专题09 圆周运动的临界极值问题（专项训练）（全国通用）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“模型分类+临界条件+方法迁移”为主线，系统构建圆周运动临界极值问题的解题框架，融合真题感知与分层训练，突出物理观念与科学思维的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |水平面内临界问题|5题|摩擦力/弹力临界条件分析，静摩擦力方向判定|从基础向心力公式出发，通过转盘、圆锥摆模型构建“摩擦力+弹力”共同提供向心力的逻辑链| |竖直面内临界问题|6题|绳/杆/管道模型对比，最高点速度临界值推导|以“能否通过最高点”为核心，区分不同约束条件下的受力特点，建立动力学方程与能量观点的联系| |斜面上临界问题|4题|重力分力与摩擦力的合成向心力分析|将斜面场景分解为“垂直斜面平衡+沿切线运动”，拓展临界条件至非水平面场景| |进阶/拔高训练|33题|多物体系统临界状态判定，复杂情景受力分析|通过变式训练实现方法迁移，强化模型建构与科学推理能力|

专题09 圆周运动的临界极值问题 目 录 真题·命题感知 考法01 水平面内圆周运动的临界问题 1 考法02 竖直面内圆周运动的临界问题 4 考法03 斜面上圆周运动的临界问题 7 进阶·强化演练 水平转盘的临界问题 9 圆锥摆的临界问题 9 绳/单层轨道的临界问题 15 杆/管道的临界问题 15 斜面上的临界问题 17 拔高·模拟预测 23 真题·命题感知 考法01 水平面内圆周运动的临界问题 1．（2026·江西·模拟预测）2026年3月29日，在世界超级摩托车锦标赛中，车手驾驶某款中国产赛车连续夺得两回合冠军，实现了零的突破。如图，甲、乙、丙三条虚线为赛车过水平发卡弯（又称形弯）的三种行驶线路，为获得更大的安全过弯速度，应选择的线路是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙均可 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 3．圆盘餐桌的上面有半径为50cm的转盘，可绕盘中心的转轴转动。现将一小物块（可视为质点）放在转盘边缘，转动转盘，并逐渐增大转速，当转速增大到一定程度时，小物块从转盘上滑落。已知小物块和转盘表面的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2，小物块从转盘上滑落时转盘转动的角速度至少为（　　） A．1.0rad/s B．1.5rad/s C．2.0rad/s D．2.5rad/s 4．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，一半径为的光滑圆环竖直放置，为其竖直直径。一根轻质细绳一端固定在点，另一端连接一质量为的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与间夹角为。现圆环以角速度绕轴匀速转动，重力加速度为，则（     ） A．圆环静止时，圆环对小球的作用力方向指向圆心 B．圆环匀速转动时，小球处于平衡状态 C．轻质细绳中拉力恰好为时， D．圆环对小球的弹力为时，小球的加速度大小为 5．如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，它与转台间的最大静摩擦力，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O（孔光滑）悬挂一个质量的物体，当转台以角速度匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离不可以的是（g取）M、m均视为质点（　　） A．0.16m B．0.08m C．0.04m D．0.32m 考点解读 1．与摩擦力有关的临界极值问题：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 （1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力，静摩擦力的方向一定指向圆心。 （2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力。 解题方法 情景 受力分析 临界状态对应规律 初始由 临界状态：摩擦力达到最大，有 初始有 临界状态：摩擦力达到最大，有 随着ω继续变大，有，从0开始增大 临界状态1：当时，绳子上将要产生拉力 临界状态 2：当时，A、B将要发生相对滑动 A、B开始滑动的临界状态： 通过比较两接触面的动摩擦因数μ来判定谁先滑动，动摩 擦因数小的先滑动 临界状态：当时，A物体即将相对圆盘向外滑动 考法02 竖直面内圆周运动的临界问题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，竖直圆弧轨道的半径为，小车甲运动到轨道内的最低点，小车乙运动到轨道外的最高点。已知甲、乙两车的质量和速度大小均相等，乙车在最高点时对轨道的压力为0，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙均处于超重状态 B．甲的速度为 C．轨道对甲的支持力等于甲车重力的3倍 D．甲的角速度为 2．（2026·河北承德·一模）如图所示，脱水状态下的滚筒洗衣机，其滚筒绕水平轴转动，漏水孔排出衣物水分，稳定阶段里湿衣物可视为在竖直平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．衣物通过最高点和最低点时线速度相同 B．衣物中的水滴在最低点时最容易发生离心现象，最容易被甩出 C．衣物在最高点受到的弹力一定大于重力 D．衣物从最高点运动到最低点过程中一直处于失重状态 3．如图所示，质量为的小杯子里盛有质量为的水，用绳子系住小杯子在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为，小杯子通过最高点的速度为，取重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．在最高点时绳对小杯子的拉力T的大小为24N B．在最高点时杯子底部对水的压力的大小为8N C．为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率为 D．在最高点处水对杯子底部的作用力方向竖直向下 4．如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，g取，则（　　）（不计空气阻力） A．小球的质量，圆环的半径 B．小球在最高点速度为时，小球与圆环间恰无相互作用 C．小球在最高点受到的弹力是重力大小的时，速度大小可能为 D．为保证小球能做完整的圆周运动，小球在最高点的最小速度是 5．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为，小球半径为，则下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 6．一根轻直杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。已知重力加速度为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球过最高点时的最小速度为 B．小球过最高点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 C．若小球过最低点时的速度大小变为原来的2倍则杆对球的作用力小于原来的4倍 D．若小球过最低点时的速度为则杆对球的作用力大小为 考点解读 在竖直面、斜面内的圆周运动，绝大多数为非匀速圆周运动，其向心力往往是靠绳子的拉力或杆的弹力（或光滑圆弧轨道的内侧、外侧弹力）提供，细绳只能提供拉力而无法提供支持力，杆既可以提供拉力也可以提供支持力。 遇到有关圆周运动的临界问题时，应首先判定题目属于哪一类情况，再通过对物体进行受力分析来确定临界状态和临界条件，然后列出动力学方程，灵活运用圆周运动规律求解。 解题方法 竖直面内圆周运动的两类模型 绳球模型 杆球模型 图示 绳连球 轨道内球 杆连球 管内球 大环套小球 共同特征 绳或轨只能提供指向圆心的力 杆或轨的力既可指向圆心，也可背离圆心 现实典例 凹形桥、水流星、飞机俯冲等 打夯机 由牛顿第二定律列方程 最高点 拉力 支持力 最低点 最高点速度 若，即， 若，， 若背离圆心，， ，即， 若指向圆心，， 最高点速度范围 （，绳球模型中球脱轨） （杆球模型不存在脱轨情况） 最高点临界速度（恰好、刚好） （最高点速度不能为0） （最高点速度可以为0） 考法03 斜面上圆周运动的临界问题 1．（2026·河北保定·二模）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离轴距离0.5m处有一质量为0.2kg的小物体，与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知盘面与水平面的夹角为30°，g取，若小物体与圆盘恰好能始终保持相对静止，则（    ） A． B．小物体做圆周运动的向心力等于其受到的摩擦力 C．最高点与最低点受到的摩擦力相差0.5N D．物体在与圆心等高处受到的摩擦力大小为 2．如图所示，半径为的倾斜圆盘倾角为，绕过圆心O且垂直于盘面的转轴匀速转动。将一质量为m的小物块（可视为质点）放在圆盘边缘，并能随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则圆盘匀速转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·三模）如图所示，长为0.5m的轻绳一端拴接在倾角为37°的光滑固定斜面上的O点，另一端拴一小物块，开始时物块静止在最低点M。在斜面内给物块一与轻绳垂直的初速度，使物块绕O点做圆周运动。已知点为圆周的最高点，物块可看作质点，重力加速度大小，，下列说法正确的是（    ） A．为使物块到达点，初速度至少为 B．为使物块到达点，初速度至少为 C．物块沿圆周向上运动过程中切向加速度大小不变 D．物块沿圆周向上运动过程中切向加速度先减小后增大 4．如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 解题方法 1．特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．方法：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 进阶·强化演练 水平转盘的临界问题 1．如图所示，原长为、劲度系数为的轻质弹簧一端固定在水平圆盘的圆心，另一端与距圆心为的小物块相连，物块质量为相对于圆盘静止。当圆盘绕过点的竖直轴以不同的角速度匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．圆盘对小物块的摩擦力始终背离圆心 B．角速度越大，圆盘对小物块的摩擦力越大 C．当时，小物块恰好不受摩擦力 D．当时，小物块恰好不受摩擦力 2．如图所示，质量相等的木块a和b放在水平转盘上，两者用不可伸长的轻质细绳连接，细绳延长线过圆心，它们与转盘间的动摩擦因数相同，转盘可绕过圆心的中心轴O1O2转动，且速度可调，当转盘转动到两个木块均恰好未发生滑动时，烧断细线，之后两个木块的运动情况是（　　） A．两个木块仍随转盘一起做圆周运动，不发生滑动 B．两个木块均沿半径方向滑动，离转盘圆心越来越远 C．木块a发生滑动，离转盘圆心越来越近，木块b不滑动 D．木块b发生滑动，离转盘圆心越来越远，木块a不滑动 3．如图，用水平细线相连的两个质量均为的物体a和b（可视为质点）沿直径方向分居圆心两侧放在水平圆盘上，细线恰好伸直且无张力，二者到点的距离分别为和，与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。圆盘由静止开始，逐渐增大转速至两物体即将发生滑动的过程中（     ） A．当圆盘转速很小时，物体a和b的向心力由细线拉力提供 B．当物体a达到最大静摩擦力时，细线才开始有拉力 C．当物体b达到最大静摩擦力时，圆盘转动的角速度为 D．当物体a和b即将发生滑动时，圆盘转动的角速度为 4．如图所示，质量分别为、的小物块A、B静置在水平圆盘上，A、B间通过一刚性轻绳跨过光滑转轴相连，到转轴的距离分别为、。已知A、B与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。初始时轻绳刚好伸直且无拉力，圆盘转动的角速度由0开始缓慢增加，下列说法正确的是（     ） A．时，细绳上开始有拉力 B．时，A所受摩擦力为0 C．时，A、B相对圆盘开始滑动 D．从开始到A、B相对圆盘滑动的过程中，A受到的摩擦力先增大后减小 5．如图所示，用细绳一端系着质量的物体A（可视为质点）静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量的物块B，物体A到O点的距离为。若物体A与转盘盘面间的动摩擦因数，重力加速度大小取，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则为使物块B的位置不变，转盘绕中心O旋转的最大角速度为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）如图所示，在水平圆盘上有一条标记线，。圆心点放置一个质量为可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为，其弹力随伸长量变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。使圆盘以某一角速度绕匀速转动，若小物块在点与圆盘能保持相对静止，下列角速度符合条件的有（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，一水平圆盘绕竖直中心轴做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体（均可视为质点）随圆盘做圆周运动，物体N与圆盘未接触。已知两物体与转轴间的距离r＝0.5 m，特殊材料制作的物体M与圆盘面间的动摩擦因数μ2，物体M、N间的动摩擦因数μ1＝0.8，各接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取g＝10 m/s2。为了使物体M、N整体不相对于盘面滑动，求： （1）圆盘转动的最小角速度ω1； （2）物体M与圆盘面间的动摩擦因数μ2的最小值。 8．某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施，如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人（人可看作质点）运动，下方水面上漂浮着一个匀速转动的半径为铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为、平台边缘与转盘平面的高度差。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电机的带动下从点沿轨道做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，起动后悬挂器脱落。已知人与转盘间的动摩擦因数为0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 （1）求人随悬挂器水平运动的位移大小和悬挂器脱落时人的速率； （2）若选手恰好落到转盘的圆心上，求的大小； （3）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度应限制在什么范围？ 圆锥摆的临界问题 9．如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 10．A、B、C三个小球（均视为质点）套在半径为、竖直放置的圆环上，圆环圆心为，现让三个小球一起随圆环绕竖直直径做匀速圆周运动。如图所示，与竖直方向的夹角为，A与圆环间的摩擦力刚好为0，为水平半径，且圆环对B的静摩擦力达最大值，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．圆环对C的弹力可能为0 B．圆环对C的摩擦力可能为0 C．圆环的角速度为 D．B与圆环间的动摩擦因数为 11．如图甲所示，竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为的小球（视为质点）接上不可伸长、长度均为的两相同的轻质细线、，细线能承受的最大拉力为（重力加速度大小为），细线的另一端系在竖直细杆的顶点上，细线的另一端系在杆上的点，、两点间的距离为。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。为了不使细线、断裂，小球的最大线速度为（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图所示，一个光滑的圆锥体轴线竖直，一条长度L=0.5m的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量m=0.2kg的小球，轻绳与轴线之间夹角θ=37°，圆锥体可以绕锥体的轴线以不同的角速度匀速转动，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（     ） A．圆锥体的角速度ω=2rad/s时小球受锥面支持力大小为1.2N B．圆锥体的角速度ω=3rad/s时细绳拉力大小为1.6N C．圆锥体的角速度ω=5rad/s时小球刚好离开锥面 D．圆锥体的角速度ω=6rad/s时细绳拉力大小为3.6N 13．某游乐场的一项游乐设施如图甲所示，可以简化为如图乙所示的模型，已知圆盘的半径为R=2.5m，悬绳长，圆盘启动后始终以恒定的角速度转动，圆盘先沿着杆匀加速上升，再匀减速上升直到到达最高点（整个上升过程比较缓慢），当圆盘上升到最高点转动时，悬绳与竖直方向的夹角为45°，重力加速度取g=10m/s2。求： （1）圆盘到达最高点时转动的角速度； （2）若圆盘到达最高点时离地面的高度为h=22.5m，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸伤地面上的行人，地面上至少要设置多大的不能通行的圆型面积区域； （3）已知甲乙两名乘客的质量分别是m1和m2（m1>m2），在圆盘加速上升的过程中，他们座椅上的悬绳与竖直方向的夹角分别为和，比较和的大小关系。 绳/单层轨道的临界问题 14．细绳的一端固定于O点，另一端系小球，在O点正下方钉一个钉子A。如图小球从某一个高度下摆，下列说法正确的是（     ） A．绳子与钉子接触的瞬间，小球的线速度减小 B．绳子与钉子接触的瞬间，小球的线速度增加 C．钉子的位置越靠下，绳子越容易被小球拉断 D．钉子的位置越靠上，绳子越容易被小球拉断 15．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则下列说法错误的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为 16．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力为 D．小滑块最后刚好能从点正对面的点滑离圆筒 17．（多选）现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着质量为的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，，则（　　） A．为保证小球在竖直平面内做完整圆周运动，点至少应该给小球水平速度为 B．小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力为 C．小球以的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力不为0 D．小球以的速度水平抛出到绳子再次伸直时所经历的时间为 18．一游乐场水上过山车模型图如下，固定在离水面高为的水平平台上的圆形轨道半径为，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。现将一质量为2kg的小球通过过山车模型的多个圆形轨道从A点离开，再通过光滑的水平轨道AC从C点水平飞出落入水中。已知水面宽度为，不计空气阻力，重力加速度g取 求： （1）小球能通过圆形轨道，在B点的速度至少多大； （2）小球能不碰壁且安全落入水中，在C点最大速度是多少； （3）第（2）问中的小球在圆轨道最低点A对轨道的压力大小； 杆/管道的临界问题 19．如图所示，长为L的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g，忽略空气阻力和一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．从最低点运动到最高点的过程中，小球的速度大小保持不变 B．若小球恰能通过最高点，则小球通过最高点时的速度大小为 C．小球运动到最低点时，杆对小球的作用力一定大于小球的重力 D．小球运动到最高点时，杆对小球的作用力方向一定向上 20．如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则g关于小球在最高点的速度v，下列叙述中正确的是（     ） A．v的极小值为 B．v由0逐渐增大，轨道对小球的弹力逐渐增大 C．当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大 D．当由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐减小 21．某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球在细圆管内做竖直圆周运动，已知细圆管半径为，细圆管和小球的质量相等。重力加速度，不计空气阻力，当小球运动到圆管某处时，杆对圆管的作用力恰好为零，则小球此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 22．如图所示，长为r＝0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球（可视为质点），另一端与水平转轴（垂直于纸面）O点连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，已知转动过程中轻杆对小球的最大作用力为1.75mg，轻杆不变形，重力加速度g＝10 m/s2。下列判断正确的是（     ） A．小球转动的角速度为10 rad/s B．小球通过最高点时对杆的作用力为零 C．转动过程中杆对小球的作用力总是沿杆的方向 D．若将题目中的杆换成绳，则小球不能完成圆周运动 23．如图所示，在距电机轴为处有一用轻杆连接的铁块，铁块的质量为，电机的质量为，电机启动后，铁块以角速度绕轴匀速转动，铁块在转动过程中不会接触地面，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．铁块运动过程中加速度不变 B．铁块转动到最高点和最低点时受到轻杆的拉力相同 C．当铁块运动到圆心等高处时，地面对电机的摩擦力为 D．若电机始终不脱离地面，铁块的角速度最大为 24．（多选）如图，半径为的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点的速度最小值为 B．经过最低点时小球一定处于超重状态 C．经过最高点小球可能处于完全失重状态 D．若经过最高点的速度增大，小球在点对管壁压力可能减小 25．（多选）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。下列叙述正确的是（     ） A．小球在最高点时的最小速度 B．小球在最高点时的速度v由逐渐增大，杆对小球的拉力也逐渐增大 C．小球在最高点时，处于失重状态 D．小球在最低点时，杆对球的作用力不一定为拉力 26．长的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量。现让A在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，（）求： （1）A的速率为多大时，杆对A无作用力。 （2）A的速率时，A对杆的作用力。 27．如图甲所示，一个质量为的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以一定的水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次通过管道最高点后又转了不到一圈，从某一位置脱离管道，如图乙，球恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，足球可以看作质点。 （1）若足球第一次经过管道最高点时的速度大小，求此时管道对足球的弹力大小； （2）如图丙，设管道的圆心为，足球脱离管道的位置为，连线与水平方向夹角为，求夹角的正切值； （3）求足球脱离管道时的速度的大小。 斜面上的临界问题 28．如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 29．如下图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取，小球在A点最小速度为（　　） A． B． C． D． 30．如图所示，一倾斜圆盘绕垂直于盘面的中心轴以恒定的角速度转动，盘面与水平面的夹角为，盘上可视为质点的小物块随圆盘一起做匀速圆周运动（与圆盘保持相对静止）。已知物块在最高点的向心力等于重力的，在最低点恰好不滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，则物块与圆盘间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 31．如图所示，一倾斜圆盘绕垂直于盘面中心的转轴以的角速度匀速转动，盘面上离转轴距离2 m处有一质量的小物块与圆盘保持相对静止。盘面与水平面的夹角为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．物块受摩擦力方向始终沿盘面指向转轴 B．物块转至最高点时所受摩擦力大小为3 N C．物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小为2 N D．物块与盘面间的动摩擦因数 32．（多选）如图，可以绕竖直轴转动的水平转台上固定着倾角的斜面ABC，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起匀速转动且相对静止在AB线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（　　） A．小物块受到的支持力大小恒为0.6mg B．小物块可能不受摩擦力 C．小物块受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 D．水平转台转动角速度最小值为 33．很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？ 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。 1．如图所示，一可视为质点的小球用一条不可伸长的轻绳悬挂，在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的轻绳与竖直方向的夹角为。其他条件不变，如果越大，则下列说法错误的是（     ） A．轻绳对小球的拉力越大 B．小球运动的周期越大 C．小球运动的速度越大 D．小球运动的加速度越大 2．如图所示，某自动化物流分拣系统由一水平圆盘构成。一包裹（可视为质点）放置在距转轴处。包裹与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。当圆盘转速缓慢增至包裹恰好滑动时，包裹的线速度大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，水平转盘上放有质量分别为mA=3kg、mB=1kg的A、B两个物块，连接B和转轴的水平轻绳的长度r=0.2m，A、B间的动摩擦因数μ1=0.3，B与转盘间的动摩擦因数μ2=0.1。取重力加速度大小g=10m/s2，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两物块均视为质点。则下列说法正确的是（　　） A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心 B．轻绳刚拉紧时，转盘的角速度大小 C．当转盘的角速度大小ω1=3rad/s，圆盘对B的静摩擦力大小f=1.8N D．当轻绳的拉力F=3.2N时，转盘角速度大小一定是ω2=3rad/s 4．如图所示，一个半径为的圆盘可绕通过其中心且垂直于盘面的竖直轴匀速转动。在圆盘边缘等间隔地固定着三个完全相同的小物块A、B、C（C在圆盘最外端），它们的质量均为，与圆盘间的动摩擦因数均为。当圆盘以角速度缓慢增大时，下列说法正确的是（　　） A．当时，A物块所受摩擦力为 B．当时，B物块所受摩擦力为 C．当时，A、B、C三个物块均已滑动 D．若小物块A、B、C质量分别是、、，则A物块最先滑动 5．如图所示，在水平桌面上有一个可绕圆心转动的转盘，转盘半径为r，有一条足够长的细轻绳绕在转盘上，细绳末端系住一小木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数。当转盘以角速度ωrad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同，细绳沿转盘的切线。已知m，g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．木块做圆周运动的向心力等于细绳的拉力 B．当ω/s稳定时，细绳的长度为1m C．只要满足，木块就可以保持稳定转动 D．只要满足，木块就可以保持稳定转动 6．如图所示为游乐场“旋转飞椅”的简化原理图。处于水平面内的圆形转盘，可绕穿过其中心的竖直轴转动。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为的水平转盘边缘。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直面内，且与竖直方向的夹角为。座椅与游客可视为质点，不计钢绳质量及空气阻力，重力加速度大小为，，。下列说法正确的是（     ） A．加速转动时，游客和座椅受到的合力沿水平方向 B．当稳定时，游客和座椅的角速度 C．转速缓慢增大时，角可以等于 D．转速缓慢增大时，钢绳上拉力的大小和角速度的平方成正比 7．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（     ） A．图a中轻杆长为L，若小球在最高点的角速度大于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A 、B均相对圆盘静止，所在圆周半径， 质量， 则A 、B所受摩擦力 D．图d中是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变 8．如图是某个圆形环岛路，两圆弧车道圆心相同，假设A、B两辆车轮胎与路面之间的动摩擦因数相同。当两车以大小相等的线速度匀速转弯时，下列说法正确的是（     ） A．B车所受的合力大小一定比A车所受的合力大 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．若两车转弯线速度增大，则两车均会发生侧滑 D．A、B两车的向心加速度大小相等 9．2026年3月WSBK葡萄牙站，法国车手瓦伦丁·德比斯驾驶张雪机车820RR-RS赛车，连续两回合夺冠，实现中国摩托车品牌在该赛事的历史性突破。张雪机车赛车专用热熔胎的黏性极强，其与干燥路面间的动摩擦因数达1.2，已知赛道的某一水平弯道半径约为48m，根据以上条件，若要不打滑地通过该弯道，则赛车的最大车速约为（     ） A．24m/s B．18m/s C．12m/s D．10m/s 10．某公园内有一种可供游客娱乐的转盘，转盘表面与水平面成θ角。质量为m、可视为质点的游客随转盘一起绕转轴做匀速圆周运动。游客到转轴的距离为R，游客与转盘表面之间的动摩擦因数为μ。如图所示，P、Q点分别是游客运动的轨迹圆上的最高点和最低点，MN是轨迹圆上垂直于PQ的直径，已知重力加速度大小为g，游客与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．游客在M点受到的摩擦力指向圆心 B．游客在最高点的线速度最小为 C．转盘的最大角速度为 D．游客从Q运动到P的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 11．如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球（可视为质点），轻杆随转轴在竖直平面内绕转轴中心点做角速度为的匀速圆周运动，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力方向指向圆心 B．小球运动到最低点时，杆对球的作用力大小为 C．小球运动到最高点时，杆对球的作用力大小不可能为0 D．小球运动到最高点时，若，杆对球的作用力大小为 12．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B，水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，在转轴带动下轻杆在竖直平面内绕O点匀速转动。某时刻轻杆处于竖直方向且转轴在竖直方向上恰好不受杆的作用力，重力加速度为g，转轴转动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，不可伸长的轻绳一端系一小球，绕固定轴在竖直平面内做圆周运动，小球质量，可视为质点。当小球运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，落地点与飞出点的水平距离，已知从绳断到小球落地的时间为，轴与小球间的绳长，重力加速度，忽略空气阻力。则（    ） A．轴的位置离地面高度为 B．小球落地时的速度大小为 C．小球在圆周运动最低点速度大小为 D．绳子所能承受的最大拉力为21N 14．（多选）如图所示，用细线相连的两个质量均为的相同小物块A和B（可视为质点），沿半径方向放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘静止时，细线处于水平且无张力，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，则（     ） A．，两物体受到的摩擦力方向相反 B．当时，细线张力为 C．当时，两物体开始滑动 D．两物体开始滑动时，细线上张力为 15．（多选）陶艺是中国的传统技艺，融合了古代劳动人民的智慧，某次陶艺制作得到一个半径R=15cm的半球形陶罐，并固定在绕竖直轴OO'转动的水平转台上，可看作如图所示模型，转台以一定的角速度ω匀速转动，O为陶罐的球心，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为53°，已知重力加速度g。下列说法正确的是（     ） A．小物块做圆周运动时可能只受重力与支持力 B．小物块匀速转动时的线速度为v=ωR C．小物块做圆周运动的加速度大于，所受摩擦力沿切线斜向上 D．小物块做圆周运动恰好不受摩擦力时的角速度为 16．（多选）圆周运动是自然界和日常生活中广泛存在的运动形式。如图所示，某人站在水平地面上，手握长为20cm、不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，使球在竖直平面内以手为圆心沿顺时针方向做圆周运动，不计空气阻力，小球可视为质点，重力加速度取，则（　　） A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为1.8m/s B．当小球在最高点的速度为2m/s时，轻绳拉力大小为4N C．若轻绳能承受的最大张力为6N，则小球的最大速度不能超过1m/s D．若小球运动到最低点时绳子断开，则小球将向右做平抛运动 二、非选择题：本题共4题，共52分。 17．（12分）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则： （1）汽车行驶到凸形桥面最高点时超重还是失重？说明理由。 （2）汽车允许的最大速率是多少？ （3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 18．（10分）如图所示，一轻质光滑小圆环Q通过一竖直轻杆悬挂在可绕竖直轴旋转的装置上，一条轻绳穿过小圆环Q，两端分别连接小物块B和小球A，当小球A自然下垂时，小物块B静止在倾角的斜面上恰好不下滑。已知Q在水平地面上的投影为O，Q到O点的高度，Q与A间的轻绳长度为，Q与B的连线平行于斜面，小物块B和斜面间的动摩擦因数，小球A的质量，重力加速度g=10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求小物块B的质量； （2）现使小球A在水平面内按图中所示做匀速圆周运动，要求小物块B相对斜面不滑动，求轻绳的最大拉力以及小球A转动的最大角速度； 19．（12分）某科技馆展品“旋转挑战”如图所示，在水平转台上放一个质量的物块，细绳的一端系在物块上，另一端穿过转台圆心O点处的光滑小孔后悬挂一小球。已知小球的质量，物块可视为质点，物块与O点的距离，转台的转速可调节，重力加速度。 （1）若转台光滑，当物块与转台保持相对静止时，求转台转动的角速度； （2）若转台与物块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使物块与转台保持相对静止，求转台转动的角速度范围（结果可以用根号表示）。 20．（18分）如图所示，一个质量为的小球（视为质点）通过长为的轻绳与悬点连接。初始时刻，将小球从水平位置点（）由静止释放，小球到达最低点时速率为，轻绳恰好断裂。已知点到水平地面的距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力。 （1）求轻绳能承受的最大拉力大小； （2）求小球落地点与点间的水平距离； （3）若将小球从点以一定的初速度竖直下抛，当其运动到点时轻绳恰好断裂，此时轻绳与竖直方向的夹角，取，，求从此时起经时间小球在竖直方向分位移的大小（小球未落地）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆周运动的临界极值问题 参考答案 真题·命题感知 考法01 水平面内圆周运动的临界问题 1．B 2．C 3．C 4．C 5．C 考法02 竖直面内圆周运动的临界问题 1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C 考法03 斜面上圆周运动的临界问题 1．D 2．B 3．B 4．D 进阶·强化演练 水平转盘的临界问题 1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．AB 7．（1）5 rad/s （2）1.25 8．（1） ， （2） （3） 圆锥摆的临界问题 9．D 10．C 11．A 12．CD 13．（1） （2） （3） 绳/单层轨道的临界问题 14．C 15．B 16．C 17．ABD 18．（1）5m/s （2）10m/s （3）100N 杆/管道的临界问题 19．C 20．C 21．B 22．D 23．D 24．BCD 25．BC 26．（1） （2）124N，方向竖直向上 27．（1） （2） （3） 斜面上的临界问题 28．B 29．B 30．A 31．B 32．BCD 33．（1）（2） 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．C 11．D 12．B 13．D 14．BD 15．AD 16．BC 二、非选择题：本题共4题，共52分。 17．（1） 汽车在凸形桥面最高点做圆周运动，圆心在最高点的正下方，因此汽车的向心加速度方向竖直向下；物体加速度方向向下时处于失重状态，因此汽车处于失重状态 （2） （3） 18．（1）2.4kg （2）15N， 19．（1） （2） 20．（1） （2） （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆周运动的临界极值问题 目 录 真题·命题感知 考法01 水平面内圆周运动的临界问题 1 考法02 竖直面内圆周运动的临界问题 6 考法03 斜面上圆周运动的临界问题 12 进阶·强化演练 水平转盘的临界问题 16 圆锥摆的临界问题 16 绳/单层轨道的临界问题 27 杆/管道的临界问题 27 斜面上的临界问题 31 拔高·模拟预测 44 真题·命题感知 考法01 水平面内圆周运动的临界问题 1．（2026·江西·模拟预测）2026年3月29日，在世界超级摩托车锦标赛中，车手驾驶某款中国产赛车连续夺得两回合冠军，实现了零的突破。如图，甲、乙、丙三条虚线为赛车过水平发卡弯（又称形弯）的三种行驶线路，为获得更大的安全过弯速度，应选择的线路是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙均可 【答案】B 【解析】摩托车做圆周运动的向心力由摩擦力提供，则由 可得 因摩擦系数相同，则线路乙的半径越大，越能获得更大的安全转弯速度，应选择线路乙。 故选B。 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 【答案】C 【解析】AB．设两物块的质量为，依题意，二者叠放在一起做匀速圆周运动，做圆周运动的角速度和半径都相同，由牛顿第二定律有，因此一起运动时的、两物块受到的向心力大小相等，合力大小相等，A、B错误； C．根据前面分析可知，物块对物块的摩擦力等于物块的向心力，大小为 物块所受的合外力等于物块的向心力，分析物块的受力，有，其中 得，C正确； D．设和、和圆盘之间的动摩擦因数为，刚好相对滑动时的角速度为，有 得 、整体刚好相对圆盘滑动时的角速度为，有 得，二者临界角速度相等，会同时开始相对圆盘滑动，D错误。 故选C。 3．圆盘餐桌的上面有半径为50cm的转盘，可绕盘中心的转轴转动。现将一小物块（可视为质点）放在转盘边缘，转动转盘，并逐渐增大转速，当转速增大到一定程度时，小物块从转盘上滑落。已知小物块和转盘表面的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2，小物块从转盘上滑落时转盘转动的角速度至少为（　　） A．1.0rad/s B．1.5rad/s C．2.0rad/s D．2.5rad/s 【答案】C 【解析】小物块从转盘上滑落时，有 可得 可知小物块从转盘上滑落时转盘转动的角速度至少为2.0rad/s。 故选C。 4．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，一半径为的光滑圆环竖直放置，为其竖直直径。一根轻质细绳一端固定在点，另一端连接一质量为的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与间夹角为。现圆环以角速度绕轴匀速转动，重力加速度为，则（     ） A．圆环静止时，圆环对小球的作用力方向指向圆心 B．圆环匀速转动时，小球处于平衡状态 C．轻质细绳中拉力恰好为时， D．圆环对小球的弹力为时，小球的加速度大小为 【答案】C 【解析】A．设小球静止时位于圆环上的点，小球受重力、细绳拉力和圆环弹力作用处于平衡状态。由几何关系可知，中，，则，。小球位置在圆环右侧，细绳拉力沿指向左上方，其水平分量向左。为了平衡水平方向的力，圆环弹力的水平分量必须向右。由于半径指向右下方，故弹力必须沿方向，即背离圆心，故A错误； B．圆环匀速转动时，小球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，合外力不为零，小球不处于平衡状态，故B错误； C．当细绳拉力时，小球受重力和圆环弹力作用。合力提供向心力，方向水平指向转轴。竖直方向受力平衡，弹力必须有竖直向上的分量，故指向圆心（沿方向）。与竖直方向夹角为（因为）。竖直方向： 解得 水平方向： 其中转动半径 代入得： 解得：，故C正确； D．当圆环对小球的弹力时，小球受重力和细绳拉力作用。合力提供向心加速度，方向水平。由受力分析可知，合力 根据牛顿第二定律： 解得加速度大小：，故D错误。 故选C。 5．如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，它与转台间的最大静摩擦力，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O（孔光滑）悬挂一个质量的物体，当转台以角速度匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离不可以的是（g取）M、m均视为质点（　　） A．0.16m B．0.08m C．0.04m D．0.32m 【答案】C 【解析】木块随转台做匀速圆周运动，向心力由绳子拉力和静摩擦力共同提供，绳子拉力等于下方悬挂物体的重力， 木块所需向心力 当较大时，所需向心力较大，木块有向外滑动的趋势，静摩擦力指向圆心，且刚好达到最大值时有 解得 当较小时，所需向心力较小，木块有向内滑动的趋势，静摩擦力背离圆心，且刚好达到最大值时有 解得 因此，木块相对转台静止时，半径的范围为 可知木块到O点的距离不可以的是。 故选C。 考点解读 1．与摩擦力有关的临界极值问题：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 （1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力，静摩擦力的方向一定指向圆心。 （2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力。 解题方法 情景 受力分析 临界状态对应规律 初始由 临界状态：摩擦力达到最大，有 初始有 临界状态：摩擦力达到最大，有 随着ω继续变大，有，从0开始增大 临界状态1：当时，绳子上将要产生拉力 临界状态 2：当时，A、B将要发生相对滑动 A、B开始滑动的临界状态： 通过比较两接触面的动摩擦因数μ来判定谁先滑动，动摩 擦因数小的先滑动 临界状态：当时，A物体即将相对圆盘向外滑动 考法02 竖直面内圆周运动的临界问题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，竖直圆弧轨道的半径为，小车甲运动到轨道内的最低点，小车乙运动到轨道外的最高点。已知甲、乙两车的质量和速度大小均相等，乙车在最高点时对轨道的压力为0，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙均处于超重状态 B．甲的速度为 C．轨道对甲的支持力等于甲车重力的3倍 D．甲的角速度为 【答案】B 【解析】A．甲车在最低点，加速度方向指向圆心即竖直向上，处于超重状态；乙车在最高点，加速度方向指向圆心即竖直向下，处于失重状态，故A错误； B．乙车在最高点对轨道压力为0，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 已知甲、乙两车速度大小相等，故甲的速度为，故B正确； C．对甲车在最低点受力分析，受重力和支持力，由牛顿第二定律有 将代入解得 即轨道对甲的支持力等于甲车重力的2倍，故C错误； D．甲的角速度，故D错误。 故选B。 2．（2026·河北承德·一模）如图所示，脱水状态下的滚筒洗衣机，其滚筒绕水平轴转动，漏水孔排出衣物水分，稳定阶段里湿衣物可视为在竖直平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．衣物通过最高点和最低点时线速度相同 B．衣物中的水滴在最低点时最容易发生离心现象，最容易被甩出 C．衣物在最高点受到的弹力一定大于重力 D．衣物从最高点运动到最低点过程中一直处于失重状态 【答案】B 【解析】A．线速度是矢量，匀速圆周运动中，最高点和最低点线速度大小相等，但方向不同，因此线速度不同，故A错误； B．对水滴，匀速圆周运动角速度不变，需要的向心力为；在最低点时，满足 得所需的桶壁作用力 大于最高点的 水滴需要的附着力更大，更易超过水的附着力，发生离心现象被甩出，故B正确； C．衣物在最高点，合力指向圆心（向下），满足 可得 弹力可以小于重力，甚至可以为零，因此弹力一定不大于重力，故C错误； D．向心加速度始终指向圆心：从最高点到最低点过程中，前半段向心加速度有向下的分量，衣物失重；后半段向心加速度有向上的分量，衣物超重，并非一直失重，故D错误。 故选B。 3．如图所示，质量为的小杯子里盛有质量为的水，用绳子系住小杯子在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为，小杯子通过最高点的速度为，取重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．在最高点时绳对小杯子的拉力T的大小为24N B．在最高点时杯子底部对水的压力的大小为8N C．为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率为 D．在最高点处水对杯子底部的作用力方向竖直向下 【答案】C 【解析】A．选杯子和杯子里的水为研究对象，在最高点时由重力和绳子的拉力T的合力提供它们做圆周运动的向心力。由牛顿第二定律有 代入数据解得，故A错误； BD．以水为研究对象，在最高点时由重力和杯底对水的压力的合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有 代入数据解得 方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知在最高点时水对杯子底部的压力竖直向上，故BD错误； C．水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好用来提供向心力，此时在最高点有最小速度，以水为研究对象列牛顿第二定律有 代入数据解得，故C正确。 故选C。 4．如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，g取，则（　　）（不计空气阻力） A．小球的质量，圆环的半径 B．小球在最高点速度为时，小球与圆环间恰无相互作用 C．小球在最高点受到的弹力是重力大小的时，速度大小可能为 D．为保证小球能做完整的圆周运动，小球在最高点的最小速度是 【答案】C 【解析】A．对小球在最高点时受力分析，受到竖直向下的重力和圆环的弹力，速度较小时，圆环对小球的弹力竖直向上，由牛顿第二定律 根据图乙可知，当速度为零时F=20N，则有mg=F，解得m=2kg 根据图乙可知，当外力F为零时v2=8m2•s-2，则有 解得R=0.8m，故A错误； B．当v0=8m/s时，由牛顿第二定律 解得F0=-140N 小球与圆环间有作用力，方向竖直向下，故B错误； C．在最高点受到的弹力是重力大小的时，方向可能背离圆心，也可能指向圆心，由牛顿第二定律或 解得v=2m/s或，C正确； D．因小球在最高点有支撑力，则为保证小球能做完整的圆周运动，小球在最高点的最小速度是零，D错误。 故选C。 5．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为，小球半径为，则下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过最高点时的最小速度 C．小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】C 【解析】AB．在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于时，内管对小球产生弹力，大小为，故最小速度为故AB错误； C．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力。故C正确； D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，外侧管壁有作用力与重力合力提供向心力，内侧管壁没有作用力。当速度比较小时，重力与内侧管壁的作用力的合力提供向心力，外管没有作用力。故D错误。 故选C。 6．一根轻直杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。已知重力加速度为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球过最高点时的最小速度为 B．小球过最高点时的速度越大，杆对它的作用力一定越大 C．若小球过最低点时的速度大小变为原来的2倍则杆对球的作用力小于原来的4倍 D．若小球过最低点时的速度为则杆对球的作用力大小为 【答案】C 【解析】A．小球与轻杆连接，通过最高点的最小速度为零，故A错误； B．当小球到达最高点弹力为零时，重力提供向心力，有 解得 小球在最高点，若，则有 杆子的作用力随着速度的增大而减小，故B错误； C．小球过最低点时 杆对它的作用力 若小球过最低点时的速度大小变为原来的2倍则杆对球的作用力，故C正确； D．若小球过最低点时的速度为，则杆对球的作用力大小为，故D错误。故选C。 考点解读 在竖直面、斜面内的圆周运动，绝大多数为非匀速圆周运动，其向心力往往是靠绳子的拉力或杆的弹力（或光滑圆弧轨道的内侧、外侧弹力）提供，细绳只能提供拉力而无法提供支持力，杆既可以提供拉力也可以提供支持力。 遇到有关圆周运动的临界问题时，应首先判定题目属于哪一类情况，再通过对物体进行受力分析来确定临界状态和临界条件，然后列出动力学方程，灵活运用圆周运动规律求解。 解题方法 竖直面内圆周运动的两类模型 绳球模型 杆球模型 图示 绳连球 轨道内球 杆连球 管内球 大环套小球 共同特征 绳或轨只能提供指向圆心的力 杆或轨的力既可指向圆心，也可背离圆心 现实典例 凹形桥、水流星、飞机俯冲等 打夯机 由牛顿第二定律列方程 最高点 拉力 支持力 最低点 最高点速度 若，即， 若，， 若背离圆心，， ，即， 若指向圆心，， 最高点速度范围 （，绳球模型中球脱轨） （杆球模型不存在脱轨情况） 最高点临界速度（恰好、刚好） （最高点速度不能为0） （最高点速度可以为0） 考法03 斜面上圆周运动的临界问题 1．（2026·河北保定·二模）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离轴距离0.5m处有一质量为0.2kg的小物体，与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知盘面与水平面的夹角为30°，g取，若小物体与圆盘恰好能始终保持相对静止，则（    ） A． B．小物体做圆周运动的向心力等于其受到的摩擦力 C．最高点与最低点受到的摩擦力相差0.5N D．物体在与圆心等高处受到的摩擦力大小为 【答案】D 【解析】A．最低点最容易滑动，小物体恰好相对静止，说明最低点静摩擦力达到最大值。对最低点受力分析，沿盘面指向圆心的合力提供向心力 解得，故A错误； B．小物体的向心力由重力沿盘面的分力和摩擦力的合力提供，不是仅由摩擦力提供，故B错误； C．最高点沿盘面指向圆心方向受力 得 则最高点摩擦力大小为，方向沿斜面向上 最低点沿盘面指向圆心方向受力 得 摩擦力大小差，故C错误； D．物体在圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力为，方向垂直于圆心与物体的连线；向心力沿连线指向圆心，大小为 摩擦力是两个垂直分力的合力，故D正确。 故选D。 2．如图所示，半径为的倾斜圆盘倾角为，绕过圆心O且垂直于盘面的转轴匀速转动。将一质量为m的小物块（可视为质点）放在圆盘边缘，并能随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则圆盘匀速转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】物块随圆盘做匀速圆周运动，在最低点时受到的摩擦力最先达到最大，小物块与圆盘间的动摩擦因数为，则有 解得 故选B。 3．（2026·山东青岛·三模）如图所示，长为0.5m的轻绳一端拴接在倾角为37°的光滑固定斜面上的O点，另一端拴一小物块，开始时物块静止在最低点M。在斜面内给物块一与轻绳垂直的初速度，使物块绕O点做圆周运动。已知点为圆周的最高点，物块可看作质点，重力加速度大小，，下列说法正确的是（    ） A．为使物块到达点，初速度至少为 B．为使物块到达点，初速度至少为 C．物块沿圆周向上运动过程中切向加速度大小不变 D．物块沿圆周向上运动过程中切向加速度先减小后增大 【答案】B 【解析】AB．物块在光滑斜面上做圆周运动，重力垂直斜面的分力与支持力平衡，沿斜面的分力 等效于竖直圆周运动中的重力，等效重力加速度 轻绳模型中，物块刚好到达最高点的临界条件是点绳子拉力为0，等效重力提供向心力 解得 从最低点到最高点，由动能定理 代入数据得，故A错误，B正确； CD．设到物块的半径与等效重力（沿斜面向下）方向的夹角为，将等效重力分解到切向，切向分力大小为 因此切向加速度 物块从到向上运动时，从增大到，先增大（时最大）后减小，因此切向加速度大小先增大后减小，故CD错误。 故选B。 4．如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 【答案】D 【解析】A．根据机械能守恒定律，小球在斜面上做圆周运动速率变化，不是做匀速圆周运动，故A错误； B．据牛顿第二定律得，所以。故B错误； C．小球在最高点时的加速度为，解得。故C错误； D．小球从最低位置转过角度，根据圆周运动和牛顿第二定律有 小球从B运动到A过程中，v减小，减小，线拉力一直在减小，故D正确。 故选D。 解题方法 1．特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．方法：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 进阶·强化演练 水平转盘的临界问题 1．如图所示，原长为、劲度系数为的轻质弹簧一端固定在水平圆盘的圆心，另一端与距圆心为的小物块相连，物块质量为相对于圆盘静止。当圆盘绕过点的竖直轴以不同的角速度匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．圆盘对小物块的摩擦力始终背离圆心 B．角速度越大，圆盘对小物块的摩擦力越大 C．当时，小物块恰好不受摩擦力 D．当时，小物块恰好不受摩擦力 【答案】D 【解析】A．物块做圆周运动，向心力由弹簧弹力和静摩擦力的合力提供。弹簧原长为 ，现长为 ，处于伸长状态，弹力 ，方向指向圆心。 当角速度 较大时，需要的向心力 较大 若 ，则静摩擦力方向指向圆心，故A错误； B．设指向圆心为正方向，根据牛顿第二定律有 即 随着 的增大， 的值从负值（背离圆心）逐渐增大到零，再变为正值（指向圆心）并继续增大。因此，摩擦力的大小先减小后增大，故B错误； CD．当小物块恰好不受摩擦力时，即 ，此时弹簧弹力完全提供向心力，有， 解得 ，故C错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，质量相等的木块a和b放在水平转盘上，两者用不可伸长的轻质细绳连接，细绳延长线过圆心，它们与转盘间的动摩擦因数相同，转盘可绕过圆心的中心轴O1O2转动，且速度可调，当转盘转动到两个木块均恰好未发生滑动时，烧断细线，之后两个木块的运动情况是（　　） A．两个木块仍随转盘一起做圆周运动，不发生滑动 B．两个木块均沿半径方向滑动，离转盘圆心越来越远 C．木块a发生滑动，离转盘圆心越来越近，木块b不滑动 D．木块b发生滑动，离转盘圆心越来越远，木块a不滑动 【答案】D 【解析】木块a和b绕O1O2轴转动，角速度相同，根据可知，木块a做圆周运动所需的向心力小于木块b所需向心力，当圆盘转速加快到两木块刚要发生滑动时，木块b靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，木块b所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，木块b要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是木块a所需要的向心力小于木块a的最大静摩擦力，所以木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动。 故选D。 3．如图，用水平细线相连的两个质量均为的物体a和b（可视为质点）沿直径方向分居圆心两侧放在水平圆盘上，细线恰好伸直且无张力，二者到点的距离分别为和，与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。圆盘由静止开始，逐渐增大转速至两物体即将发生滑动的过程中（     ） A．当圆盘转速很小时，物体a和b的向心力由细线拉力提供 B．当物体a达到最大静摩擦力时，细线才开始有拉力 C．当物体b达到最大静摩擦力时，圆盘转动的角速度为 D．当物体a和b即将发生滑动时，圆盘转动的角速度为 【答案】D 【解析】A．转速很小时，向心力由各自的静摩擦力提供，细线无拉力。因为向心力公式，可知半径大的先受力不足，但尚未达到绳子拉伸的状态，故A错误； B．当达到最大静摩擦力时，由可得 根据向心力公式 把的半径和求得的角速度平方 代入 得 即此时仅需的向心力，未达到最大静摩擦，故细线此前已先产生拉力，故B错误； C．当达到最大静摩擦力时，根据公式可得圆盘角速度应为，故C错误； D．两物块即将滑动时 对， 对， 两式相减消去得 解得临界角速度，故D正确。 故选D 。 4．如图所示，质量分别为、的小物块A、B静置在水平圆盘上，A、B间通过一刚性轻绳跨过光滑转轴相连，到转轴的距离分别为、。已知A、B与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。初始时轻绳刚好伸直且无拉力，圆盘转动的角速度由0开始缓慢增加，下列说法正确的是（     ） A．时，细绳上开始有拉力 B．时，A所受摩擦力为0 C．时，A、B相对圆盘开始滑动 D．从开始到A、B相对圆盘滑动的过程中，A受到的摩擦力先增大后减小 【答案】B 【解析】A．设角速度为时，A的最大静摩擦力提供向心力，则 解得 设角速度为时，B的最大静摩擦力提供向心力，则 解得 圆盘转动的角速度由0开始缓慢增加， 当时，B受到的静摩擦力先达到最大值，细绳上开始有拉力，故A错误； B．当时，B受到静摩擦力已经达到最大值，设此时刚性轻绳的拉力为，则 解得 设此时A受到的摩擦力为，对A： 解得，故B正确； C．当继续增大，A的摩擦力会反向（变为背离圆心），直到A的摩擦力也达到最大值时，A、B即将滑动，设此时刚性轻绳的拉力为，则对A： 对B： 解得，此时A、B相对圆盘开始滑动，故C错误； D．当时，刚性轻绳上无拉力，随着角速度的增大，A 受到的摩擦力（指向圆心）逐渐增大。，刚性轻绳上有拉力，A 受到的摩擦力（指向圆心）逐渐减小，后（背向圆心）逐渐增大，故D错误。 故选B。 5．如图所示，用细绳一端系着质量的物体A（可视为质点）静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量的物块B，物体A到O点的距离为。若物体A与转盘盘面间的动摩擦因数，重力加速度大小取，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则为使物块B的位置不变，转盘绕中心O旋转的最大角速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当角速度最大时，静摩擦力等于滑动摩擦力，且与拉力同向，共同提供向心力，则有， 解得 故选C。 6．（多选）如图所示，在水平圆盘上有一条标记线，。圆心点放置一个质量为可视为质点的小物块，小物块与一根轻质弹性绳连接，绳另一端固定在点正上方的点，圆盘与小物块间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。轻质弹性绳原长为，其弹力随伸长量变化满足胡克定律。图中长度为2L，P为点正下方一固定的光滑小圆环，轻质弹性绳穿过圆环，且。开始时圆盘及小物块都静止，此时测得圆盘对小物块的支持力大小为，g为重力加速度。使圆盘以某一角速度绕匀速转动，若小物块在点与圆盘能保持相对静止，下列角速度符合条件的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】小物块在点 而 则 在点： 弹性绳水平分力 最大静摩擦力 小物块相对圆盘静止圆盘角速度最小时，因 圆盘角速度最大时 解得 则 故选AB。 7．如图所示，一水平圆盘绕竖直中心轴做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体（均可视为质点）随圆盘做圆周运动，物体N与圆盘未接触。已知两物体与转轴间的距离r＝0.5 m，特殊材料制作的物体M与圆盘面间的动摩擦因数μ2，物体M、N间的动摩擦因数μ1＝0.8，各接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取g＝10 m/s2。为了使物体M、N整体不相对于盘面滑动，求： （1）圆盘转动的最小角速度ω1； （2）物体M与圆盘面间的动摩擦因数μ2的最小值。 【答案】（1）5 rad/s （2）1.25 【解析】（1）设物体N的质量为m1，物体N不下滑时，竖直方向上有f1＝m1g 水平方向上有 其中f1＝μ1FN1 代入数据解得ω1＝5 rad/s （2）设物体M的质量为m2，对物体M、N整体受力分析，有FN2＝（m1＋m2）g 水平方向上有 其中f2＝μ2FN2 解得μ2＝1.25 8．某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施，如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人（人可看作质点）运动，下方水面上漂浮着一个匀速转动的半径为铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为、平台边缘与转盘平面的高度差。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电机的带动下从点沿轨道做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，起动后悬挂器脱落。已知人与转盘间的动摩擦因数为0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 （1）求人随悬挂器水平运动的位移大小和悬挂器脱落时人的速率； （2）若选手恰好落到转盘的圆心上，求的大小； （3）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度应限制在什么范围？ 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】（1）人随悬挂器做初速度为0的匀加速直线运动，由匀变速直线运动公式，位移： 速率： 得： ， （2）悬挂器脱落后人做平抛运动，竖直方向自由下落： 得平抛时间： 平抛的水平位移： 转盘轴心离平台的水平距离为匀加速位移与平抛水平位移之和： （3）选手不被甩下的临界情况：选手落在转盘边缘（离圆心最远，所需向心力最大）时，最大静摩擦力恰好提供向心力： 得临界角速度： 要保证任何位置都不被甩下，角速度不能超过临界值，即 圆锥摆的临界问题 9．如图甲所示，杂技演员在绳索的拉力下在空中旋转，可简化为如图乙所示的圆锥摆模型。小球视为质点，质量为m，摆线长为L，角速度为，摆线与竖直方向的夹角为，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的合外力为0 B．小球受到离心力的作用，使小球偏离竖直位置 C．小球做圆周的向心力为 D．缓慢增大时，也逐渐变大 【答案】D 【解析】A．小球做匀速圆周运动，则所受到的合外力不为0，A错误； B．小球受到细绳的拉力和重力的合力提供向心力，使小球偏离竖直位置，B错误； C．小球做圆周运动的向心力为，C错误； D．根据，可得 则缓慢增大时，也逐渐变大，D正确。 故选D。 10．A、B、C三个小球（均视为质点）套在半径为、竖直放置的圆环上，圆环圆心为，现让三个小球一起随圆环绕竖直直径做匀速圆周运动。如图所示，与竖直方向的夹角为，A与圆环间的摩擦力刚好为0，为水平半径，且圆环对B的静摩擦力达最大值，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．圆环对C的弹力可能为0 B．圆环对C的摩擦力可能为0 C．圆环的角速度为 D．B与圆环间的动摩擦因数为 【答案】C 【解析】A．若圆环对C的弹力为0，根据摩擦力产生条件，可知此时摩擦力也为0，则小球只受重力，显然不可能做匀速圆周运动，故A错误； B．若圆环对C的摩擦力为0，若圆环对C的弹力沿半径向里，根据平行四边形定则，可知重力和弹力的合力不可能沿水平方向；若圆环对C的弹力沿半径向外，根据平行四边形定则，可知重力和弹力的合力不可能水平向右，故B错误； C．对小球A，重力和弹力的合力提供向心力，可得 解得圆环的角速度为，故C正确； D．对小球B，竖直方向 又圆环对B的静摩擦力达最大，即 水平方向有 联立解得，故D错误。 故选C。 11．如图甲所示，竖直细杆下端固定在位于地面上的水平转盘上，一质量为的小球（视为质点）接上不可伸长、长度均为的两相同的轻质细线、，细线能承受的最大拉力为（重力加速度大小为），细线的另一端系在竖直细杆的顶点上，细线的另一端系在杆上的点，、两点间的距离为。当杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。为了不使细线、断裂，小球的最大线速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当细线a快要断裂时，对小球受力分析，竖直方向上有 其中 根据向心力公式有 根据几何关系可知 解得 故选A。 12．（多选）如图所示，一个光滑的圆锥体轴线竖直，一条长度L=0.5m的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量m=0.2kg的小球，轻绳与轴线之间夹角θ=37°，圆锥体可以绕锥体的轴线以不同的角速度匀速转动，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（     ） A．圆锥体的角速度ω=2rad/s时小球受锥面支持力大小为1.2N B．圆锥体的角速度ω=3rad/s时细绳拉力大小为1.6N C．圆锥体的角速度ω=5rad/s时小球刚好离开锥面 D．圆锥体的角速度ω=6rad/s时细绳拉力大小为3.6N 【答案】CD 【解析】C．当小球刚好离开锥面时，锥面支持力，小球仅受重力和拉力。 圆周运动半径 竖直方向： 水平方向（向心力）： 可得 ，即时小球刚好离开锥面，故C正确； A．，小球仍在锥面上， 竖直方向： 水平方向： 代入数值解得，故A错误； B．，小球仍在锥面上，同理解得，故B错误； D．，小球已经离开锥面，设此时绳与轴线夹角为 竖直方向： 水平方向： 可得：，故D正确。 故选CD 。 13．某游乐场的一项游乐设施如图甲所示，可以简化为如图乙所示的模型，已知圆盘的半径为R=2.5m，悬绳长，圆盘启动后始终以恒定的角速度转动，圆盘先沿着杆匀加速上升，再匀减速上升直到到达最高点（整个上升过程比较缓慢），当圆盘上升到最高点转动时，悬绳与竖直方向的夹角为45°，重力加速度取g=10m/s2。求： （1）圆盘到达最高点时转动的角速度； （2）若圆盘到达最高点时离地面的高度为h=22.5m，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸伤地面上的行人，地面上至少要设置多大的不能通行的圆型面积区域； （3）已知甲乙两名乘客的质量分别是m1和m2（m1>m2），在圆盘加速上升的过程中，他们座椅上的悬绳与竖直方向的夹角分别为和，比较和的大小关系。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）对乘客与座椅整体进行分析有 解得 （2）若物品掉落，物品做平抛运动，则有， 根据角速度与线速度关系有 地面上圆形区域的半径 则圆型区域面积 解得 （3）甲乙两乘客角速度相等，对甲乙两名乘客进行分析，竖直方向上有 水平方向上有 解得 可知，夹角与乘客质量无关，则有 绳/单层轨道的临界问题 14．细绳的一端固定于O点，另一端系小球，在O点正下方钉一个钉子A。如图小球从某一个高度下摆，下列说法正确的是（     ） A．绳子与钉子接触的瞬间，小球的线速度减小 B．绳子与钉子接触的瞬间，小球的线速度增加 C．钉子的位置越靠下，绳子越容易被小球拉断 D．钉子的位置越靠上，绳子越容易被小球拉断 【答案】C 【解析】AB．小球碰到钉子前后线速度不变，故AB错误； CD．小球在最低点时，根据牛顿定律可得 解得绳子的拉力为 钉子的位置越靠下，小球圆周运动的半径越小，而小球的线速度不变，因此绳子对小球的拉力就越大，绳子就越容易被小球拉断，故C正确，D错误。 故选C。 15．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则下列说法错误的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为 【答案】B 【解析】AB．在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则有 可得 由图像知，图像的斜率为 可得轻质绳长为 图像的纵轴截距为 可得当地的重力加速度为，故A正确，不满足题意要求；B错误，满足题意要求； C．当时，轻质绳的拉力大小为，故C正确，不满足题意要求； D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律可得 联立解得绳的拉力为，故D正确，不满足题意要求。 故选B。 16．（25-26高一下·河南驻马店·期中）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力为 D．小滑块最后刚好能从点正对面的点滑离圆筒 【答案】C 【解析】A．小滑块水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动，则从点到点的时间，则初速度，故A错误； B．小滑块经过点的水平速度为，因有竖直速度 因此合速度大小 可知经过点的速度大于，故B错误； C．小滑块运动过程中，水平方向做匀速圆周运动，则，受到的筒壁的支持力大小不变，但方向不断变化，故C正确； D．小滑块运动的总时间为 则转过的圈数为 可知最后刚好能从点滑离圆筒，故D错误； 故选C。 17．（多选）现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着质量为的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，，则（　　） A．为保证小球在竖直平面内做完整圆周运动，点至少应该给小球水平速度为 B．小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力为 C．小球以的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力不为0 D．小球以的速度水平抛出到绳子再次伸直时所经历的时间为 【答案】ABD 【解析】A．要使小球在竖直平面内做完整圆周运动，在最高点时重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律可得 代入数据计算得出，故A正确； B．当小球以的速度水平抛出的瞬间，设绳的张力为，由牛顿第二定律可知 解得，故B正确； C．当小球以的速度水平抛出的瞬间，因为，故绳子没有张力，故C错误； D．小球以的速度水平抛出，经时间绳拉直，如图所示，在竖直方向有 在水平方向有 由几何知识得 联立并代入数据计算得出，故D正确。 故选ABD。 18．一游乐场水上过山车模型图如下，固定在离水面高为的水平平台上的圆形轨道半径为，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。现将一质量为2kg的小球通过过山车模型的多个圆形轨道从A点离开，再通过光滑的水平轨道AC从C点水平飞出落入水中。已知水面宽度为，不计空气阻力，重力加速度g取 求： （1）小球能通过圆形轨道，在B点的速度至少多大； （2）小球能不碰壁且安全落入水中，在C点最大速度是多少； （3）第（2）问中的小球在圆轨道最低点A对轨道的压力大小； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）小球能通过圆形轨道，在B点的速度最小值满足 解得 （2）小球能不碰壁且安全落入水中，在C点最大速度满足 在竖直方向有 解得 （3）小球经过最低点A时有 因水平轨道AC光滑，故 求得 根据牛顿第三定律，小球在圆轨道最低点A对轨道的压力大小 杆/管道的临界问题 19．如图所示，长为L的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g，忽略空气阻力和一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．从最低点运动到最高点的过程中，小球的速度大小保持不变 B．若小球恰能通过最高点，则小球通过最高点时的速度大小为 C．小球运动到最低点时，杆对小球的作用力一定大于小球的重力 D．小球运动到最高点时，杆对小球的作用力方向一定向上 【答案】C 【解析】A．从最低点运动到最高点的过程中，小球由于重力做负功，所以小球的速度大小变小，故A错误； B．由于杆对球能提供支持力，所以小球能通过最高点的最小速度为0，故B错误； C．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律，有 在最低点速度不可能为0，所以杆对球的作用力为向上的拉力，且大于小球重力，故C正确； D．小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律，若杆对球无作用力，有 解得 若小球的速度大于，则杆对球为向下的拉力，若小球的速度小于，则杆对球为向上的支持力，故D错误。 故选C。 20．如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则g关于小球在最高点的速度v，下列叙述中正确的是（     ） A．v的极小值为 B．v由0逐渐增大，轨道对小球的弹力逐渐增大 C．当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大 D．当由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐减小 【答案】C 【解析】A．因为在轨道最高点内壁可以提供支持力，则最高点的最小速度为零，故A错误； B．若小球在最高点只有重力提供向心力，则有 解得 若v由零增加到过程，此时小球挤压轨道内壁，根据牛顿第二定律有 可知随着v增大，轨道对球的弹力逐渐减小，故B错误； C．当v由值逐渐增大时，此时小球挤压轨道外壁，根据牛顿第二定律有 可知随着v增大，轨道对球的弹力也逐渐增大，故C正确； D．当v由值逐渐减小时，此时小球挤压轨道内壁，根据牛顿第二定律有 可知随着v减小，轨道对球的弹力逐渐增大，故D错误。 故选C。 21．某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球在细圆管内做竖直圆周运动，已知细圆管半径为，细圆管和小球的质量相等。重力加速度，不计空气阻力，当小球运动到圆管某处时，杆对圆管的作用力恰好为零，则小球此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】细圆管和小球的质量相等，设为；当小球运动到圆管某处时，杆对圆管的作用力恰好为零，可知此时小球对圆管的弹力方向竖直向上，大小为，则圆管对小球的弹力方向竖直向下，大小为，对小球根据牛顿第二定律可得 解得小球此时的速度大小为 故选B。 22．如图所示，长为r＝0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球（可视为质点），另一端与水平转轴（垂直于纸面）O点连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，已知转动过程中轻杆对小球的最大作用力为1.75mg，轻杆不变形，重力加速度g＝10 m/s2。下列判断正确的是（     ） A．小球转动的角速度为10 rad/s B．小球通过最高点时对杆的作用力为零 C．转动过程中杆对小球的作用力总是沿杆的方向 D．若将题目中的杆换成绳，则小球不能完成圆周运动 【答案】D 【解析】A．当小球转至最低点时，轻杆对小球的作用力最大，则根据牛顿第二定律有 代入数据可得，小球转动的角速度为，故A错误； B．小球在最高点时，根据牛顿第二定律有 解得小球通过最高点时受到杆的作用力 根据牛顿第三定律，小球通过最高点时对杆的作用力，方向竖直向下，故B错误； C．由于小球是做匀速圆周运动，则转动过程中，杆对小球的作用力不一定沿杆方向，小球的合外力才一定沿杆方向，故C错误。 D．若将杆换成绳，绳子在最高点不能提供支持力，则小球不能完成圆周运动，故D正确。 故选D。 23．如图所示，在距电机轴为处有一用轻杆连接的铁块，铁块的质量为，电机的质量为，电机启动后，铁块以角速度绕轴匀速转动，铁块在转动过程中不会接触地面，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．铁块运动过程中加速度不变 B．铁块转动到最高点和最低点时受到轻杆的拉力相同 C．当铁块运动到圆心等高处时，地面对电机的摩擦力为 D．若电机始终不脱离地面，铁块的角速度最大为 【答案】D 【解析】A．铁块做匀速圆周运动，其加速度始终指向圆心，故加速度大小不变方向不断变化，故A错误； B．铁块在最低点时，由牛顿第二定律 解得轻杆对铁块的拉力 铁块在最高点时，若轻杆表现为拉力，由牛顿第二定律 解得 若轻杆表现为支持力，由牛顿第二定律 解得 综上可知， 故铁块转动到最高点和最低点时受到轻杆的拉力不相同，故B错误； C．当铁块运动到圆心等高处时，铁块具有水平方向的向心加速度 铁块竖直方向的加速度为0。对电机和铁块整体分析，水平方向由牛顿第二定律得地面对电机的摩擦力，故C错误； D．当铁块运动到最高点时，系统处于失重状态，电机对地面的压力最小，最容易脱离地面。对整体分析，竖直方向由牛顿第二定律 若电机始终不脱离地面，则 即 解得，故D正确。 故选D。 24．（多选）如图，半径为的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点的速度最小值为 B．经过最低点时小球一定处于超重状态 C．经过最高点小球可能处于完全失重状态 D．若经过最高点的速度增大，小球在点对管壁压力可能减小 【答案】BCD 【解析】A．由于在最高点圆管能支撑小球，所以小球在最高点时速度的最小值为零，故A错误； B．小球在最低点，根据牛顿第二定律有，加速度向上，则小球处于超重状态，故B正确； C．小球经过最高点时，若对轨道的压力为零，则重力提供向心力，小球处于完全失重状态，故C正确； D．若过最高点的速度小于，则在点轨道对小球有向上的弹力，根据牛顿第二定律可得 此时经过最高点的速度增大，则小球在点对管壁的压力减小，故D正确。 故选BCD。 25．（多选）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。下列叙述正确的是（     ） A．小球在最高点时的最小速度 B．小球在最高点时的速度v由逐渐增大，杆对小球的拉力也逐渐增大 C．小球在最高点时，处于失重状态 D．小球在最低点时，杆对球的作用力不一定为拉力 【答案】BC 【解析】A．小球在最高点的最小速度为零，此时重力等于杆子的支持力，故A错误； C．小球在最高点的速度为零时，小球所需向心力为零，重力和支持力二力平衡，小球处于平衡状态；小球在最高点的速度不为零时，小球所需向心加速度指向圆心，竖直向下，即小球处于失重状态，故C正确； B．当小球在最高点杆对球的作用力为零时，根据牛顿第二定律有 解得 则在最高点时球的速度v由逐渐增大时，由 可知 则杆对小球的拉力也逐渐增大，故B正确； D．小球在最低点时，由 可知杆对球的作用力一定为拉力，故D错误。 故选BC。 26．长的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量。现让A在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，（）求： （1）A的速率为多大时，杆对A无作用力。 （2）A的速率时，A对杆的作用力。 【答案】（1） （2）124N，方向竖直向上 【解析】（1）在最高点，当杆对A的作用力为0时，满足 解得 （2）当A的速率时，由于，则杆对A的作用力为拉力，方向竖直向下，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律，A对杆的作用力大小为124N，方向竖直向上。 27．如图甲所示，一个质量为的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以一定的水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次通过管道最高点后又转了不到一圈，从某一位置脱离管道，如图乙，球恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，足球可以看作质点。 （1）若足球第一次经过管道最高点时的速度大小，求此时管道对足球的弹力大小； （2）如图丙，设管道的圆心为，足球脱离管道的位置为，连线与水平方向夹角为，求夹角的正切值； （3）求足球脱离管道时的速度的大小。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） 足球第一次经过管道最高点时，由牛顿第二定律，有 此时管道对足球的弹力大小 （2） 如图所示 设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动经过圆心O处，设A处足球速度大小为v，由牛顿第二定律有 设斜抛运动时间为t，将加速度沿半径方向和垂直半径方向分解，沿AO方向，有 垂直AO方向，有 联立解得 （3）由上式，，足球脱离管道时有 足球脱离管道时的速度 斜面上的临界问题 28．如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时所受轻绳的作用力大小为 D．若小球以的速率通过B点时绳突然断裂，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为3L 【答案】B 【解析】A．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量且大小为，与小球的速度无关，故A错误； B．小球通过B点速度最小时绳子拉力为0，此时有 解得，故B正确； C．小球通过A点时有 解得绳子拉力，故C错误； D．绳断裂后，小球从B点运动到与A点等高的过程中，水平方向有 沿斜面方向有 联立解得，故D错误。 故选B。 29．如下图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取，小球在A点最小速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球在A点最小速度时，小球所受重力沿斜面向下的分力提供向心力，则 解得 故选B。 30．如图所示，一倾斜圆盘绕垂直于盘面的中心轴以恒定的角速度转动，盘面与水平面的夹角为，盘上可视为质点的小物块随圆盘一起做匀速圆周运动（与圆盘保持相对静止）。已知物块在最高点的向心力等于重力的，在最低点恰好不滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，则物块与圆盘间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设物块运动的向心加速度为，最高点由牛顿第二定律可得 同理，最低点， 综合解得 故选A。 31．如图所示，一倾斜圆盘绕垂直于盘面中心的转轴以的角速度匀速转动，盘面上离转轴距离2 m处有一质量的小物块与圆盘保持相对静止。盘面与水平面的夹角为，重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．物块受摩擦力方向始终沿盘面指向转轴 B．物块转至最高点时所受摩擦力大小为3 N C．物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小为2 N D．物块与盘面间的动摩擦因数 【答案】B 【解析】A．由于物块做匀速圆周运动，除了水平直径上的两点之外，在圆盘面内静摩擦力的一个分力要与重力沿斜面向下的分力相平衡，另一个分力提供做圆周运动的向心力，所以小物体运动过程中所受的摩擦力不一定始终指向转轴，故A错误； B．物块转至最高点时，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有 解得物块转至最高点时所受摩擦力大小，故B正确； C．物块转至圆心等高处A点时，对物块受力分析，根据力的合成，物块所受摩擦力大小，故C错误； D．当小物体随圆盘转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大，由牛顿第二定律得 解得，故D错误。 故选B。 32．（多选）如图，可以绕竖直轴转动的水平转台上固定着倾角的斜面ABC，斜面最低点A在转轴上。转台以角速度匀速转动时，将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，经过一段时间后小物块与斜面一起匀速转动且相对静止在AB线上，此时小物块到A点的距离为L。已知小物块与斜面之间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，若最大静摩擦等于滑动摩擦力，，。则物块相对斜面静止时（　　） A．小物块受到的支持力大小恒为0.6mg B．小物块可能不受摩擦力 C．小物块受到的摩擦力方向可能沿斜面向下 D．水平转台转动角速度最小值为 【答案】BCD 【解析】ACD．当角速度最小时，物块恰好不下滑，受力分析如图甲所示 y轴方向根据平衡条件有， x轴方向 解得， 当角速度最大时，物块恰好不上滑，受力分析如图乙所示，y轴方向根据平衡条件， x轴方向 解得， 由上分析可知，角速度取值范围为 小物块受到的支持力取值范围为，故A错误，CD正确； B．若小物块不受摩擦力，则小物块只受支持力和重力，在竖直方向根据平衡条件 水平方向，根据牛顿第二定律可得 解得 即，当水平转台转动角速度时，小物块恰好不受摩擦力，故B正确。 故选BCD。 33．很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图，是一个正方形光滑斜台，边长为，与水平面的倾角为，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着边经过斜台拐角边半径为的四分之一的圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为。若弹珠经过点后恰好经过点，求： （1）弹珠经过点时的速率？ （2）弹珠经过点时对圆弧轨道的压力大小？ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为弹珠经过点后恰好经过点，从这个平面看，相当于类平抛，设弹珠经过点时的速率为v，因此可得 联立解得 （2）弹珠经过点时，弹珠在这个平面受力为重力沿斜面向下的分力和轨道的支持力，因此根据合力提供向心力可得 解得 根据牛顿第三定律可知，轨道对弹珠的支持力和弹珠对圆弧轨道的压力相等。 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。 1．如图所示，一可视为质点的小球用一条不可伸长的轻绳悬挂，在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的轻绳与竖直方向的夹角为。其他条件不变，如果越大，则下列说法错误的是（     ） A．轻绳对小球的拉力越大 B．小球运动的周期越大 C．小球运动的速度越大 D．小球运动的加速度越大 【答案】B 【解析】A．设小球的质量为m，轻绳的长度为l，对小球进行受力分析，可得越大，拉力越大，A正确； B．小球的半径，对小球进行受力分析 解得，越大，周期T越小，B错误； C．由向心力公式 解得，越大，速度v越大，C正确； D．由向心力公式 解得，越大，加速度a越大，D正确。 故选B。 2．如图所示，某自动化物流分拣系统由一水平圆盘构成。一包裹（可视为质点）放置在距转轴处。包裹与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。当圆盘转速缓慢增至包裹恰好滑动时，包裹的线速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当圆盘转速增大到包裹恰好滑动时，包裹做匀速圆周运动的向心力由最大静摩擦力提供，可得 整理得线速度 代入数据解得 故选D。 3．如图所示，水平转盘上放有质量分别为mA=3kg、mB=1kg的A、B两个物块，连接B和转轴的水平轻绳的长度r=0.2m，A、B间的动摩擦因数μ1=0.3，B与转盘间的动摩擦因数μ2=0.1。取重力加速度大小g=10m/s2，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两物块均视为质点。则下列说法正确的是（　　） A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心 B．轻绳刚拉紧时，转盘的角速度大小 C．当转盘的角速度大小ω1=3rad/s，圆盘对B的静摩擦力大小f=1.8N D．当轻绳的拉力F=3.2N时，转盘角速度大小一定是ω2=3rad/s 【答案】B 【解析】A．A做圆周运动的向心力由B对A的静摩擦力提供，因此B对A的摩擦力指向圆心；根据牛顿第三定律，A对B的摩擦力方向背离圆心。圆盘对B的摩擦力指向圆心，故A错误； B．轻绳刚拉紧时，拉力，转盘对B的静摩擦力刚好达到最大值，提供A、B整体的向心力。对整体 解得 ，故B正确； C．当A要发生滑动时有 解得 当，此时A未滑动，转盘对B的静摩擦力已经达到最大值，大小为 ，故C错误； D．拉力时，B的静摩擦力已达最大值指向圆心，若A未发生相对滑动，对整体 解得 若A已经发生相对滑动后，对B有 解得，故D错误。 故选B。 4．如图所示，一个半径为的圆盘可绕通过其中心且垂直于盘面的竖直轴匀速转动。在圆盘边缘等间隔地固定着三个完全相同的小物块A、B、C（C在圆盘最外端），它们的质量均为，与圆盘间的动摩擦因数均为。当圆盘以角速度缓慢增大时，下列说法正确的是（　　） A．当时，A物块所受摩擦力为 B．当时，B物块所受摩擦力为 C．当时，A、B、C三个物块均已滑动 D．若小物块A、B、C质量分别是、、，则A物块最先滑动 【答案】C 【解析】A．物块刚要滑动时满足 解得 可知A刚要滑动时的临界角速度为，因此时A仍未滑动，因此A受到的摩擦力为，故A错误； B．由A选项可知，B刚要滑动时的角速度为，因此时B已经滑动，因此B受到的摩擦力为，故B错误； C．由A选项有 可知r越小，物块刚要滑动时的临界角速度越大，因此A的临界角速度最大且为，因此时，A、B、C三个物块均已滑动，故C正确； D．由于C选项分析，可知C的临界角速度最小，且与物块质量无关，因此C物块最先滑动，故D错误。 故选C。 5．如图所示，在水平桌面上有一个可绕圆心转动的转盘，转盘半径为r，有一条足够长的细轻绳绕在转盘上，细绳末端系住一小木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数。当转盘以角速度ωrad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同，细绳沿转盘的切线。已知m，g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．木块做圆周运动的向心力等于细绳的拉力 B．当ω/s稳定时，细绳的长度为1m C．只要满足，木块就可以保持稳定转动 D．只要满足，木块就可以保持稳定转动 【答案】D 【解析】A．设小木块的质量为，做圆周运动的半径为，对木块受力分析，如图所示 细绳的拉力与滑动摩擦力的合力提供木块所需的向心力，故A错误； B．在上图中，根据几何关系有， 根据题意，物块的切向加速度为零，则有 根据几何关系有 物块做匀速圆周运动有 由几何关系，绳长度 联立解得 当时，，，故B错误； CD．切线方向列平衡方程得 径向由牛顿第二定律得 由几何关系得 整理得 需满足 解得，故C错误，D正确。 故选D。 6．如图所示为游乐场“旋转飞椅”的简化原理图。处于水平面内的圆形转盘，可绕穿过其中心的竖直轴转动。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为的水平转盘边缘。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直面内，且与竖直方向的夹角为。座椅与游客可视为质点，不计钢绳质量及空气阻力，重力加速度大小为，，。下列说法正确的是（     ） A．加速转动时，游客和座椅受到的合力沿水平方向 B．当稳定时，游客和座椅的角速度 C．转速缓慢增大时，角可以等于 D．转速缓慢增大时，钢绳上拉力的大小和角速度的平方成正比 【答案】B 【解析】A．加速转动时，游客和座椅的速度大小和方向都在变化，合力不仅提供向心力，座椅会随之上升。在上升过程中，座椅在竖直方向上有向上的加速度分量，因此合力具有竖直向上的分量，因此合力不沿水平方向，故A错误； B．对游客和座椅进行受力分析可得 水平方向，根据牛顿第二定律，有 联立并代入数据可得，故B正确； C．因游客和座椅所受重力和拉力的合力提供向心力，所以所受合力必指向圆心，转速缓慢增大，角θ总小于90°，故C错误； D．对游客和座椅进行受力分析可得 水平方向，根据牛顿第二定律，有 联立可得 随着的增大，增大，减小，T增大，但钢绳上拉力的大小和角速度的平方不成正比，故D错误。 故选B。 7．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（     ） A．图a中轻杆长为L，若小球在最高点的角速度大于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A 、B均相对圆盘静止，所在圆周半径， 质量， 则A 、B所受摩擦力 D．图d中是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变 【答案】D 【解析】A．若小球在最高点时杆对球无作用力，则有 可得 若小球在最高点的角速度大于，则杆对小球的作用力向下，故A错误； B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，则轨道对火车的支持力和重力的合力大于所需的向心力，则火车有做向心运动的趋势，则轮缘对内轨道有挤压作用，故B错误； C．