1.1.1 空间向量及其运算第二课时导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修一

该高中数学导学案聚焦空间向量数量积的概念、性质、运算律及投影，通过“温故”链接平面向量夹角知识，“知新”扩展至空间向量，构建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 资料融入吉布斯创立向量分析的历史背景，激发学习兴趣，培养数学眼光。课前自测结合长方体、正四面体等具体情境，需推理运算，发展数学思维，助力学生理解数学原理，提升用数学语言表达的能力。

1.1.1 空间向量及其运算（第二课时） 预习提要 1.掌握空间向量的数量积的概念； 2.掌握空间向量的数量积的有关简单性质以及数量积运算的运算律； 3.阅读课本P9—P11内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 平面向量中两个向量的夹角的概念：平面内，给定两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作，，则大小在内的 称为a与b的夹角，记作. 二、知新：课本研习梳理 1.空间向量夹角的的概念：给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的称为a与b的夹角，记作 . 特殊的空间向量的夹角：如果，那么向量a与b垂直，记作. 2.空间向量数量积的概念：两个非零向量与的数量积（也称为内积），定义为 . 3.直线或者平面上的投影的概念：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l（或平面），过a的始点和终点分别作直线l（或平面）的 ，假设垂足为A，B，则向量 称为a在直线l（或平面）上的投影. 4.空间向量数量积的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （交换律）； （6） （分配律）. 课前自测 1.如图，在长方体中，O是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 2.设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是( ) A. B. C. D. 3.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则( ) A.0 B. C.2 D. 4.在三棱锥中，若，，，则( ) A. B.1 C. D.0 5.在长方体中，设，，则_________________. 反思 约西亚・威拉德・吉布斯，美国物理学家、数学家.当时学界分成两派：一派坚持哈密顿的四元数，另一派想简化三维空间几何工具.吉布斯研究电磁学，大量需要计算空间力、电场、磁场的夹角与投影，四元数运算繁琐，不适合物理计算.1881年，他直接把四元数拆成两套独立运算，抛弃第四个标量单位，单独创立三维向量分析： 内积（数量积）：记作a·b，结果为实数，用来算投影、夹角； 外积（向量积）：记作a×b，结果为空间向量，用来算法向量、力矩. 他写了小册子《向量分析基础》，首次明确给出数量积核心公式：a·b=|a||b|cos θ. 答案及解析 温故：课前知识链接 知新：课本研习梳理 1. 2. 3.垂线 4. 课前自测 1.答案：C 解析：如图，连接，，取的中点E，连接.易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，，所以在上的投影向量为.故选：C. 2.答案：C 解析：由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项：若，不共线且，，，不垂直，则，故C不一定正确.故选：C. 3.答案：B 解析：如图所示，棱长为2的正四面体中，因为分别是的中点， 所以 ，故选B. 4.答案：B 解析：因为，，，所以.故选：B 5.答案： 解析：因为，，所以.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $