与实际应用（攒尖建筑问题），课前自测题型多样，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理、用数学语言表达，结构清晰的预习与自测设计，助力自主探究，提升空间观念与应用意识。

1.2.4 二面角 预习提要 1.理解二面角及其平面角的概念； 2.掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小，会用二面角解决实际问题； 3.阅读课本P47—P51内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 斜线与平面所成的角的概念：平面的一条斜线在平面内的射影是 的，因此，平面的斜线与它在平面内的 所成的角，称为这条斜线与平面所成的角． 二、知新：课本研习梳理 1.二面角的概念： 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个 . 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为 ， 这两个半平面称为二面角的面． 2.二面角的平面角的概念：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB 称为二面角的平面角. 3.直二面角的概念：二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是 的二面角称为直二面角． 4.二面角的角的大小：二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于 的角的大小．这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是 的． 5.两个平面法向量的夹角：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则<n1，n2>的关系为θ＝<n1，n2>或 ，即sin θ＝sin<n1，n2>. 课前自测 1.在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为( ) A. B. C. D. 3.已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为( ) A. B. C.或 D. 4.（多选）如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线l与平面所成角的大小为，则( ) A. B. C. D. 5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为________________. 反思 阿波罗尼奥斯，被称为“圆锥曲线之父”，在《圆锥论》中大量研究平面与圆锥相交所形成的倾斜角度，最早系统研究两个平面相交产生的倾角关系，完善了欧几里得的二面角几何性质.他证明：固定一条交线，改变平面倾斜程度，二面角会连续变化；还推导了二面角相等、加倍、等分的尺规作图方法，丰富了古典立体几何中角度的作图理论. 答案及解析 温故：课前知识链接 唯一确定 射影 知新：课本研习梳理 1.半平面 二面角的棱 2.所成的角 3.直角 4.90° 唯一确定 5.θ=π－<n1，n2> 课前自测 1.答案：C 解析：由题意得平面与平面夹角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为，故选：C. 2.答案：D 解析：设平面与平面的夹角为，则，则，所以.故选：D. 3.答案：A 解析：因为两平面的法向量分别为，.又，，.所以.所以两平面的夹角为.故选：A. 4.答案：AC 解析：因为，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，所以，相等或互补，所以，故A正确；所以，故B错误； 因为以为方向向量的直线l与平面所成角的大小为，所以，故D错误， 因为，故C正确.故选：AC. 5.答案： 解析：如图，连接，交于点O，连接.设此四棱锥的底面边长为a，斜高为，则，得，所以. 如图，以O为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的法向量为，则即令，得，，则.显然平面的一个法向量为，所以，所以侧面与底面的夹角为. 学科网（北京）股份有限公司 $