2.2.3 第1课时 两条直线的位置关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.2.3 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线的位置关系 k1=k2且b1≠b2时，方程(*)无解，此时方 学习目标 程组也无解，.直线1与2没有交点，因此 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求： 两直线平行； 两条相交直线的交点坐标 ③当且仅当k1-k2=0且-(b1-b2)=0,即 2.会根据直线的斜率和截距判断两条直：k=k2且b1=b2时，方程(*)有无数个解，此 线是否相交、平行、重合： 时方程组也有无数组解，所以直线1与12的 3.能利用直线的法向量判断两条直线是：方程完全一样，因此两直线重合。 否相交、平行、重合。 (2)观察几何特征量：斜率和截距 4.会利用法向量推导出两条直线垂直的 对于两条直线l,2,倾斜角分别为a, 条件：A42+BB2=0和kk2=-1,并能熟练地： 02, 则倾斜角相等是两直线平行的必要条件. 运用这两个条件解决有关垂直问题， 对于倾斜角不为T的直线，可知其倾斜角和 5.学会根据已知条件灵活选取恰当的方 斜率是一一对应的， 法判定两条直线的位置关系， 如果两条直线的斜率分别记作k1,k2, 要点精析 则有： k1≠k2时，两直线相交； 川要点1两条直线的相交、平行与重合· k=k2时，两直线平行或重合.此时要看 1.判断方法 两直线是否平行，还要看两直线的截距是否 (1)解方程组，判断公共点个数 相等.如截距不等，则两直线平行；如截距 若直线l1:y=kx+b1,2:y=kx+b2,则可；相等，则两直线重合 k+,消去y整理可得( 结论： 得方程组 y=h+b2 若直线l:y=k比+b1,l2:y=kx+b2,则： 2)x=-(b-b2).(*) 1与l2相交→k1≠k2; ①当且仅当k1-k2≠0，即k1≠k2时，方 l1与☑2平行台k1=k2且b1≠b2; 程(*)有唯一的解，.方程组有唯一解.此 l1与☑2重合台k1=k2且b1=b2 时直线1与2相交，交点坐标即为方程组的 思考上面结论包括了平面直角坐标 解-，6-bk 系中所有的直线吗？如果没有，请想一想 k1-k21 k1-k2 利用直线方程的哪种形式研究能包括所有 ②当且仅当k1-k2=0且-(b1-b2)≠0，即 直线呢？ 48) 学 第二章平面解析九何。 (3)向量法：可以利用直线的法向量推 :以确定D的值，进而求出具体的直线方程 导两直线的位置关系 : 例1判断下列各对直线的位置关系， 设直线l1:Ax+By+C=0, 如果相交，求出交点的坐标 l2:Ax+By+C2=0,直线l1,l2的法向量 (1)1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; 分别为y1=(A1,B1),y2=(A2,B2.利用y1, (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; 2是否共线来判断直线的位置关系， (3)1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0. 显然： ①l与2相交曰v1,y2不共线，即AB2≠ A2BI; ②L1与12平行台AB2=AB1,A1C2≠AC1, A=入A2, 即存在非零实数入，使B1=入B2, 变式训练1 C1≠入C2; A=入A2, 判断下列各对直线是否平行 ③L1与l2重合台B1=入B2, (1)经过A(2,3),B(-1,0)两点的 C=λC2. 直线，与经过点P(1,0)且斜率为1的直 注：可以利用对应项系数是否成比例来： 线l2; 进行记忆，只是使用时要注意处在分母上的 (2)经过C(3,1),D(-2,0)两点的 数不能为0. 直线1，与经过点M(1,-4)且斜率为-4的 2.求两直线的交点 直线4 方法：将两条直线方程联立，解二元 Ax+BIy+C1=0, 次方程组 以这个方程组的解 A2x+B2y+C2=0, 为坐标的点即为这两条直线的交点 思考判断两直线相交的方法有哪些？ 3.平行直线系方程 例2已知直线1过点A(1,1),且与直 与已知直线1：Ax+B+C=0平行的直线 线2x+3y+5=0平行，求直线l的方程. 方程可设为Ax+By+D=0(D≠C)· 当D取异于C的不同值时，方程Ax+ By+D=0代表不同的直线，但这些直线都与 直线l:Ax+By+C=0平行，因此我们把方程 Ax+By+D=0称为与直线l平行的直线系方 程.显然，只要再知道一个具体条件，就可： 学 49 高中数学选择性必修第一册人教B版 (1)1:x+1=0,l2:y-1=0; 变式训练2 (2)l:(V2+1)x+y=3, 若直线1过点(3,4)，且平行于直线 l2:x-(V2-1)y-1=0. 7x-2y-3=0,则直线1的方程为 川要点2两条直线的垂直 1.判断方法 (1)利用方向向量：若直线l:y=kx+ b1,12:y=k2x+b2,则直线l1与l2的方向向量 分别记作a=(1,k),a=(1,k2). 3变式训练3 当l112时，有a1⊥a2, 已知△ABC中，A(1,2)及两条高所 ∴.a1a=1+hk2=0,即kk2=-1. 在的直线分别为：2x-3y+1=0和x+y=0,求 思考上面结论包括了平面直角坐标 BC所在的直线方程. 系中的所有的直线吗？如果不包括，什么 样的直线无法用此结论判断呢？应该如何 判断？ (2)利用法向量：设直线1：Ax+By+ C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则直线l的法向 量为1=(A1,B1),直线2的法向量为2 (A2,B2). 例4求过点(1,0)且与直线x-2y 当直线l⊥2时，y1⊥2， 2=0垂直的直线1的方程. V12→AA+BB2=0. 2.垂直直线系方程 由上述充要条件可以看出与直线1：Ax+ By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+D=0: 与平行直线系方程一样，当D取不同的 值时，方程Bx-Ay+D=0代表不同的直线， 但这些直线都与直线Ax+By+C=0垂直，因 B变式训练④ 此我们把方程Bx-Ay+D=0称为与直线l垂直 在△ABC中，已知顶点A(2,4),AB 的直线系方程.显然，只要再知道一个具体 边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0,内 条件，就可以确定D的值，进而求出具体的 角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+ 直线方程 10=0,则点B的坐标为 例3判断下列各对直线是否垂直. 50)学 第二章平面解析九何。 数学文化 (I)求直线AB与CD的方程； (2)判断直线BD与x轴的位置关系； 例如图2-2-3是某晶体的阴离子单层 (3)判断直线AB与CD的位置关系， 排列的平面示意图，图中圆的半径均为1， 若这两条直线相交，求交点坐标， 且相邻的圆都相切，A,B,D是其中三个圆 的圆心，建立如图所示的平面直角坐标系 D 图2-2-3 学(51当2时。两式相除可得骨号 化简可得3x+2y-7=0. 经检验当y=2时对应点P(1,2)也在直线1上， .直线1的一般式方程为3x+2y-7=0. 2.2.3两条直线的位置关系 第1课时两条直线的位置关系 要点精析 例1解：(1)由题知直线1,2的斜率分别为k1=1, k=-1,k1≠2，.直线l1,2相交 解方程组-0， 得 3x+3y-10=0 多 “直线1,6的交点坐标为号号引 (2)由题知1,2的斜率分别为k=3,k2=3,截距分 别为6=4，b子6：且61≠b,直线，k平行 (3)由题知.么的斜率分别为=子，=子 截距分别为6子，6g子k=:且6=c,直线1， 重合 变式训练1解：(1)由两点的斜率公式可知直线的 斜*=品1，又直线么的斜率=1，k。由 直线过点B(-1,0),直线l2过点P(1,0),直线11 与12平行. (2)由两点的斜率公式可知直线1，的斜率k=0 -2-3 行，又：直线的斜率=4，k≠，直线与 相交，此时这两条直线不平行 例2解：方法一：由2x+3y+5=0可知直线的斜率k= -弓直线1的斜率也为-号又：直线1过点A1,1), 由点斜式方程可知直线1的方程为y-1-号(-1，即 2x+3y-5=0. 方法二：由2x+3y+5=0可知直线的一个法向量= (2,3),.直线1的一个法向量也为(2,3)·又直 线1过点A(1,1),由直线方程的点法式可知直线1的 方程为2(x-1)+3(y-1)=0,即2x+3y-5=0. 方法三：由直线1与直线2x+3y+5=0平行，可设直线 l的方程为2x+3y+D=0.又.直线1过点A(1,1),.2x1+ 3×1+D=0,解得D=-5.∴.直线l的方程为2x+3y-5=0. 参考答案。 变式训练27x-2y-13=0【解析】由直线1平行于直线 7x-2y-3=0,可设直线1的方程为7x-2y+D=0.又.·直线 1过点(3,4)，.7x3-2x4+D=0,解得D=-13,.直线1 的方程为7x-2y-13=0. 例3解：(1)由l1:x+1=0,l2:y-1=0可知，直线 (Lx轴，直线l2∥x轴，∴直线⊥2 (2)由l:(V2+1)x+y=3, 2:x-(V2-1)y-1=0可知， A4+BB=V2+1-(V2-1)=2≠0， .直线11与2不垂直 变式训练3解：经检验，A(1, A(1,2) 2)不在已知的两条高线上. 设AC边上的高BD所在的 直线为2-3y+1=0,AB边上的高 CE所在的直线为x+y=0. 设B(x,y),则B点在直线 变式训练3答图 BD上， 2x-3y+1=0①， 由于AB⊥CE,kBk-l, -2(-10=-1,m-2=-1②， -1 x=-2, 联立①②解得 B(-2,-1), y=-1, 由于点C在直线x+y=0上，设C(:,y2, 则2+y2=0③， 且如1.号1④ 联立③④，解得7， y2=-7, .C(7,-7), .BC直线方程为2x+3y+7=0. 例4解：方法一：由直线x-2-20可知其斜率为了， ·.直线1的斜率k=-2. 又.·直线1过点（1,0)，根据直线方程的点斜式， 直线1的方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0. 方法二：由直线x-2y-2=0可知它的一个方向向量 a=(2,1),则此向量是直线l的法向量. 又直线1过点(1,0)，根据直线方程的点法式 有2(x-1)+(y-0)=0,即2x+y-2=0. 方法三：直线1可设为-2x-y+D=0, 又直线1过点(1,0)，∴-2×1-0+D-0, 解得D=2,∴.直线l的方程为2x+y-2=0. 变式训练4(-4,2)【解析】由内角∠ABC的平分线 所在直线方程为2x-y+10=0知，点B在直线2x-y+10= 39 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 0上 设B(m,2m+10),则AB中点D的坐标为 2,24由AB边上的中线所在直线方程为+ 2 2y-5=0知，点D在直线x+2y-5=0上，.m+2+2× 2 2m+14-5=-0,解得m=-4,∴点B的坐标为(-4,2). 数学文化 解：由图所示平面直角坐标系可知A,B,C,D四 点坐标分别为(-5,2)，(-1，-2)，(0,0)，(5，-2). 例题答图 (1)由直线方程的两点式可知，直线AB的方程为 号出，化为一般式为中30直线0D的 方程为鼎0-8化为一般式为245=0 (2)由题可知直线BD的方程为y=-2,与x轴平行. (3)解方程组 3=0得5， 2x+5y=0,y=2. .直线AB与CD相交，且交点为(-5,2) 第2课时对称问题 要点精析 例1解：由中点坐标公式可得生-3。 解得y=-7,即C(1,-7), .l4C1=V(-3-1)+(1+7)2=41V5 变式训练1解：设直线1与直线2x-y-2=0交于点A(x1, y),与直线x+y-1=0交于点B(x2,2). 由A,B两点关于点P对称，即线段AB被点P平 分，x+2=-4,y+y=-6,则=-4-，=-6-1. 2r-20期2r2: +yr1=0,x+n=-11, 解得x=-3,y=-8, 即4(3,8).直线1的斜率=等-5，直 线1的方程为y-(-3)=5[x-(-2)],即y=5x+7. 例2解：设点P关于直线1的对称点为P(x,y),则 解得s-2, 生5空岁+3 y=7. 40 故点P4,5)关于直线1的对称点为P(-2,7). 变式训练2x-y+1=0【解析】由题可知直线1是线段 AB的垂直平分线，直线AB的斜率太=会=-1，直线 1的斜率=1.：线段AB的中点坐标为月，子，直 线1的方程为y-子=，即y+1-0. 例3解：由题意得'∥亿，故设1'：x+2y+C=0(C≠-1)， 在1上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1，-1)的 对称点是A'(1,-2),1+2×(-2)+C=0,即C=3,故直 线'的方程为x+2y+3=0. 变式训练3A【解析】设☑上任意一点P(x,y),P(x, y）关于角平分线=x的对称点为P(y,x),因为P'(y, x)在直线l1上，∴.ay+bx+c=0,即l2的方程为ay+bx+c= 0,故选A. 例4解：方法一：设直线a上任意一点P(xo,%),它 的对称点P(x,y)在直线b上，则点P与点P关于 直线1对称， 子)-1， 6+7x-24y X二 x-0 25 解得 3.+0+4.y0-1=0, 68-24-7y 2 2 25 2y4-0,2.6+724y+8-24-7y-4-0, 25 25 化简得直线b的方程为2x+11y+16=0. 方法二：由题知直线a与直线1相交，.直线b通 过直线a与直线l的交点 2x+y-4=0, 由 3x+4y-1=0, 得直线a与直线l的交点M为(3，-2). 在直线a上取点P(2,0),设其关于直线1的对称 点为P(o,yo),则有 -1 4 x5 解得 3x2+4×号-1=0. .8 2 0-5 由M,P两点都在直线b上，根据直线方程的两点 式得直线b的方程为2.x+11y+16=0. 变式训练4V293 【解析】d=1Vx2+y2+6x-10y+34+1Vx2+y2-4x-30y+229 =V(x+3)+(y-57+V(x-2)2+(0y-15, 即d可看作点A(-3,5)和B(2,15)与直线x-y+ 1=0上的点(x,y)的距离之和. 如图，作A(-3,5)关于直线x-y+1=0的对称点 A'(x0,yo),