精品解析：甘肃平凉市2025-2026学年八年级下学期期末质量监测数学试卷

2025-2026第二学期八年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 9，8 C. 9，8.5 D. 9，9 3. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A. 2 B. C. D. 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A. 没有加热时，油的温度是 B. 继续加热到，预计油的温度是 C. 在这个问题中，自变量为时间t D. 每加热，油的温度升高 9. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 12. 化简___________． 13. 如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______． 14. 为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 15. 甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 16. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： （1）说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． （2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 19. 某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 20. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，在中，D为边上的一点，，，，．求的面积为_____． 22. 如图，已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知点在这个一次函数的图象上，且它的纵坐标为，求的面积． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． （1）这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． （2）求剩余卡纸的面积． 24. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 25. 如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，且四边形是菱形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为120，四边形的周长为52，求的长． 26. 社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： 阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A a 48 48 58.01 B 50 b c 325 （1）上述表中，___________，___________，___________； （2）小明计算出阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出阅览室预约人数的四分位数； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 27. 王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册88页． 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明如下： 如图①取的中点G，连接， 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点． ∴，∴，∴______． ∵是正方形外角的平分线，∴． 又∵，∴． ∴______，∴（ ）（填写全等的理由）． ∴． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图②，四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，点E是射线上一点，，交正方形外角的平分线于点F．若，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期八年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 2. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，9，7，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 9，8 C. 9，8.5 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】按照定义先求众数，再将数据排序后计算中位数即可． 【详解】解：∵已知数据为8，9，7，9，10，其中数字9出现次数最多，为2次，其余数字均只出现1次， ∴众数为9； 将数据从小到大排列得：7，8，9，9，10，数据共5个，为奇数个，中位数为排序后最中间的第3个数， ∴中位数为9． 3. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 5. 正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简和算术平方根的性质，根据算术平方根的定义和二次根式的化简规则判断即可． 【详解】解：∵，∴A错误． ∵，∴B正确． ∵，∴C错误． ∵，∴D错误． 7. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此能表示是的函数的是选项B、C、D中的图象， 不能表示是的函数的是选项A中的图象． 8. 已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A. 没有加热时，油的温度是 B. 继续加热到，预计油的温度是 C. 在这个问题中，自变量为时间t D. 每加热，油的温度升高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的数据进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、没有加热时，油的温度是，故A正确，不符合题意； B、继续加热到，预计油的温度是，故B正确，不符合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C正确，不符合题意； D、每加热，油的温度升高，故D不正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 12. 化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，将分子分母同乘以分母，化去分母中的根号即可得到化简结果． 【详解】解：． 13. 如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是3， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 14. 为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 15. 甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意和函数图象中的数据求出两人的速度，从而可以求当时甲、乙两人相距的路程． 【详解】解：甲的速度为：， 乙的速度为：， 当时，甲、乙两人相距：， 故答案为：． 16. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方， ∴关于的不等式的解集为． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法和除法，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： （1）说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． （2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【答案】（1）温度是自变量， 呼吸作用强度是温度的函数； （2）温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量，函数图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到结论； （2）根据图象中提供的信息即可得到结论． 【小问1详解】 解：此图反映的自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数； 【小问2详解】 解：由图象知，温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 19. 某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 【答案】（1） （2）25吨 【解析】 【分析】（1）应交水费吨的水费超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将代入关系式，即可得出答案． 【小问1详解】 根据题意得，， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：． 【小问2详解】 当时，， 解得，， 答：小明家里用水25吨． 【点睛】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 20. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 21. 已知：如图，在中，D为边上的一点，，，，．求的面积为_____． 【答案】84 【解析】 【分析】已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 22. 如图，已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知点在这个一次函数的图象上，且它的纵坐标为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点和点的坐标列式计算即可， （2）先求出点的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和点， 把，代入得，， 解得， 这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． 点的坐标为． ， ． ， 即的面积是． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． （1）这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． （2）求剩余卡纸的面积． 【答案】（1），（或，） （2） 【解析】 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； 【小问2详解】 解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 24. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 25. 如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，且四边形是菱形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的面积为120，四边形的周长为52，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与面积，矩形的判定与性质，完全平方公式，解题的关键是理清楚题中条件，掌握相关性质，作出辅助线． （1）连接，，根据，可得四边形为平行四边形，根据菱形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，可以得到，即可求证； （2）连接，交于点，由题意可得，四边形为矩形，设，，则，，根据题意可得，，，由勾股定理可得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如下图： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：连接，交于点，如下图： 根据题意可得，，，，， ∴，， 设，，则，， 由菱形的面积为120可得，解得， 由四边形的周长为52可得，即， 对进行平方可得，，则， 由勾股定理可得． 26. 社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： 阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A a 48 48 58.01 B 50 b c 325 （1）上述表中，___________，___________，___________； （2）小明计算出阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出阅览室预约人数的四分位数； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】（1），， （2）B阅览室四分位数： （3）社区应该挑选A阅览室，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查四分位数，箱线图，平均数和众数，利用方差判断数据稳定性，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【小问1详解】 解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25的出现次数最多，因此众数； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为45，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； 【小问3详解】 解：社区应该挑选A阅览室，理由如下： 从平均数和方差看，两个阅览室的平均数相差不大，但A阅览室的方差小于B阅览室，即A阅览室预约人数比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A阅览室预约人数明显比B的波动小．所以社区应该挑选A阅览室． 27. 王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册88页． 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明如下： 如图①取的中点G，连接， 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点． ∴，∴，∴______． ∵是正方形外角的平分线，∴． 又∵，∴． ∴______，∴（ ）（填写全等的理由）． ∴． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图②，四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，点E是射线上一点，，交正方形外角的平分线于点F．若，，求出的长． 【答案】（1），，； （2），理由见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质等内容．解题的关键是熟练掌握相关性质，结合题意，作出辅助线，构造出全等三角形． （1）根据题意，结合上下文，先根据正方形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，得到，即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，根据正方形的性质可得，，根据（1）的思路，证明，即可求解； （3）由点E是射线上一点分两种情况讨论，当点可以在边上，由（2）可得，勾股定理求解即可；当点E在的延长线上时，构造全等三角形，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图①取的中点G，连接， 在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点． ∴， ∴， ∴, ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接，如图， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵点E是射线上一点， ∴点可以在边上，也可以在的延长线上， 当点可以在边上，如下图： 由（2）可得，， 由题意可得，，， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 在延长线上取一点，使得，连接，如下图： 由题意可得，，， ∴，， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，， 由勾股定理可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $