1.2.4 二面角（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“空间向量与立体几何”中“二面角”核心知识点，系统梳理二面角的定义、平面角及大小度量，重点阐述用空间向量求二面角的方法，前承空间向量运算，后启复杂立体几何问题，构建从概念到应用的学习支架。 该资料设计亮点突出，“随学随练”即时巩固概念理解，题型分类（如面面角向量求法、已知面面角求其他量）引导数学思维，分层练习（基础、素养、迁移）培养问题解决能力。通过具体例题与变式训练，发展学生几何直观与空间观念，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.2.4　二面角 课标要点 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角. 2.能用向量方法解决平面与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 求二面角的常用方法 难点： 1.用向量法求二面角.2.两个平面的法向量的夹角与二面角的关系． 知识点 二面角及其度量 (1)二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，两个半平面分别为α，β的二面角，记作α－l－β． (2)二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． (3)二面角的大小 ①二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°． ②两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 特别提醒 一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则， . 设平面的法向量为， 则有，即， 解得，则. 平面的法向量为， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 知识点用空间向量求二面角的大小 如图，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sinθ＝sin〈n1，n2〉． 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，，应用向量数量积的运算律及已知求及其模长，再求出它们的夹角余弦值，即可得. 【详解】由题意，令，且，， 所以 ， 由四边形，均为矩形，则，且， 所以，则二面角的平面角， 所以，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 题型  面面角的向量求法 ▌例1 （23-24高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又底面为正方形，且E为AB中点，所以，且， 则,故四边形为平行四边形，则， 因为平面， 平面，所以平面； (2)． 【分析】（1）取中点，求证，利用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点建系，利用法向量求夹角. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 则， 由图可知，平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为． ▌对点练1-1．（25-26高二下·天津·期中）如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意，有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，，故可取， 因，而平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，计算及平面的法向量后可证平面； （2）求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值； （3）根据平面可求的坐标，从而可求平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 由（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型  已知面面角求其他量 ▌例1（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）先由梯形边长与角度判定为等边三角形，用余弦定理算出，借助勾股逆定理证，再结合面面垂直性质定理推出平面，最终得线线垂直； （2）取中点，利用等腰与面面垂直条件以为原点建空间直角坐标系，由棱锥体积求出高；设表示坐标，分别求出两平面法向量，结合二面角正弦值算出余弦绝对值，列方程解出，最后乘长度得到． 【详解】（1）略 （2）取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． ▌对点练1-1（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用菱形对角线中点与三角形中位线性质，证明线线平行，进而推导线面平行； （2）先证线面垂直建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合面面角的余弦值公式列方程，解得高的长度． 【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点， 因为是的中点，所以， 又因为平面， 平面， 所以平面． （2） 因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为菱形的边长为2，，所以，， 所以，， 设，所以，， 设为平面的一个法向量， 由，得，所以， 取，，，所以， 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 所以线段OP的长为． 基础通关 1．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选:A． 2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 【答案】BCD 【详解】设正方体棱长为，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为： . A：，若两直线平行，则，即，方程组无解，直线与不平行，A错. B：平面，交平面于点，点不在直线上，所以与是异面直线，B对. C：因为平面是底面，所以易得平面的法向量；设平面法向量，，， 取，得，设平面与平面所成角为，，C对. D：，，所以，一组平行线确定一个平面，故四点共面，D对. 3．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设下底面的中心为，上底面的中心为， 以为原点，以为轴，为轴，过作，建立空间直角坐标系， 由正三棱台的高为， 所以，，所以， ， 同理， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的大小为. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因为二面角等于，又 所以可得， 又， 所以 ， 所以. 5．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 6．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到二面角的平面角，再根据线段长度求出角大小. 【详解】如图所示，设的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，， 所以，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又，所以. 7．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 8．（2026·河南开封·二模）在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求解，求出平面和平面的法向量，记平面和平面的夹角为，利用数量积求出，求出，利用同角关系式求出，利用正弦函数的图像和性质得到平面与平面的夹角的正弦值的最大值. 【详解】不妨设，建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 得到， 记平面和平面的夹角为． 记平面的法向量为，， 取，则． 记平面的法向量为，， 取，则， 所以， ， ，当且仅当时，，所以， 故平面与平面的夹角的正弦值的最大值为，故选A． 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得. 【详解】如图，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为，由题意，为锐角，则 ， 当时，，则； 当时，， 因在单调递减，故， 此时，则得， 综上，可得， 故二面角的最大值为. 10．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）证明，根据线面平行的判定定理判断即可. （2）求出平面与平面的法向量，根据面面垂直的性质，使得它们满足垂直条件即可. 【详解】（1）为线段的中点，为线段的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）存在点，，理由如下： 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段的中点，为线段的中点，所以，. 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设，则. 设平面的法向量为. ，，， 则，即， 令，则，，所以. 若使平面平面，则，即， 解得. 所以，故，即. 素养提升 11．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解. 【详解】（1）平面平面，且平面平面，，平面， 平面，又平面， ∴，又且，平面， 平面. （2）取的中点，连接， ，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面， ，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 易知平面的法向量为，. 而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为. 12．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 13．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图，平行六面体中，，，，． (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将平方，利用已知数量积求，进而得到. （2）先证为等边三角形，取中点得垂直关系，再通过向量平方结合已知求二面角余弦值. 【详解】（1）由题意知，在中，，， 以向量，，为基底，①， ，同理可得，， ①式平方，得， 所以． （2）在中，，， 又，，所以为等边三角形， 所以，故为等边三角形， 取中点，连接，则， 又，②， 设二面角为，则，， ，②式两边同时平方，得 ， 所以，． 所以二面角的余弦值为． 14．（25-26高二下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，. (1)求证：平面； (2)若，，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线中点的性质，结合等腰三角形三线合一，证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标与向量，分别计算出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可求得. 【详解】（1）证明：因为为菱形，， 所以为中点，也为中点. 在中，，所以， 在中，，所以， 又，平面， 所以平面. （2）由（1）得平面，又因为平面， 所以，， 又，所以如图以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，，， 所以在中，，即，所以， 所以， 在中，，即，所以， 则，，，，， 由，得， 因为，所以， 所以， 所以，，， ， 设平面的一个法向量为，则， 即，取，则，，则， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，，则， 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 迁移创新 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，借助空间向量的夹角公式表示出线面角的正弦即可得解； （2）求出平面的法向量后，利用空间向量的夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 则， 整理得，故，则（负值舍去）， 则， 即当时，直线与平面所成的角为； （2），， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 又平面的法向量， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. 16．（25-26高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，BC，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面PAC，所以平面平面PBC． (2)． 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面PBC，再由线面垂直可证面面垂直即可. （2）法一建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得，法二作出符合题意的图形，构造二面角的平面角，再利用三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一：因为平面ABCD，， 所以以C为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACE的法向量为，则 取，得平面ACE的一个法向量为， 易知平面PAC的一个法向量为， 设平面PAC与平面ACE的夹角为， 则， 故平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为． 法二：如图，过点E作BC的平行线交PC于点F， 由（1）可知平面PAC，， 所以就是平面PAC与平面ACE所成角， 因为，，所以． 17．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 18．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； ② (2) 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为. 19．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）利用空间两点间距离公式建立方程组，求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】（1）在斜三棱柱中，取的中点，连接， 由等腰，，得，由正，得， 由侧面⊥底面，侧面底面，侧面， 得⊥平面，而平面，则，由为的中点， 得四边形为平行四边形，则，，又， 平面，因此平面，又平面， 所以. （2）由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的一个法向量为，因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由，得，设球心，球半径为， 则,解得， 所以球的体积为. 20．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)1 【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直； （2）通过画图得到二面角的平面角，利用已知条件即可求解或者建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解； （3）根据题意得出，然后底面积之比以及高之比得出右侧几何体的体积的表达式，从而得到答案. 【详解】（1）在中，， 所以， 过点作于点，连接，则， 因为，，为公共边，所以. 所以，且，又，所以，所以， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解法一：取中点，由（1）知，，∴. 过作交于，过作交于，则，所以， 所以，为二面角的平面角， 设，由，得， 同理；， 由，得， 在中，，解得， 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.， 解法二：设存在满足题意的点，由（1）可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量. 设平面的法向量，则， 取，则，，所以， 若二面角的正切值为，则其余弦值为， 则， 整理得，所以，又因为，所以， 所以，即当时，二面角的正切值为. （3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为， 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为，求得 ， 右侧部分的体积， 化简得， 当时，检验符合上方程， 又时，有且只有一个值符合，故， 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2.4　二面角 课标要点 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角. 2.能用向量方法解决平面与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 求二面角的常用方法 难点： 1.用向量法求二面角.2.两个平面的法向量的夹角与二面角的关系． 知识点 二面角及其度量 (1)二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，两个半平面分别为α，β的二面角，记作α－l－β． (2)二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． (3)二面角的大小 ①二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°． ②两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 特别提醒 一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点用空间向量求二面角的大小 如图，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sinθ＝sin〈n1，n2〉． 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 题型  面面角的向量求法 ▌例1 （23-24高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． ▌对点练1-1．（25-26高二下·天津·期中）如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 题型  已知面面角求其他量 ▌例1（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. ▌对点练1-1（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 基础通关 1．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 3．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（    ） A．4 B． C．6 D． 5．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南开封·二模）在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 素养提升 11．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 12．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 13．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图，平行六面体中，，，，． (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值． 14．（25-26高二下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，. (1)求证：平面； (2)若，，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 迁移创新 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 16．（25-26高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 18．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 19．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 20．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $