第39讲 复数·分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 高中数学复数一轮复习分类练习，覆盖7大考点21种考法，通过高考真题考法归类（如2026·湖北襄阳五中检测题），强化概念辨析、运算推理及几何意义应用，适配一轮基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|28题|复数概念、相等与共轭、运算、模、几何意义|结合充要条件判断（考法3）、复数与向量结合（考法16），体现逻辑推理与几何直观| |填空|5题|参数求解、模长计算、数列求和|考法10结合复数幂周期性与数列，渗透数学建模意识| |解答|3题|新定义问题、三角形式运算、证明|考法19四元数新定义问题（2025·河北保定一模）、考法21棣莫弗定理证明，突出创新应用与数学表达|

第39讲 复数 · 分类练习（解析卷） 考点一：复数的概念 1 考法1：复数的分类与概念辨析 1 考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 2 考法3：复数对应点所在象限的判断 2 考点二：复数的相等与共轭复数 3 考法4：利用复数相等求参数或复数 3 考法5：共轭复数的概念与性质判断 3 考法6：实系数一元二次方程的复数根 4 考点三：复数的运算 5 考法7：复数的代数形式四则运算 5 考法8：解复数方程 6 考法9：复数运算与共轭、模长的综合 6 考法10：复数幂的周期性与数列求和 7 考点四：复数的模 8 考法11：直接利用代数形式求模 8 考法12：利用复数方程求模 8 考法13：复数模的综合运算与性质 9 考法14：复数模的最值（非几何法） 9 考点五：复数的几何意义 10 考法15：复数运算与对应点所在象限 10 考法16：复数与平面几何及向量的结合 10 考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 11 考点六：与复数有关的最值问题 12 考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 12 考法19：复数新定义问题 12 考点七：复数的三角形式 14 考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 14 考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 15 考点一：复数的概念 考法1：复数的分类与概念辨析 1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ 　　） A. 如果实数，那么是纯虚数． B. 实数是复数． C. 如果，那么是纯虚数． D. 任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解析】对于 A 中，若，那么，所以 A 错误. 对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确. 对于 C 中，若且时，复数，所以 C 不正确. 对于 D 中，由虚数单位，可得 D 错误. 故选：B. 【点拨】本题考查复数的概念及分类，逐项判定即可求解. 2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【答案】AD 【解析】A. 为纯虚数，故 A 正确. B. ，只有时，才是实数，故 B 错误. C. ，只有时为虚数，为实数，故 C 错误. D. 为实数，故 D 正确. 故选：AD. 【点拨】本题考查复数的概念及运算，利用复数代数形式的运算法则逐一判断即可. 考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 3.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（ 　　） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】由复数为实数，得，即，则， 所以. 故选：C. 【点拨】本题考查复数的概念，根据给定条件求出复数，进而求出其模. 4.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设，因为为纯虚数，所以，因为，所以，故. 【点拨】本题考查复数的概念及模长公式，设出复数的代数形式，结合条件求解即可. 考法3：复数对应点所在象限的判断 5.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】由可得，. 复数在复平面内对应的点为，该点横坐标大于，纵坐标大于，故位于第一象限. 故选：A. 【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，先求出复数的代数形式，再判断其对应点所在象限即可. 6.（2025·河南·检测）已知复数在复平面内对应的点分别为，则“在第二象限”是“在第三象限”的（ 　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设，则.若在第二象限，则，则，所以在第三象限.反之亦成立，所以“在第二象限”是“在第三象限”的充要条件. 故选：A. 【点拨】本题考查复平面与充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养. 考点二：复数的相等与共轭复数 考法4：利用复数相等求参数或复数 7.（2026·河南·检测）已知复数的实部与虚部相等，则实数（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 复数的实部与虚部相等，，解得. 故选：B. 【点拨】本题考查复数的除法运算及复数相等的概念，化简复数后令实部等于虚部即可求解. 8.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则， 所以， 由，所以，故， 所以， 故选：A. 【点拨】本题考查复数相等及复数模的计算，设，代入化简，由复数相等即可得出答案. 考法5：共轭复数的概念与性质判断 9.（2026·广东湛江·检测）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，在复平面内的点关于实轴对称，； . 故选：B. 【点拨】本题考查共轭复数的几何意义及复数的除法运算，根据对称性求出即可求解. 10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】对于 A 选项，若，则，A 对. 对于 B 选项，若，不妨取，则，但，B 错. 对于 C 选项，若，则，故，C 对. 对于 D 选项，若，则，解得，D 错. 故选：AC. 【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断 A 选项；利用特殊值法可判断 B 选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断 C 选项；解方程，可判断 D 选项. 考法6：实系数一元二次方程的复数根 11.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为实系数一元二次方程的虚根成对出现，且是方程的根，所以方程的另一个根为. 根据韦达定理可得，，解得. 且，解得. 所以. 故选：A. 【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根性质及韦达定理，利用共轭根的性质求解即可. 12.（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为方程两根为，不妨设两根为，则两根在复平面上对应的点分别为.因为是等边三角形，则，则. 【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根及复数的几何意义，求出方程的根并利用等边三角形的性质求解即可. 考点三：复数的运算 考法7：复数的代数形式四则运算 13.（2026·河北·检测）已知复数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由可得，. 所以. 故选：A. 【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，先求出复数，再写出其共轭复数即可. 14.（多选）（2025·安徽·一模）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】设，则， 所以. 对于 A 选项，由，可得，解得，合乎题意. 对于 B 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意. 对于 C 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意. 对于 D 选项，由，可得，解得，合乎题意. 故选：AD. 【点拨】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，设出纯虚数，利用复数的运算化简可得出的表达式，即可得出合适的选项. 考法8：解复数方程 15.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，. 故选：B. 【点拨】本题考查复数的乘法运算及共轭复数的概念，代入计算即可. 考法9：复数运算与共轭、模长的综合 16.（2026·山东日照·二模）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的是（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】对于A选项，若，则，A对. 对于B选项，若，不妨取，则，但，B错. 对于C选项，若，则，解得，C对. 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断D选项. 17.（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（ 　　）（多选） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对于 A，易知当，时，，但，故 A 错误. 对于 B，，，则，故 B 正确. 对于 C，易知当，时，，此时，故 C 错误. 对于 D，，，故 D 正确. 故选：BD. 【点拨】本题考查复数的运算及共轭复数、模长的性质，利用特例法可判断 A、C 选项，利用复数的模长及共轭复数的性质可判断 B、D 选项. 考法10：复数幂的周期性与数列求和 18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（ 　　）（多选） A. B. C. D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】化简得到. 进一步，即数列周期为2. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项 A. ，A 错误. 选项 B. ，因此，B 正确. 选项 C. .因为，所以总和为，模长，C 正确. 选项 D. ，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆，是圆上点到的距离，两定点距离为，因此的最小值为，D 正确. 故选：BCD. 【点拨】本题考查复数的运算、数列的周期性以及复数模的几何意义，化简递推关系得到数列的周期性是解题的关键. 19.（2026·浙江温州·二模）若为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 【点拨】本题考查复数幂的周期性及错位相减法求和，利用错位相减法求得，进而求解即可. 考点四：复数的模 考法11：直接利用代数形式求模 20.（2026·安徽·二模）已知复数，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】虚数不能比较大小，，，故. 故选：B. 【点拨】本题考查复数模的计算及虚数不能比较大小的性质. 21.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得，，则，则. 【点拨】本题考查复数的几何意义及向量模长的计算，根据复数写出对应向量的坐标即可求解. 考法12：利用复数方程求模 22.（2026·安徽·检测）若，则的虚部为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则. 由得， 即，化简得， 所以，解得. 故的虚部为1. 故选：A. 【点拨】本题考查复数模的计算，设出复数的代数形式，利用模长公式列方程求解即可. 23.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】法一：设复数，由已知， 从而，，； 法二：显然，则，则，则；设，从而，则. 故选：D. 【点拨】本题考查复数方程求模，设出复数的代数形式，利用复数相等列方程组求解即可. 考法13：复数模的综合运算与性质 24.（2025·河北保定·二模）若非零复数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，因为，所以. 故选：C. 【点拨】本题考查复数模的性质，利用结合条件即可求解. 25.（2025·江西·模拟）已知复数满足，则下列结论正确的是（ 　　）（多选） A. 可能为 B. C. 的实部与虚部之积不大于 3 D. 在复平面内对应的点可能是 【答案】BCD 【解析】当时，，A 错误.易知，B 正确.设，则，因为，所以，C 正确.因为，所以 D 正确. 故选：BCD. 【点拨】本题考查复数模的性质及基本不等式的应用，利用复数代数形式及模长公式逐一判断即可. 考法14：复数模的最值（非几何法） 26.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，. 所以. 当时，取得最小值0，此时取得最小值. 故选：A. 【点拨】本题考查复数的运算及模长的最值，先求出复数的代数形式，再利用二次函数的性质求最值即可. 考点五：复数的几何意义 考法15：复数运算与对应点所在象限 27.（2025·广东·检测）在复平面内，对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】对应的点坐标是位于第四象限. 故选：D. 【点拨】本题考查复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解. 28.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【解析】由于，则的实部为3，的虚部为2，不是2， 由于，，在复平面内对应的点在第四象限. 故选：ACD. 【点拨】本题主要考查复数的概念，复数的基本运算.试题强调基础，注重对基本概念，基本思想方法的考查. 考法16：复数与平面几何及向量的结合 29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】复数对应的向量绕原点顺时针旋转，相当于乘以复数. 所以旋转后的复数为. 故选：A. 【点拨】本题考查复数乘法的几何意义，将旋转转化为复数乘法运算即可求解. 30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ 　　） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】由题意得. 对于 A，，故 A 错误. 对于 B，，故 B 正确. 对于 C，若，则，即，所以，故 C 正确. 对于 D，若，则，即，两边取共轭得，故 D 正确. 故选：BCD. 【点拨】本题考查复数的几何意义、共轭复数及复数模的性质，根据复数对应的点写出代数形式，逐一判断即可. 考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 31.（2026·江西·检测）若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则，当时，不满足题意，其余均满足题意，故在复平面内对应的点的坐标不可能为. 故选：C. 【点拨】本题考查复数模的几何意义，将复数模转化为两点间的距离，代入选项验证即可. 32.（2025·江西·联考）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ 　　）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由，得，即复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上. 由，得复数对应的点在点和连线的中垂线上，即直线上. 因为方程组有且仅有一个复数解，所以直线与圆相切， 即，即，解得或. 故选：AC. 【点拨】本题考查复数模的几何意义及直线与圆的位置关系，将复数方程转化为几何图形，利用数形结合思想求解即可. 考点六：与复数有关的最值问题 考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 33.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心 C 到点的距离， 则的最大值为. 故选：A. 【点拨】本题考查复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 考法19：复数新定义问题 34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． （1）若，求的值； （2）已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）由，得， 所以 ； （2）（i）由题意 ， 则 ， 又因为， 所以， ， 或， ， 故， 所以； （ii）由， 得， 又因为 ，① 当且仅当时取等号， 同理，② ，③ ，④ 由①+②+③+④得 ， 即， 又 ， 所以， 所以. 【点拨】本题考查新定义运算及不等式的证明，理解四元数的运算规则，利用基本不等式放缩是解题的关键. 考点七：复数的三角形式 考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】，，，. A：，，所以，A正确. B：.两者不一定相等，B错误. C：.所以，C正确. D：.两者不一定相等，D错误. 故选：AC. 【点拨】本题考查复数的三角形式及向量的数量积，将复数转化为向量坐标，利用向量运算逐一判断即可. 考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）设， 则， ， ， 则，而， 所以； （2）已知， 则， 所以， ， 因为，所以，即，解得； （3）由棣莫弗定理公式， 得， ； ， ； ， ， 则，， 所以. 【点拨】本题考查复数的三角形式及棣莫弗定理的应用，利用棣莫弗定理化简复数的幂是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 复数 · 分类练习 考点一：复数的概念 1 考法1：复数的分类与概念辨析 1 考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 1 考法3：复数对应点所在象限的判断 1 考点二：复数的相等与共轭复数 2 考法4：利用复数相等求参数或复数 2 考法5：共轭复数的概念与性质判断 2 考法6：实系数一元二次方程的复数根 2 考点三：复数的运算 2 考法7：复数的代数形式四则运算 2 考法8：解复数方程 3 考法9：复数运算与共轭、模长的综合 3 考法10：复数幂的周期性与数列求和 3 考点四：复数的模 3 考法11：直接利用代数形式求模 3 考法12：利用复数方程求模 4 考法13：复数模的综合运算与性质 4 考法14：复数模的最值（非几何法） 4 考点五：复数的几何意义 4 考法15：复数运算与对应点所在象限 4 考法16：复数与平面几何及向量的结合 4 考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 5 考点六：与复数有关的最值问题 5 考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 5 考法19：复数新定义问题 5 考点七：复数的三角形式 6 考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 6 考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 6 考点一：复数的概念 考法1：复数的分类与概念辨析 1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ 　　） A. 如果实数，那么是纯虚数． B. 实数是复数． C. 如果，那么是纯虚数． D. 任何数的偶数次幂都不小于零． 2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 3.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（ 　　） A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 4.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿ 考法3：复数对应点所在象限的判断 5.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.（2025·河南·检测）已知复数在复平面内对应的点分别为，则“在第二象限”是“在第三象限”的（ 　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点二：复数的相等与共轭复数 考法4：利用复数相等求参数或复数 7.（2026·河南·检测）已知复数的实部与虚部相等，则实数（ 　　） A. B. C. D. 8.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 考法5：共轭复数的概念与性质判断 9.（2026·广东湛江·检测）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考法6：实系数一元二次方程的复数根 11.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 12.（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则＿＿＿＿＿＿ 考点三：复数的运算 考法7：复数的代数形式四则运算 13.（2026·河北·检测）已知复数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 14.（2025·安徽·一模）（多选）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　） A. B. C. D. 考法8：解复数方程 15.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　） A. B. C. D. 考法9：复数运算与共轭、模长的综合 16.（2026·山东日照·二模）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的是（多选）（ 　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 17.（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（多选）（ 　　） A. B. C. D. 考法10：复数幂的周期性与数列求和 18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（多选）（ 　　） A. B. C. D. 若，则的最小值为 19.（2026·浙江温州·二模）若为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿ 考点四：复数的模 考法11：直接利用代数形式求模 20.（2026·安徽·二模）已知复数，，则（ 　　） A. B. C. D. 21.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿ 考法12：利用复数方程求模 22.（2026·安徽·检测）若，则的虚部为（ 　　） A. B. C. D. 23.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 考法13：复数模的综合运算与性质 24.（2025·河北保定·二模）若非零复数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 25.（2025·江西·模拟）已知复数满足，则下列结论正确的是（多选）（ 　　） A. 可能为 B. C. 的实部与虚部之积不大于 3 D. 在复平面内对应的点可能是 考法14：复数模的最值（非几何法） 26.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考点五：复数的几何意义 考法15：复数运算与对应点所在象限 27.（2025·广东·检测）在复平面内，对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 28.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 考法16：复数与平面几何及向量的结合 29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　） A. B. C. D. 30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ 　　） A. B. C. 若，则 D. 若，则 考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 31.（2026·江西·检测）若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ 　　） A. B. C. D. 32.（2025·江西·联考）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（多选）（ 　　） A. B. C. D. 考点六：与复数有关的最值问题 考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 33.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　） A. B. C. D. 考法19：复数新定义问题 34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，． （1）若，求的值； （2）已知四元数． （i）若，求证：； （ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：． 考点七：复数的三角形式 考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　） A. B. C. D. 考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $