2.函数与导数专题练习卷----2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数核心考点，以题载法构建从性质应用到导数综合的解题体系，强化逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质|1-6、9-10、12|奇偶性定义法、单调性分段讨论、零点转化思想|从函数定义到性质应用，构建概念-判定-应用逻辑链| |导数应用|7-8、11、13-14、17、19|切线方程求导法、极值点导数判定、零点问题数形结合|导数几何意义到单调性、极值，形成工具-应用-拓展链条| |综合应用|15-16、18|实际问题建模、分类讨论参数范围|函数与导数知识融合，培养数学建模与运算能力|

函数与导数 1.函数的零点是( ) A.和 B.和 C.和6 D.3和6 2.已知，则( ). A. B.1 C.3 D.9 3.已知函数是定义域上的奇函数，则( ) A. B. C.3 D. 4.已知函数为偶函数，则实数( ) A.1 B. C.2 D. 5.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数且的图象过定点，则函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 7.设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知，若过点可以作曲线的三条切线，则( ) A. B. C. D. 9.（多选）设为定义在R上的偶函数，则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知函数，则下列结论正确的是( ) A.当时，的值域为 B.当时，的定义域为 C.的图象关于直线对称 D.若的定义域为R，则实数a的取值范围为 11.（多选）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则( ) A. B.当时， C. D.当且时， 12.若函数为奇函数，则实数a的值为__________. 13.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则___________. 14.已知函数恰好有3个零点，则实数a的取值范围是___________. 15.已知函数，. （1）求函数的值域； （2）求满足方程的x的值. 16.已知函数（，），其中a，b均为实数. （1）若函数的图象经过点，，求函数的值域； （2）如果函数的定义域和值域都是，求的值. 17.已知函数在处取得极小值5. (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最大值. 18.某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（单位：万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元.（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）. （1）将生产这批零件每天的盈利额y（单位：万元）表示为关于日产量x（单位：万件）的函数. （2）当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 19.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）记的极小值为，证明：. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由，得或，所以函数的零点是和6.故选C. 2.答案：D 解析：. 故选D. 3.答案：A 解析：由题意得的定义域为且，因为函数是定义域上的奇函数， 所以，得， 所以，.故选A. 4.答案：B 解析：因为函数为偶函数，又函数的定义域为R， 所以，即， 所以对任意的x恒成立， 又，所以，解得. 故选：B. 5.答案：B 解析：当时，函数，若函数在上单调递增，则有，即；当时，函数，函数在上单调递增.因为函数在R上单调递增，所以，解得.综上可得.故选B. 6.答案：D 解析：令，得，，所以函数且的图象过定点，所以，则，其图象关于直线对称，且在上单调递减，则符合的图象为D选项.故选D. 7.答案：A 解析：因为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以函数在区间上的值域为.对任意的，存在，使得等价于在上的值域是在上的值域的子集，当时，单调递增，在上的值域为，则且，解得；当时，单调递减，在上的值域为，则且，解得.综上，实数k的取值范围为.故选A. 8.答案：B 解析：设切点为，切线方程为，由，所以，所以， 则，所以，令， 则，因为，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，， 依题意有三个零点，所以 且，即； 故选：B. 9.答案：BC 解析：A：显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是奇函数，不符合题意； B：显然该函数的定义域为全体实数，因为， 所以该函数是偶函数，符合题意； C：显然该函数的定义域为全体实数，因为， 所以该函数是偶函数，符合题意； D：由该函数的解析式可知，显然该函数的定义域不为全体实数，不符合题意. 故选：BC. 10.答案：BCD 解析：对于A：当时，，所以的值域为，故A错误； 对于B：当时，要使函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：因为的定义域为R，所以的解集是R，所以，解得，故D正确. 故选BCD. 11.答案：ACD 解析：由，则，则函数的定义域为， 则，，则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又 ， 则，故D正确. 故选：ACD 12.答案：1 解析：当时，，故. 由为奇函数，得，即，故即. 13.答案： 解析：因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得. 14.答案： 解析：解法一：. ， 的零点等价于函数的零点. 又函数定义域为R，且 是R上的奇函数， 只需要考虑在C上有一个零点即可. 又函数在R上单调递增，函数在上单调递增， 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减，的值域是. 当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意； 当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意； 当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使. 当时，，此时在上单调递增，，； 当时，，此时在上单调递减； 又，，， ，在上存在唯一零点，符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 解法二：，是的一个零点. 当时，由，得，令，. 函数定义域为， 为c上偶函数. 则问题转化为直线与函数的图象在上有一个交点. 由，可得，设， 则.在上单调递增， 则，即当时，， 在上单调递减. 又，，在上的值域为， 故，即，故实数a的取值范围是. 解法三：令，得，设.，. 函数的定义域为R，且； 函数的定义域为R，且， 与都是R上的奇函数， 则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 又函数在上单调递增，. 又，，在单调递减， 又，作出函数与直线的图象， ，即，故实数a的取值范围是. 故答案为：. 15.答案：（1） （2） 解析：（1），因为，， 所以，， 即，故的值域是. （2）由，得. 当时，，，方程无解； 当时，，整理得，即. 因为，所以，即. 故满足方程的x的值为. 16.答案：（1） （2） 解析：（1）由题知函数的图象经过点，， 则 函数，函数. 又，，故函数的值域为. （2）若，则函数为增函数， 此时a无解. 若，则函数为减函数， 解得 . 17.答案：(1)， (2) 解析：(1)， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时， 令，解得；令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取极小值，符合题意. 所以，. 又，所以. 综上，，. (2)由(1)知，， 列表如下： x 0 1 2 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 18.答案：（1） （2）当时，日产量为m万件时，该厂可获最大利润； 当时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润 解析：（1）由题意知， 当时，，故， 当时，，故， 所以盈利额y（单位：万元）与日产量x（单位：万件）之间的函数关系为 （2）当时，每天的盈利额为0元，则只需求当时y的最大值. 设，，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，y取最大值160，此时. ②当，即时，由在上单调递增， 得在上单调递减， 所以当，即时，y取最大值. 综上所述，当时，日产量为m万件时，该厂可获最大利润； 当时，日产量为8万件时，该厂可获最大利润. 19.答案：（1） （2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （3）证明见解析 解析：（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得. 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 设函数，，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $