第34讲 三角形中最值与范围·分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦三角形最值与范围，通过12考点22考法系统分类，精选2025-2026年各地模拟题，适配一轮复习能力梯度，强化抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|32题|周长/面积（基本不等式/三角函数）、长度（特殊线段）、隐圆、四心、托勒密定理等|考法4结合向量与四边形，考法15隐圆模型，考法20托勒密定理应用，体现几何直观与模型意识，匹配高考命题趋势|

第34讲 三角形中最值与范围 · 分类练习 考点一：周长问题 1 考法1：求周长最值与范围 1 考点二：面积问题 1 考法2：利用基本不等式求面积最值 1 考法3：利用三角函数求面积最值 1 考法4：结合向量与四边形求面积最值 2 考法5：已知面积求边长或代数式最值 2 考点三：长度问题 2 考法6：利用三角函数求线段长度范围 2 考法7：利用基本不等式求线段长度最值 3 考法8：特殊线段长度范围求解 3 考点四：转化为角范围问题 3 考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 3 考点五：倍角问题 4 考法10：倍角条件下的最值与范围问题 4 考点六：角平分线与中线问题 4 考法11：角平分线相关最值与范围问题 4 考法12：中线相关最值与范围问题 4 考点七：四心问题 5 考法13：三角形四心相关最值与范围问题 5 考点八：坐标法与隐圆问题 5 考法14：建系法与代数式几何意义求最值 5 考法15：隐圆模型求最值 5 考点九：两边夹与正切最值问题 6 考法16：两边夹角关系求最值与范围 6 考法17：化简为正切函数求最值与范围 6 考点十：最大角与特殊点问题 7 考法18：最大角问题 7 考法19：新定义几何问题求解 7 考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 7 考法20：托勒密定理与旋转相似应用 7 考法21：等面积法与张角定理应用 8 考点十二：平方问题与基本不等式综合 8 考法22：平方和问题与基本不等式综合 8 考点一：周长问题 考法1：求周长最值与范围 1.（2026·安徽A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·南阳一中·三模）已知的内角的对边分别为，且，若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 考点二：面积问题 考法2：利用基本不等式求面积最值 3.（2026·菏泽·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用三角函数求面积最值 5.（2026·郑州四中·适应性考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 考法4：结合向量与四边形求面积最值 6.（2026·福漳南三市·4月适应性练习）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为＿＿＿＿＿＿． 7.（2025·福九联盟·5月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，． （1） 若，，求； （2） 若，求四边形的面积的最大值． 考法5：已知面积求边长或代数式最值 8.（2026·黄山·一模）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（多选）（ 　　） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为 考点三：长度问题 考法6：利用三角函数求线段长度范围 9.（2025·深圳高级中学·二诊）（多选）在锐角三角形中，，外接圆的半径为，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·湖南新高考联盟·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考法7：利用基本不等式求线段长度最值 11.（2026·广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为＿＿＿＿＿＿米． 12.（2025·黄冈·9月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法8：特殊线段长度范围求解 13.（2025·江西优创名校·4月联考）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 14.（2026·浙江县域联盟·模拟）（多选）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（ 　　） A. B. C. D. 考点四：转化为角范围问题 考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 15.（2026·湖北云学联盟·5月模拟）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（多选）（ 　　） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 若,则的最小值为 16.（2026·合肥·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 求； （2） 若是锐角三角形，求的取值范围. 考点五：倍角问题 考法10：倍角条件下的最值与范围问题 17.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考点六：角平分线与中线问题 考法11：角平分线相关最值与范围问题 18.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 考法12：中线相关最值与范围问题 19.（2025·河南TOP二十名校·5月联考）记的内角的对边分别为,已知. （1） 证明:; （2） 若边上的中线长为,求的最大值. 考点七：四心问题 考法13：三角形四心相关最值与范围问题 20.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 考点八：坐标法与隐圆问题 考法14：建系法与代数式几何意义求最值 21.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1） 求； （2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 考法15：隐圆模型求最值 22.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　） A. 27 B. 16 C. 10 D. 25 考点九：两边夹与正切最值问题 考法16：两边夹角关系求最值与范围 23.（2026·梅州·3月质检）在中，角所对的边分别为，已知. （1） 求角的大小； （2） 若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 24.（2026·山师大附中·3月检测）在中，角的对边分别为，已知. （1） 求证：； （2） 若是锐角三角形，求的取值范围. 考法17：化简为正切函数求最值与范围 25.（2026·湖南师大附中·模拟）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 26.（2025·衡水·3月联考）记锐角内角的对边分别为，且. （1） 证明：； （2） 求的最大值. 考点十：最大角与特殊点问题 考法18：最大角问题 27.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 证明：； （2） 求内角的最大值. 考法19：新定义几何问题求解 28.（2026·金科大联考·2月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 考法20：托勒密定理与旋转相似应用 29.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　） A. B. C. D. 考法21：等面积法与张角定理应用 30.（2025·江西三新联盟·5月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　） A. B. C. D. 31.（2025·青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考点十二：平方问题与基本不等式综合 考法22：平方和问题与基本不等式综合 32.（2024·吉安六校·5月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲 三角形中最值与范围 · 分类练习（解析卷） 考点一：周长问题 1 考法1：求周长最值与范围 1 考点二：面积问题 2 考法2：利用基本不等式求面积最值 2 考法3：利用三角函数求面积最值 3 考法4：结合向量与四边形求面积最值 4 考法5：已知面积求边长或代数式最值 5 考点三：长度问题 6 考法6：利用三角函数求线段长度范围 6 考法7：利用基本不等式求线段长度最值 7 考法8：特殊线段长度范围求解 9 考点四：转化为角范围问题 10 考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 10 考点五：倍角问题 11 考法10：倍角条件下的最值与范围问题 11 考点六：角平分线与中线问题 12 考法11：角平分线相关最值与范围问题 12 考法12：中线相关最值与范围问题 12 考点七：四心问题 13 考法13：三角形四心相关最值与范围问题 13 考点八：坐标法与隐圆问题 13 考法14：建系法与代数式几何意义求最值 13 考法15：隐圆模型求最值 14 考点九：两边夹与正切最值问题 15 考法16：两边夹角关系求最值与范围 15 考法17：化简为正切函数求最值与范围 16 考点十：最大角与特殊点问题 17 考法18：最大角问题 17 考法19：新定义几何问题求解 18 考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 19 考法20：托勒密定理与旋转相似应用 19 考法21：等面积法与张角定理应用 19 考点十二：平方问题与基本不等式综合 21 考法22：平方和问题与基本不等式综合 21 答案速查表 1 2 3 4 5 A B A B 6 7 8 9 10 （1） （2） BD AC 11 12 13 14 15 C ACD ABC 16 17 18 19 20 （1） （2） A C （1）见解析 （2） 21 22 23 24 25 （1） （2）（i） （ii） A （1） （2） （1）见解析 （2） 26 27 28 29 30 （1）见解析 （2） （1）见解析 （2） ； C D 31 32 考点一：周长问题 考法1：求周长最值与范围 1.（2026·安徽A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得，则，∵，∴，则，∴，，解得.∵是锐角三角形，∴，解得.由正弦定理得，由，得，∴，∴.故选A. 【点拨】利用基本不等式和三角函数有界性求出边角，再结合正弦定理将边转化为角求范围. 2.（2025·南阳一中·三模）已知的内角的对边分别为，且，若，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】解：由正弦定理知，，，，即，，，，，当且仅当时，等号成立，，又，，的取值范围是. 【点拨】利用正弦定理和余弦定理将角化边，结合基本不等式及三角形两边之和大于第三边求范围. 考点二：面积问题 考法2：利用基本不等式求面积最值 3.（2026·菏泽·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理可得，又，，∴，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴，又，∴，，∴的面积，∴当时，的面积取最大值，最大值为. 【点拨】利用余弦定理和基本不等式求出角的余弦值的范围，进而得到正弦值的最大值，代入面积公式求解. 4.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对进行化简，通分可得，即，又，解得；已知，由余弦定理，可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得，三角形面积，当且仅当时等号成立. 【点拨】先利用同角三角函数关系求出角的正余弦值，再结合余弦定理与基本不等式求出两边乘积的最大值. 考法3：利用三角函数求面积最值 5.（2026·郑州四中·适应性考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在中，设，，.根据正弦定理，为三角形外接圆半径.将条件转化为边的关系：左边：，右边：，等式两边相等得：，化简得.结合余弦定理，代入上式得：，整理得.三角形面积.由，得，代入面积公式：，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，此时取得最大值，故. 【点拨】利用正弦定理将角化边，结合余弦定理得到边长平方和为定值，再将面积表示为两边乘积的函数求最值. 考法4：结合向量与四边形求面积最值 6.（2026·福漳南三市·4月适应性练习）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__． 【答案】 【解析】在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以，故，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，则点在第一象限，设点，则，解得，则，因，而，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点，故. 【点拨】通过解三角形确定部分图形的形状，建立平面直角坐标系，利用两角差的正切公式及基本不等式求出角度最大时的动点坐标. 7.（2025·福九联盟·5月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，． （1） 若，，求； （2） 若，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 连接，在中，由余弦定理得，即．因为，，所以，又，所以．在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以； （2） 设，则．在中，由余弦定理得，所以的面积，所以当时，取得最大值．所以四边形的面积的最大值为． 【点拨】将四边形分割为两个三角形，利用余弦定理将面积表示为边长的函数，再通过二次函数求最值. 考法5：已知面积求边长或代数式最值 8.（2026·黄山·一模）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（多选）（ 　　） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，由，则，即，所以，则，即，由于是的最大内角，则，所以，则，即，故为直角三角形，故A错误；对于B，由于，则，即，又，则，所以，则时，取得最大值为，故B正确；对于C，由于，，则面积为，故C错误；对于D，由于，则，即，又，则，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故选：BD. 【点拨】通过三角恒等变换判断出三角形为直角三角形，再利用两锐角互余关系将所求代数式转化为单一变量的函数求最值. 考点三：长度问题 考法6：利用三角函数求线段长度范围 9.（2025·深圳高级中学·二诊）在锐角三角形中，，外接圆的半径为，则（多选）（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】已知锐角中，，. ∵是锐角三角形，∴，. 又，∴. 由得，即. 由正弦定理. ∵，∴. ∵，∴. ∴，即，∴，C正确. . ∵，∴. ∴，∴，A正确，B错误. . . 令，. 当即时，. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. ∴. 又，. ∴的取值范围是. ∴.D错误. 所以选AC. 【点拨】利用正弦定理将边长转化为角的三角函数，根据锐角三角形的条件确定角的范围，再利用三角函数的性质求范围. 10.（2026·湖南新高考联盟·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__． 【答案】 【解析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.在中，，设，则，，在中，，则，由余弦定理得，因，则，故当，即时，，所以的最大值为. 【点拨】引入角度作为自变量，利用余弦定理将线段长表示为三角函数，再通过辅助角公式求最值. 考法7：利用基本不等式求线段长度最值 11.（2026·广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为__米． 【答案】20 【解析】由，可得是直角三角形，其面积，不妨设， ①若在上，如图： 设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立；因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 【点拨】分类讨论线段端点所在边的情况，利用三角形面积公式得到两边乘积，再结合余弦定理与基本不等式求出线段长度的最小值. 12.（2025·黄冈·9月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___． 【答案】 【解析】由，得，由，得①，由余弦定理有，则②，显然．由①+②整理得，解得或（舍去），则，当时等号成立，则边长的最小值为. 【点拨】利用等面积法和余弦定理得到关于边长的等式，再结合基本不等式求出边长的最小值. 考法8：特殊线段长度范围求解 13.（2025·江西优创名校·4月联考）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换，考查数学建模与数学运算的核心素养.设，则，，所以，当，即时，取得最小值. 【点拨】引入角度作为自变量，利用解直角三角形和余弦定理将线段长表示为三角函数，再求最值. 14.（2026·浙江县域联盟·模拟）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（多选）（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】设，则，则由余弦定理，，经计算，设，则，令，得到，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；所以在内最大值为，又因为，，所以，所以，所以. 【点拨】设出线段长度，利用余弦定理将所求比值的平方转化为关于单一变量的函数，通过求导确定其值域. 考点四：转化为角范围问题 考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 15.（2026·湖北云学联盟·5月模拟）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（多选）（ 　　） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 若,则的最小值为 【答案】ABC 【解析】由正弦定理，等价于用降幂公式化简整理得，和差化积由，代入得：，化简得 ().由锐角三角形条件，三个角均小于，，故，推得，A正确.对于选项B由积化和差公式:代入()得:令，，显然单调递减.因此的取值范围是，B正确.对于选项C由积化和差公式:代入等式(*)得令，显然单调递减.因此的取值范围是，C正确.对于选项D由，令(锐角三角形条件,加余弦定理代入齐次后解不等式),则，令，由对勾函数性质,，故，即.因此，即，当且仅当即时等号成立.即的最大值为2,无最小值,D错误. 【点拨】利用正弦定理和三角恒等变换，将边长关系转化为角的三角函数关系，再结合锐角三角形的条件求出角的范围，最后利用函数的单调性求最值. 16.（2026·合肥·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 求； （2） 若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，化简得，即，因为，所以. （2）因为，所以，又.所以.又是锐角三角形，则，解得，所以，，所以的取值范围为. 【点拨】利用正弦定理将边转化为角，再利用辅助角公式化简，结合锐角三角形的内角范围求出整体的取值范围. 考点五：倍角问题 考法10：倍角条件下的最值与范围问题 17.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，即，．为锐角，则，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为． 【点拨】利用倍角公式和和角公式将用和表示，结合正弦定理化简所求代数式，再利用基本不等式求最小值. 考点六：角平分线与中线问题 考法11：角平分线相关最值与范围问题 18.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一：即，，，，，，，，，，而，，，，，. 【点拨】利用正弦定理求出角，再利用等面积法求出角平分线长度表达式，结合余弦定理与基本不等式求最值. 考法12：中线相关最值与范围问题 19.（2025·河南TOP二十名校·5月联考）记的内角的对边分别为,已知. （1） 证明:; （2） 若边上的中线长为,求的最大值. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 4 【解析】（1） 证明:由余弦定理,得,故,即.由正弦定理可得,又,故,即. （2） 解:设为的中点,则.两边平方有,即.故,即,当且仅当时等号成立,故的最大值为4. 【点拨】利用向量的平方运算将中线长转化为边长关系，再结合基本不等式求出两边乘积的最大值. 考点七：四心问题 考法13：三角形四心相关最值与范围问题 20.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，(为内切圆的半径)，又.且.解得.所以.当且仅当时，即为等边三角形有最小值. 【点拨】利用重心和内心的性质，结合面积公式得出两边之和为定值，再利用余弦定理和基本不等式求余弦值的最小值. 考点八：坐标法与隐圆问题 考法14：建系法与代数式几何意义求最值 21.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1） 求； （2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】（1） （2） （i） （ii） 【解析】（1） 在中，因为，所以，代入得到，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，又，，所以. （2） （i）因为，所以，所以.如图，建立平面直角坐标系，此时，，设，，因为，所以，设，代入得，整理得，解得，，当且仅当取得等号，又因为，当且仅当取得等号，所以的最小值为.（ii）此时，所以直线，，所以直线，联立，解得，所以. 【点拨】建立平面直角坐标系，将几何条件转化为动点坐标满足的方程，再将所求代数式转化为坐标的函数求最值. 考法15：隐圆模型求最值 22.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　） A. 27 B. 16 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，则，因为，，所以由平面几何知识得点轨迹为圆弧(因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧)，设圆心为，则由正弦定理可得圆半径为，，因此对角线的最大值为，故选：A. 【点拨】利用正弦定理确定动点轨迹为圆弧，建立坐标系求出圆心坐标，再利用圆的几何性质求出线段的最大值. 考点九：两边夹与正切最值问题 考法16：两边夹角关系求最值与范围 23.（2026·梅州·3月质检）在中，角所对的边分别为，已知. （1） 求角的大小； （2） 若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 解：因为，由正弦定理得，所以，又因为，所以，因为，所以，可得，所以，又因为，故. （2） 解：因为为边上，满足，所以，所以，所以，所以，即有，即，所以，所以，即，当且仅当，即时，取等号，所以，即的面积最大值为. 【点拨】利用向量的平方运算将线段长转化为边长关系，再结合基本不等式求出两边乘积的最大值，代入面积公式求解. 24.（2026·山师大附中·3月检测）在中，角的对边分别为，已知. （1） 求证：； （2） 若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】（1） 证明：由得，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，因为，所以或(舍去)，所以. （2） 由（1）知，，由得，即，所以，因为是锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以. 【点拨】利用正弦定理和余弦定理将边长比转化为角的三角函数，再结合锐角三角形的条件求出角的范围，最后解不等式求出比值的范围. 考法17：化简为正切函数求最值与范围 25.（2026·湖南师大附中·模拟）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由且可知.设，由，可判断为钝角，为锐角，所以.又，因为，所以.所以，所以，，当且仅当时取等号，，满足题干条件.综上，的最小值为6. 【点拨】利用正弦定理将边长关系转化为三角函数关系，再通过换元法将所求代数式转化为关于单一变量的函数，利用基本不等式求最小值. 26.（2025·衡水·3月联考）记锐角内角的对边分别为，且. （1） 证明：； （2） 求的最大值. 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】（1） 证明：由正弦定理可得，，且，故，即，而均不为0，故. （2） 解：由，知，易知，同理可得，故，由于为锐角三角形，所以，即，当且仅当时取等；故的最大值为1. 【点拨】利用正弦定理和三角恒等变换将边角关系化简，再利用基本不等式求出所求代数式的最大值. 考点十：最大角与特殊点问题 考法18：最大角问题 27.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1） 证明：； （2） 求内角的最大值. 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】（1） 证明：由已知得，即， 由余弦定理可得， 所以． （2） 解：由（1）知，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，的最小值为，即内角的最大值为. 【点拨】利用余弦定理将角的余弦值表示为边长的函数，再结合基本不等式求出余弦值的最小值，从而得到角的最大值. 考法19：新定义几何问题求解 28.（2026·金科大联考·2月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【解析】点为的一个布洛卡点，且，.即，故应填(或)；同理可知，不妨记，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，由①②两式作商，可得，所以，即，在中，由余弦定理得，又，故，，，即，的面积，易知当时取等号，即的面积最大值为1. 【点拨】根据新定义理解布洛卡点的几何性质，利用正弦定理和余弦定理将边角关系转化，再结合基本不等式求面积的最大值. 考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 考法20：托勒密定理与旋转相似应用 29.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知，即，所以，，又因为，，因此，.故选：C. 【点拨】利用托勒密定理将对角线乘积转化为对边乘积之和，结合正三角形的性质求出两边之和，再利用面积公式求解. 考法21：等面积法与张角定理应用 30.（2025·江西三新联盟·5月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，所以.由题意知，即，解得. 【点拨】利用等面积法将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，从而求出公共边（角平分线或特定线段）的长度. 31.（2025·青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作垂线，且使，则， ，即，可得， ，即，， ， 设，，在区间单调递减， ，即， ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如右图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立. 因此的最小值为. 【点拨】解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 考点十二：平方问题与基本不等式综合 考法22：平方和问题与基本不等式综合 32.（2024·吉安六校·5月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，因为，所以，所以，所以根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立.故答案为：. 【点拨】利用余弦定理将角的余弦值表示为边长的函数，再结合基本不等式求出余弦值的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $