2027届高考物理一轮复习专项训练：第四章 “圆锥摆”模型与水平面内的圆周运动临界问题

**基本信息** 聚焦圆周运动核心模型与临界问题，通过受力分析、几何关系及临界条件构建解题体系，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆锥摆模型|5题（含多校联考真题）|受力分析正交分解、临界状态极值分析、周期公式推导|从圆周运动公式出发，结合几何关系确定半径，通过竖直/水平方向力平衡方程推导角速度与力的关系| |水平面内圆周运动临界问题|4题（含青岛模拟题）|摩擦力方向判断、多物体临界条件关联、最大静摩擦力应用|以向心力来源为核心，分析静摩擦力为0或最大时的临界状态，建立角速度与力的动态关系|

“圆锥摆”模型 1.(多选)(2026·湖南省多校联考)如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，一长为R的轻绳一端固定于球上，另一端连接于圆环最低点，轻绳能承受的最大拉力为2mg，g为重力加速度。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，轻绳处于伸直状态，小球始终相对圆环静止，圆环对小球的作用力为FN，轻绳对小球的作用力为FT，小球可视为质点。下列说法正确的是(　　) A.ω的最小值为 B.ω的最大值为 C.FN与FT的差值随ω的增大而增大 D.当ω=2时，FN与FT的比值等于3 2.光滑直杆AO1可绕竖直轴O1O2转动，质量为m的小球套在杆上。现先让直杆绕轴O1O2以角速度ω1匀速转动，∠AO1O2=α，稳定后小球在图示位置，此时小球的加速度大小为a1，速度大小为v1；增大∠AO1O2为β，再让直杆以角速度ω2匀速转动，稳定后小球的高度不变，此时小球的加速度大小为a2，速度大小为v2。则(　　) A.ω1=ω2，v1<v2，a1<a2 B.ω1>ω2，v1=v2，a1>a2 C.ω1=ω2，v1<v2，a1>a2 D.ω1>ω2，v1=v2，a1<a2 3.如图所示，竖直放置一光滑的大圆环，圆心为O，半径为R。一根轻质细绳一端固定在大圆环的最高点，另一端连接一质量为M且套在大圆环上的小球(可视为质点)，静止时细绳与过圆心O的竖直轴O1O2之间的夹角为θ=30°，现让大圆环绕竖直轴从静止开始缓慢增加转动的角速度，直至小球将要沿着大圆环向上滑动，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.细绳拉力先减小后增大，大圆环对小球的弹力一直减小 B.细绳对小球的拉力比大圆环对小球的弹力先达到零 C.角速度增大到时，大圆环对小球的弹力为零 D.角速度增大到时，细绳对小球的拉力为零 4.(多选)(2025·山西省九师联盟检测)如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环，小圆环的大小可忽略不计，穿过圆环的细线两端分别连接着小球A、B，A、B球的质量分别为m1、m2，使两球均绕C环做圆锥摆运动，两球做圆锥摆运动的周期恰好相等，已知C到A长度为L1、C到B长度为L2，A球做圆周运动的半径为r1、B球做圆周运动的半径为r2，小球的大小忽略不计，空气阻力忽略不计，则下列判断正确的是(　　) A.A、B两球一定在同一平面内做圆周运动 B.若L1与L2不等，则两球一定不在同一平面内做圆周运动 C.一定有m1L1=m2L2 D.一定有m1r1=m2r2 5.(2025·江苏苏州市检测)如图所示，质量相同可视为质点的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，忽略空气阻力，则(　　) A.甲、乙的向心力大小相等 B.甲、乙的线速度大小相等 C.乙、丙的角速度大小相等 D.乙、丙的线速度大小相等 水平面内的圆周运动临界问题 1.如图所示，质量为m的小物块开始时静止在一半径为R的球壳内，它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°，现让球壳随转台绕转轴OO'一起转动，小物块在球壳内始终未滑动，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　) A.小物块静止时受到的摩擦力大小为mg B.若转台的角速度为，小物块不受摩擦力 C.若转台的角速度为，小物块受到沿球壳向下的摩擦力 D.若转台的角速度为，小物块受到沿球壳向下的摩擦力 2.如图所示，洗衣机内的漏斗状容器可以绕竖直中心轴OO'匀速转动，质量为m的物块B放在容器倾斜侧壁上，倾斜侧壁的倾角为45°，质量也为m的物块A贴在竖直侧壁上，A、B与容器侧壁间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B两物块到转轴的距离分别为2r、r，重力加速度为g，不计物块的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使两物块均相对于容器静止，容器转动的角速度ω大小范围为(　　) A.≤ω≤ B.≤ω≤ C.≤ω≤ D.≤ω≤ 3.(2025·山东青岛市模拟)如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上，两物块与圆盘间的最大静摩擦力均为Ff0。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力(Ffa)随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是(　　) 4.(12分)如图甲，用一根长为L=1 m的细线，一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥体顶端，圆锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕圆锥体的竖直中心轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT，g取10 m/s2 ，sin 37°=，cos 37°=。(计算结果可用根式表示) (1)(2分)若要小球离开圆锥面，则小球的角速度ω0 至少为多大？ (2)(4分)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω1为多大？ (3)(6分)细线的张力FT与小球匀速转动的角速度ω有关，当ω的取值范围在0到ω1之间时，请通过计算求解FT与ω2的关系，并在图乙坐标纸上作出FT-ω2的图像，标明关键点的坐标值。 参考答案 “圆锥摆”模型 1.(多选)(2026·湖南省多校联考)如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，一长为R的轻绳一端固定于球上，另一端连接于圆环最低点，轻绳能承受的最大拉力为2mg，g为重力加速度。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，轻绳处于伸直状态，小球始终相对圆环静止，圆环对小球的作用力为FN，轻绳对小球的作用力为FT，小球可视为质点。下列说法正确的是(　　) A.ω的最小值为 B.ω的最大值为 C.FN与FT的差值随ω的增大而增大 D.当ω=2时，FN与FT的比值等于3 答案　BD 解析　设轻绳与竖直直径夹角为θ，由几何关系可得θ=60°，则小球做圆周运动的半径为r=Rsin 60°=R 如图，小球受三个力作用， 有FTcos 30°+FNcos 30°=mω2r，FTsin 30°+mg=FNsin 30°。当FT=0时，对应的角速度ω有最小值，得ωmin=，选项A错误；当FT=2mg时，对应的角速度ω有最大值，得ωmax=，选项B正确；因为FN-FT=2mg，与ω无关，所以选项C错误；当ω=2时，求得FN=3mg，FT=mg，FN与FT的比值等于3，故选项D正确。 2.光滑直杆AO1可绕竖直轴O1O2转动，质量为m的小球套在杆上。现先让直杆绕轴O1O2以角速度ω1匀速转动，∠AO1O2=α，稳定后小球在图示位置，此时小球的加速度大小为a1，速度大小为v1；增大∠AO1O2为β，再让直杆以角速度ω2匀速转动，稳定后小球的高度不变，此时小球的加速度大小为a2，速度大小为v2。则(　　) A.ω1=ω2，v1<v2，a1<a2 B.ω1>ω2，v1=v2，a1>a2 C.ω1=ω2，v1<v2，a1>a2 D.ω1>ω2，v1=v2，a1<a2 答案　B 解析　设圆周运动所在平面与O1的高度为h，圆周半径为r，则 tan α==，Fn=，联立解得v2=gh 所以线速度 v与角度、半径无关。根据ω= 由几何关系可知r1<r2，可得ω1>ω2 根据a=，可得a1>a2故选B。 3.如图所示，竖直放置一光滑的大圆环，圆心为O，半径为R。一根轻质细绳一端固定在大圆环的最高点，另一端连接一质量为M且套在大圆环上的小球(可视为质点)，静止时细绳与过圆心O的竖直轴O1O2之间的夹角为θ=30°，现让大圆环绕竖直轴从静止开始缓慢增加转动的角速度，直至小球将要沿着大圆环向上滑动，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.细绳拉力先减小后增大，大圆环对小球的弹力一直减小 B.细绳对小球的拉力比大圆环对小球的弹力先达到零 C.角速度增大到时，大圆环对小球的弹力为零 D.角速度增大到时，细绳对小球的拉力为零 答案　C 解析　对小球进行受力分析，如图甲所示 FTsin θ-FNcos θ=mω2r FTcos θ=FNsin θ+mg 圆周运动的半径r=Rcos θ=R 解得FT=mg-mω2R，FN=mg-mω2R， 随着ω的增大，拉力FT一直减小直到为0，而支持力FN会先减小到0再反向增大，故A错误； 若支持力FN=0 代入上式，解得ω=，故C正确； 若拉力FT=0，此时FN已经反向，如图乙所示 代入上式， 解得ω=，故D错误；由<可知细绳对小球的拉力比大圆环对小球的弹力后达到零，故B错误。 4.(多选)(2025·山西省九师联盟检测)如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环，小圆环的大小可忽略不计，穿过圆环的细线两端分别连接着小球A、B，A、B球的质量分别为m1、m2，使两球均绕C环做圆锥摆运动，两球做圆锥摆运动的周期恰好相等，已知C到A长度为L1、C到B长度为L2，A球做圆周运动的半径为r1、B球做圆周运动的半径为r2，小球的大小忽略不计，空气阻力忽略不计，则下列判断正确的是(　　) A.A、B两球一定在同一平面内做圆周运动 B.若L1与L2不等，则两球一定不在同一平面内做圆周运动 C.一定有m1L1=m2L2 D.一定有m1r1=m2r2 答案　AC 解析　设细线与竖直方向的夹角为θ，圆环C到小球做圆周运动所在平面的高度为h，则mgtan θ=mhtan θ 所以圆锥摆的周期T=2π 由于两球做圆锥摆运动的周期相等，则两球的高度相等，在同一平面内做圆周运动，故A正确，B错误； 设细线的拉力为F，则F=== 所以=，即m1L1=m2L2，故C正确，D错误。 5.(2025·江苏苏州市检测)如图所示，质量相同可视为质点的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，忽略空气阻力，则(　　) A.甲、乙的向心力大小相等 B.甲、乙的线速度大小相等 C.乙、丙的角速度大小相等 D.乙、丙的线速度大小相等 答案　D 解析　设绳子与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得F合=mgtan θ=F向=ma 可得向心加速度大小为a=gtan θ，由于乙对应的θ较大，所以甲的向心力小于乙的向心力；甲的运动半径小于乙的运动半径，根据F向=m可知甲的线速度小于乙的线速度，故A、B错误；乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，设抛物线方程为y=kx2，乙、丙的坐标分别为(x乙，y乙)、(x丙，y丙)，则有=。根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2r=m，其中tan θ=，r=x，可得ω=，v=。 由于y乙>y丙，=，则有ω乙<ω丙，v乙=v丙 故C错误，D正确。 水平面内的圆周运动临界问题 1.如图所示，质量为m的小物块开始时静止在一半径为R的球壳内，它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°，现让球壳随转台绕转轴OO'一起转动，小物块在球壳内始终未滑动，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　) A.小物块静止时受到的摩擦力大小为mg B.若转台的角速度为，小物块不受摩擦力 C.若转台的角速度为，小物块受到沿球壳向下的摩擦力 D.若转台的角速度为，小物块受到沿球壳向下的摩擦力 答案　D 解析　静止时，对小物块受力分析，根据平衡条件有Ff=mgsin θ=mg，故A错误；球壳随转台绕转轴OO'一起转动，小物块做匀速圆周运动，设小物块所受的摩擦力恰好为0时的角速度为ω0，对小物块进行受力分析，则有mgtan θ=mRsin θ，解得ω0=，故B错误；因ω0>，小物块有沿球壳向下运动的趋势，受到沿球壳向上的摩擦力，故C错误；因ω0<，小物块有沿球壳向上运动的趋势，受到沿球壳向下的摩擦力，故D正确。 2.如图所示，洗衣机内的漏斗状容器可以绕竖直中心轴OO'匀速转动，质量为m的物块B放在容器倾斜侧壁上，倾斜侧壁的倾角为45°，质量也为m的物块A贴在竖直侧壁上，A、B与容器侧壁间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B两物块到转轴的距离分别为2r、r，重力加速度为g，不计物块的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使两物块均相对于容器静止，容器转动的角速度ω大小范围为(　　) A.≤ω≤ B.≤ω≤ C.≤ω≤ D.≤ω≤ 答案　B 解析　当物块A刚好不下滑时有FN1=m·2r μFN1=mg，求得ω1= 当物块B刚好不下滑时有FN2sin 45°- μFN2cos 45°=mr FN2cos 45°+μFN2sin 45°=mg 求得ω2= 当物块B刚好不上滑时FN3sin 45°+μFN3cos 45°=mr FN3cos 45°=μFN3sin 45°+mg 求得ω3=，要使A、B均不滑动，则转动的角速度必须满足≤ω≤，故选B。 3.(2025·山东青岛市模拟)如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上，两物块与圆盘间的最大静摩擦力均为Ff0。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力(Ffa)随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是(　　) 答案　D 解析　转动过程中a、b角速度相同，当圆盘速度较小时，由静摩擦力提供物块做圆周运动所需的向心力，细线拉力为零，此过程中a、b所受到的摩擦力分别为Ffa=mraω2，Ffb=mrbω2，因为rb>ra，故Ffb>Ffa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，物块b所受的摩擦力先达到最大静摩擦力，当达到最大静摩擦力Ff0时细线开始出现拉力，此时对a、b分析有Ffa-FT=mraω2，Ff0+FT=mrbω2，联立可得Ffa=m(ra+rb)ω2-Ff0，由上述分析可知，细线拉力出现之前Ffa-ω2图像的斜率为mra，细线拉力出现之后图线的斜率为m(ra+rb)，所以细线有拉力时图线斜率变大。故选D。 4.(12分)如图甲，用一根长为L=1 m的细线，一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥体顶端，圆锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕圆锥体的竖直中心轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT，g取10 m/s2 ，sin 37°=，cos 37°=。(计算结果可用根式表示) (1)(2分)若要小球离开圆锥面，则小球的角速度ω0 至少为多大？ (2)(4分)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω1为多大？ (3)(6分)细线的张力FT与小球匀速转动的角速度ω有关，当ω的取值范围在0到ω1之间时，请通过计算求解FT与ω2的关系，并在图乙坐标纸上作出FT-ω2的图像，标明关键点的坐标值。 答案　(1) rad/s　(2)2 rad/s　(3)见解析 解析　(1)小球刚要离开圆锥面时，此时圆锥面对小球的支持力为零，根据牛顿第二定律得： mgtan θ=mLsin θ，解得：ω0==rad/s。 (2)当细线与竖直方向成α=60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有： mgtan α=mω'2Lsin α，解得：ω1==2 rad/s。 (3)a.当ω=0时，FT1=mgcos θ=8 N，标出第一个特殊点坐标(0，8)； b.当0<ω< rad/s时，根据牛顿第二定律得： FTsin θ-FNcos θ=mω2Lsin θ FTcos θ+FNsin θ=mg 解得FT2=mgcos θ+mLω2 sin2 θ=8+ω2 当ω= rad/s时，FT2=12.5 N，标出第二个特殊点坐标(12.5 ，12.5)； c.当 rad/s≤ω≤2 rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β， FT3sin β=mω2Lsin β，解得：FT3=mLω2 当ω=ω1=2 rad/s时，FT3=20 N 标出第三个特殊点坐标(20，20)。 画出FT-ω2图像如图所示。 学科网（北京）股份有限公司 $