图c中若A 、B均相对圆盘静止，即A 、B的角速度相等，所在圆周半径，质量，根据 可知A 、B所受摩擦力，故C错误； D．图d中是一圆锥摆，根据牛顿第二定律可得 解得 可知增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变，故D正确。 故选D。 8．如图是某个圆形环岛路，两圆弧车道圆心相同，假设A、B两辆车轮胎与路面之间的动摩擦因数相同。当两车以大小相等的线速度匀速转弯时，下列说法正确的是（     ） A．B车所受的合力大小一定比A车所受的合力大 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．若两车转弯线速度增大，则两车均会发生侧滑 D．A、B两车的向心加速度大小相等 【答案】B 【解析】A．两车质量未知，合力大小无法比较，故A错误； B．A车转弯半径比B车小，根据 可知A车的角速度比B车的角速度大，故B正确； C．根据牛顿第二定律，有 解得 若线速度v增大，但只要不超过各自的vmax，就不会侧滑。题目中没有说明增大后的速度超过了临界值，所以不能确定两车都会侧滑，故C错误； D．线速度相等，根据 可知A车的向心加速度更大，故D错误。 故选B。 9．2026年3月WSBK葡萄牙站，法国车手瓦伦丁·德比斯驾驶张雪机车820RR-RS赛车，连续两回合夺冠，实现中国摩托车品牌在该赛事的历史性突破。张雪机车赛车专用热熔胎的黏性极强，其与干燥路面间的动摩擦因数达1.2，已知赛道的某一水平弯道半径约为48m，根据以上条件，若要不打滑地通过该弯道，则赛车的最大车速约为（     ） A．24m/s B．18m/s C．12m/s D．10m/s 【答案】A 【解析】取 ，赛车在水平弯道转弯时，重力与支持力平衡，由轮胎与地面间的最大静摩擦力提供向心力，临界不打滑时有 解得 ，故A正确。 故选A。 10．某公园内有一种可供游客娱乐的转盘，转盘表面与水平面成θ角。质量为m、可视为质点的游客随转盘一起绕转轴做匀速圆周运动。游客到转轴的距离为R，游客与转盘表面之间的动摩擦因数为μ。如图所示，P、Q点分别是游客运动的轨迹圆上的最高点和最低点，MN是轨迹圆上垂直于PQ的直径，已知重力加速度大小为g，游客与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．游客在M点受到的摩擦力指向圆心 B．游客在最高点的线速度最小为 C．转盘的最大角速度为 D．游客从Q运动到P的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 【答案】C 【解析】A． 游客做匀速圆周运动，在点， 游客所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力的合力指向圆心，故A错误； B． 在最高点P，当游客所受最大静摩擦力沿斜面向上时，此时游客的线速度最小，根据牛顿第二定律得 解得，故B错误； C．在Q点，当最大静摩擦力指向圆心时，转盘的角速度最大，由向心力公式 解得，故C正确； D．游客做匀速圆周运动，由动能定理 解得摩擦力做功，故D错误。 故选C。 11．如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球（可视为质点），轻杆随转轴在竖直平面内绕转轴中心点做角速度为的匀速圆周运动，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力方向指向圆心 B．小球运动到最低点时，杆对球的作用力大小为 C．小球运动到最高点时，杆对球的作用力大小不可能为0 D．小球运动到最高点时，若，杆对球的作用力大小为 【答案】D 【解析】A．小球做匀速圆周运动，运动到水平位置时，杆的拉力和重力的合力提供向心力，方向指向圆心，重力方向竖直向下，所以杆对球的作用力方向并非指向圆心，而是斜向上，故A错误； B．小球运动到最低点时，杆的拉力和重力的合力提供向心力，即 所以，故B错误； CD．因转动的角速度大小未知，故小球在最高点时，杆对球的作用力方向不能确定。假设杆对球的作用力的方向竖直向下，根据解得 若，杆对小球的作用力竖直向下，杆对球的作用力大小为 若，杆对球的作用力大小为，故C错误，D正确。 故选D。 12．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B，水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，在转轴带动下轻杆在竖直平面内绕O点匀速转动。某时刻轻杆处于竖直方向且转轴在竖直方向上恰好不受杆的作用力，重力加速度为g，转轴转动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆周运动的杆模型和牛顿第二定律由向心力公式Fn=mrω2可知，质量为2m的小球所需的向心力更大，转轴恰好不受杆的作用力，则质量为m的小球在最低点，质量为2m的小球在最高点，设杆的弹力大小为F，在最低点处，根据牛顿第二定律得F-mg=mω2L 在最高点处，根据牛顿第二定律得F+2mg=2mω2•2L 解得 故选B。 13．如图所示，不可伸长的轻绳一端系一小球，绕固定轴在竖直平面内做圆周运动，小球质量，可视为质点。当小球运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，落地点与飞出点的水平距离，已知从绳断到小球落地的时间为，轴与小球间的绳长，重力加速度，忽略空气阻力。则（    ） A．轴的位置离地面高度为 B．小球落地时的速度大小为 C．小球在圆周运动最低点速度大小为 D．绳子所能承受的最大拉力为21N 【答案】D 【解析】A．小球做平抛运动，竖直方向有 此为绳断处离地高度，轴离地高度，故A错误； C．小球做平抛运动，水平方向有 解得绳断时速度，故C错误； B．小球落地时竖直分速度 落地速度，故B错误； D．在最低点，由牛顿第二定律得 代入数据得，故D正确。 故选D。 14．（多选）如图所示，用细线相连的两个质量均为的相同小物块A和B（可视为质点），沿半径方向放在水平圆盘上，与转轴的距离为，与转轴的距离为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘静止时，细线处于水平且无张力，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，则（     ） A．，两物体受到的摩擦力方向相反 B．当时，细线张力为 C．当时，两物体开始滑动 D．两物体开始滑动时，细线上张力为 【答案】BD 【解析】A．物块、都做匀速圆周运动，合外力提供向心力，当转速较小时，细线没有张力，物块、都是由静摩擦力提供向心力，方向都指向圆心，方向相同，故A错误； B．由于物块转动的半径较大，则物块先达到最大静摩擦力，此时细线刚有张力，对物块根据牛顿第二定律有 解得 当两物块刚要滑动时，物块、所受的摩擦力均达到最大静摩擦力且方向均指向圆心，对物块、根据牛顿第二定律分别有， 联立解得 由于，所以当时，细线有张力且物块受到的静摩擦力已达到最大，对物块根据牛顿第二定律有 将代入解得细线张力为 结果与选项相符，故B正确； C．当两物块刚要滑动时，对物块、根据牛顿第二定律分别有， 联立解得两物块开始滑动时的角速度为 结果与选项数值不符，故C错误； D．当两物块刚要滑动时，对物块、根据牛顿第二定律分别有， 联立解得此时细线上的张力为 结果与选项相符，故D正确。 故选BD。 15．（多选）陶艺是中国的传统技艺，融合了古代劳动人民的智慧，某次陶艺制作得到一个半径R=15cm的半球形陶罐，并固定在绕竖直轴OO'转动的水平转台上，可看作如图所示模型，转台以一定的角速度ω匀速转动，O为陶罐的球心，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为53°，已知重力加速度g。下列说法正确的是（     ） A．小物块做圆周运动时可能只受重力与支持力 B．小物块匀速转动时的线速度为v=ωR C．小物块做圆周运动的加速度大于，所受摩擦力沿切线斜向上 D．小物块做圆周运动恰好不受摩擦力时的角速度为 【答案】AD 【解析】A．当角速度为某一数值时，小物块做圆周运动时可能只受重力和支持力两个力，故A正确； B．小物块匀速转动时的线速度为，故B错误； C．若小物块受到的摩擦力恰好为零时，则物块受到的重力与陶罐内壁给的支持力的合力提供向心力，对物块由牛顿第二定律有 解得 所以小物块做圆周运动的加速度大于时，所受摩擦力沿切线斜向下，故C错误； D．若小物块受到的摩擦力恰好为零时，则物块受到的重力与陶罐内壁给的支持力的合力提供向心力，对物块由牛顿第二定律有 代入解得，故D正确。 故选AD。 16．（多选）圆周运动是自然界和日常生活中广泛存在的运动形式。如图所示，某人站在水平地面上，手握长为20cm、不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，使球在竖直平面内以手为圆心沿顺时针方向做圆周运动，不计空气阻力，小球可视为质点，重力加速度取，则（　　） A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为1.8m/s B．当小球在最高点的速度为2m/s时，轻绳拉力大小为4N C．若轻绳能承受的最大张力为6N，则小球的最大速度不能超过1m/s D．若小球运动到最低点时绳子断开，则小球将向右做平抛运动 【答案】BC 【解析】A．小球要做完整的圆周运动，在最高点轻绳的拉力为零时，小球的速度最小，即 解得最小速度，故A错误； B．当小球在最高点的速度为2m/s时，由 轻绳产生的拉力与重力的合力提供向心力，即 解得，故B正确； C．若轻绳能承受的最大张力为6N，则小球在轨迹最低点处，此时轻绳的拉力向上，即 解得，故C正确； D．由图可知，小球顺时针运动到最低点时的速度方向水平向左，因此当绳子断开后，小球将向左做平抛运动，故D错误。 故选BC。 二、非选择题：本题共4题，共52分。 17．（12分）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则： （1）汽车行驶到凸形桥面最高点时超重还是失重？说明理由。 （2）汽车允许的最大速率是多少？ （3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】（1）汽车在凸形桥面最高点做圆周运动，圆心在最高点的正下方，因此汽车的向心加速度方向竖直向下；物体加速度方向向下时处于失重状态，因此汽车处于失重状态。 （2）由题意知桥面承受的压力不得超过 汽车在最低点受到的支持力最大，受力分析根据牛顿第二定律得 解得最大速率 汽车驶过凸形桥面最高点时刚好无压力，恰能安全通过，对最高点的汽车受力分析，根据牛顿第二定律得 解得安全通过最高点的最大速率 综上所述 故安全起见允许最大速率 （3）汽车驶过凸形桥面最高点时，对桥面的压力最小，汽车在最高点有 解得 根据牛顿第三定律，汽车对桥面的最小压力为 18．（10分）如图所示，一轻质光滑小圆环Q通过一竖直轻杆悬挂在可绕竖直轴旋转的装置上，一条轻绳穿过小圆环Q，两端分别连接小物块B和小球A，当小球A自然下垂时，小物块B静止在倾角的斜面上恰好不下滑。已知Q在水平地面上的投影为O，Q到O点的高度，Q与A间的轻绳长度为，Q与B的连线平行于斜面，小物块B和斜面间的动摩擦因数，小球A的质量，重力加速度g=10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求小物块B的质量； （2）现使小球A在水平面内按图中所示做匀速圆周运动，要求小物块B相对斜面不滑动，求轻绳的最大拉力以及小球A转动的最大角速度； 【答案】（1）2.4kg （2）15N， 【解析】（1）小球A自然下垂时，设轻绳拉力为，对小球A，根据平衡条件可得 对小物块B，根据平衡条件可得 解得 （2）设轻绳的最大拉力为，根据平衡条件有 解得 设角速度最大时，间的轻绳与竖直方向的夹角为，对小球A，根据牛顿第二定律有 解得 19．（12分）某科技馆展品“旋转挑战”如图所示，在水平转台上放一个质量的物块，细绳的一端系在物块上，另一端穿过转台圆心O点处的光滑小孔后悬挂一小球。已知小球的质量，物块可视为质点，物块与O点的距离，转台的转速可调节，重力加速度。 （1）若转台光滑，当物块与转台保持相对静止时，求转台转动的角速度； （2）若转台与物块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使物块与转台保持相对静止，求转台转动的角速度范围（结果可以用根号表示）。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）转台转动时，物块做圆周运动，小球处于静止，根据平衡条件和牛顿第二定律，对小球有 对物块有 联立解得 （2）物块受到的最大静摩擦力 ①当较小时，物块有近心趋势，静摩擦力沿半径背离圆心，有，解得 ②当较大时，物块有离心趋势，静摩擦力沿半径指向圆心，有，解得 为使物块与转台保持相对静止，转台转动的角速度范围为。 20．（18分）如图所示，一个质量为的小球（视为质点）通过长为的轻绳与悬点连接。初始时刻，将小球从水平位置点（）由静止释放，小球到达最低点时速率为，轻绳恰好断裂。已知点到水平地面的距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力。 （1）求轻绳能承受的最大拉力大小； （2）求小球落地点与点间的水平距离； （3）若将小球从点以一定的初速度竖直下抛，当其运动到点时轻绳恰好断裂，此时轻绳与竖直方向的夹角，取，，求从此时起经时间小球在竖直方向分位移的大小（小球未落地）。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）小球到达最低点时速率为，轻绳恰好断裂，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）轻绳断裂后小球做平抛运动，竖直方向有 解得小球从点落到地面的时间为 水平方向有 解得小球落地点距B点的水平位移大小为 （3）对小球在C点进行受力分析，由牛顿第二定律可得 解得 对小球在C点的速度进行分解，如图所示 可得 小球离开C点后在竖直方向做匀加速直线运动，根据运动学公式可得经时间小球在竖直方向分位移的大小 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $