专题06等腰三角形及其性质与判定暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题06等腰三角形及其性质与判定暑假预习讲义 · 掌握等腰三角形、等边三角形的定义，能区分腰、底边、顶角、底角，识别等腰、等边三角形；理解等腰三角形是轴对称图形，明确其对称轴。 · 熟记等腰三角形两大性质定理：两底角相等（等边对等角）、三线合一；掌握等边三角形内角均为 60° 的性质，能结合图形进行角度、线段简单计算。 · 理解等腰三角形判定定理：等角对等边，区分 “等边对等角（性质）” 与 “等角对等边（判定）” 的因果逻辑；知道等边三角形的多种判定方法。 · 能区分性质与判定的使用场景：已知边相等推角相等用性质；已知角相等推边相等用判定；看懂结合全等、线段垂直平分线、角平分线的综合推理过程。 · 初步掌握等腰三角形分类讨论题型思考方式（边长、顶角底角无明确顺序时分情况），预习时标记三线合一应用、分类讨论、性质判定混淆等难点，课堂重点突破。 · 规范书写简单几何证明，推理时标注对应定理依据，会挖掘公共边、公共角、平行线等隐含条件完成等腰相关证明。 预习必备 知识梳理 1.等腰三角形核心知识速查 2.等腰三角形基本概念 3.等腰三角形的性质 4.等腰三角形的核心判定 5.性质与判定逻辑区分 6.常用辅助线 7.分类讨论 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.等腰三角形的定义 2.作等腰三角形 3.等边对等角 4.等边三角形的性质 5.三线合一 6.等角对等边证明等腰三角形 7.等角对等边证明边相等 8.等角对等边求边长 9.格点图中画等腰三角形 10.找出图中的等腰三角形 11.等腰三角形的性质与判定 12.等边三角形的判定 13.等边三角形的判定与性质 强化题型 解答题10题 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02.等腰三角形基本概念 1. 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 2. 等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 3. 对称性 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1 条对称轴：底边上的垂直平分线（底边上的高、底边上中线、顶角平分线所在直线）； （2）等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴，每条边上的垂直平分线都是对称轴。 知识点03:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05：性质与判定逻辑区分 类别 作用 因果关系 使用场景 等边对等角（性质） 证角相等 已知两边相等→推出底角相等 题目给出腰相等，求角度 等角对等边（判定） 证线段相等、判定等腰 已知两角相等→推出对应边相等 题目给出角度相等，证明三角形为等腰 知识点06:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点07:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点08:高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 三线合一误用 在腰上作高、中线、角平分线，强行套用三线合一 该性质只适用于顶角和底边，腰上线段不满足 角度计算漏解 已知内角，未区分顶角、底角，只算一种答案 分两类讨论，且底角必须小于90，结合内角和验证 边长计算漏解 已知边长，未区分腰、底边，直接计算周长 分情况讨论，必须用三角形三边关系检验，舍去无效解 性质与判定混淆 分不清 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的用法 边相等推角相等用性质；角相等推边相等用判定 等边三角形判定失误 看到三角形有60角，直接判定为等边三角形 前提必须是等腰三角形，缺一不可 题型1.等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【跟踪专练1】若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【跟踪专练2】已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 【跟踪专练3】如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 题型2.作等腰三角形 【典例】“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【跟踪专练1】点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（　　）个． A．1 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 题型3.等边对等角 【典例】在中，，，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（    ）度． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则_____． 【跟踪专练3】如图，中，，D为BC上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型4.等边三角形的性质 【典例】如图所示，在等边中，，，则的度数为___，___． 【跟踪专练1】如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 题型5.三线合一 【典例】如图，在中，，，则___________． 【跟踪专练1】如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，中，，，的面积为，腰的垂直平分线分别交边于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为_______． 【跟踪专练3】如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 题型6.等角对等边证明等腰三角形 【典例】在△ABC中，，，则△ABC是______三角形． 【跟踪专练1】下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是______三角形，线段的长为______． 【跟踪专练3】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型7.等角对等边证明边相等 【典例】如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． 【跟踪专练2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 题型8.等角对等边求边长 【典例】在中，，则_________． 【跟踪专练1】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【跟踪专练3】如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 题型9.格点图中画等腰三角形 【典例】正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有______个． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有_____个． 【跟踪专练3】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） 。 A．3 B．5 C．6 D．8 题型10.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【跟踪专练1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【跟踪专练2】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 题型11.等腰三角形的性质与判定 【典例】若等腰三角形的一边长为，另一边是其三倍，则该等腰三角形的周长为__________． 【跟踪专练1】如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【跟踪专练3】如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 题型12.等边三角形的判定 【典例】下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【跟踪专练1】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【跟踪专练3】如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 题型13.等边三角形的判定与性质 【典例】如图，在中，，，平分，若，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 解答题 1．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 2．已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 3．如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 4．如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 5．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 6．如图1，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为直角边且在的上方作等腰直角，连接， (1)若； ①当点D在线段上时（与点B不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点D在线段的延长线时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想 (2)如图3，若，点D在线段上运动，试探究与的位置关系 7．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 9．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 10．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06等腰三角形及其性质与判定暑假预习讲义 · 掌握等腰三角形、等边三角形的定义，能区分腰、底边、顶角、底角，识别等腰、等边三角形；理解等腰三角形是轴对称图形，明确其对称轴。 · 熟记等腰三角形两大性质定理：两底角相等（等边对等角）、三线合一；掌握等边三角形内角均为 60° 的性质，能结合图形进行角度、线段简单计算。 · 理解等腰三角形判定定理：等角对等边，区分 “等边对等角（性质）” 与 “等角对等边（判定）” 的因果逻辑；知道等边三角形的多种判定方法。 · 能区分性质与判定的使用场景：已知边相等推角相等用性质；已知角相等推边相等用判定；看懂结合全等、线段垂直平分线、角平分线的综合推理过程。 · 初步掌握等腰三角形分类讨论题型思考方式（边长、顶角底角无明确顺序时分情况），预习时标记三线合一应用、分类讨论、性质判定混淆等难点，课堂重点突破。 · 规范书写简单几何证明，推理时标注对应定理依据，会挖掘公共边、公共角、平行线等隐含条件完成等腰相关证明。 预习必备 知识梳理 1.等腰三角形核心知识速查 2.等腰三角形基本概念 3.等腰三角形的性质 4.等腰三角形的核心判定 5.性质与判定逻辑区分 6.常用辅助线 7.分类讨论 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.等腰三角形的定义 2.作等腰三角形 3.等边对等角 4.等边三角形的性质 5.三线合一 6.等角对等边证明等腰三角形 7.等角对等边证明边相等 8.等角对等边求边长 9.格点图中画等腰三角形 10.找出图中的等腰三角形 11.等腰三角形的性质与判定 12.等边三角形的判定 13.等边三角形的判定与性质 强化题型 解答题10题 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02.等腰三角形基本概念 1. 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 2. 等边三角形定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 3. 对称性 （1）等腰三角形是轴对称图形，有1 条对称轴：底边上的垂直平分线（底边上的高、底边上中线、顶角平分线所在直线）； （2）等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴，每条边上的垂直平分线都是对称轴。 知识点03:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05：性质与判定逻辑区分 类别 作用 因果关系 使用场景 等边对等角（性质） 证角相等 已知两边相等→推出底角相等 题目给出腰相等，求角度 等角对等边（判定） 证线段相等、判定等腰 已知两角相等→推出对应边相等 题目给出角度相等，证明三角形为等腰 知识点06:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点07:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点08:高频易错点 易错类型 错误表现 正确注意事项 三线合一误用 在腰上作高、中线、角平分线，强行套用三线合一 该性质只适用于顶角和底边，腰上线段不满足 角度计算漏解 已知内角，未区分顶角、底角，只算一种答案 分两类讨论，且底角必须小于90，结合内角和验证 边长计算漏解 已知边长，未区分腰、底边，直接计算周长 分情况讨论，必须用三角形三边关系检验，舍去无效解 性质与判定混淆 分不清 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的用法 边相等推角相等用性质；角相等推边相等用判定 等边三角形判定失误 看到三角形有60角，直接判定为等边三角形 前提必须是等腰三角形，缺一不可 题型1.等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】13或14 【分析】分类讨论确定腰长，验证三边能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若4为腰，则三角形三边长为4，4，5， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②若5为腰，则三角形三边长为5，5，4， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 【跟踪专练1】若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为0的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0时分子为0、分母不为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， ∴，且， ∴此三角形有两边相等，为等腰三角形． 故选B． 【跟踪专练2】已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】 【分析】先利用平方和绝对值的非负性求出，的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算符合条件的周长即可． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当等腰三角形腰长为，底边长为时， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故此情况舍去； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为． 【跟踪专练3】如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质可得，最后由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是等腰三角形，底边，周长为21， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长为13． 题型2.作等腰三角形 【典例】“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】点是坐标平面上两定点，C是的图像上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出（　　）个． A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分三种情况进行讨论：①当时；②当时；③当时．分别画出点C的位置． 【详解】解：如图所示， ①当时，满足条件的点为：； ②当时，满足条件的点为：； ③当时，满足条件的点为：； 综上所述，满足条件的等腰三角形可以画出5个； 故选D． 【点睛】此题考查等腰三角形的概念及画法，在点C不确定的情况下的分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 【跟踪专练2】用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图作等腰三角形；逐项判断各选项的作法是否符合要求即可． 【详解】解：由题知，四个选项所作的三角形均是等腰三角形，但前三个选项的等腰三角形的顶角不是，只有选项D中等腰三角形的顶角是，故选项D中等腰三角形符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 题型3.等边对等角 【典例】在中，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案． 【详解】解：∵等腰的顶角为度， ∴度． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则_____． 【答案】/14度 【分析】根据等边对等角可得、，设，，再根据，，列方程求解即可． 【详解】∵，， ∴， 又， ∴， 设，， ∴， ∴， 又， ， ∴，即． 【跟踪专练3】如图，中，，D为BC上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型4.等边三角形的性质 【典例】如图所示，在等边中，，，则的度数为___，___． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了等边三角形三线合一的性质，难度适中．根据等边三角形角平分线与垂直平分线合一的性质即可得出的度数，再根据等边三角形三边相等的性质即可得出的长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：，6． 【跟踪专练1】如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 题型5.三线合一 【典例】如图，在中，，，则___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质． 根据等腰三角形三线合一的性质得，由此即可解题． 【详解】解：在中，， ， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由作图可得，平分，再根据等腰三角形三线合一性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， 又∵， ∴是的中线， ∴． 【跟踪专练2】如图，中，，，的面积为，腰的垂直平分线分别交边于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为_______． 【答案】 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，的周长最短，根据等腰三角形的三线合一定理，可知，根据的面积为，可以求出，，所以周长的最小值为． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时，的周长最短， ，点为的中点， ， ，的面积为， ， ，， 周长的最小值为． 【跟踪专练3】如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值， 题型6.等角对等边证明等腰三角形 【典例】在△ABC中，，，则△ABC是______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 【跟踪专练1】下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是______三角形，线段的长为______． 【答案】 等腰 3 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定； 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到是等腰三角形，，，进而计算即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，， ∴． 故答案为：等腰，3． 【跟踪专练3】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型7.等角对等边证明边相等 【典例】如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． 【答案】4 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质进行作答． 【详解】解：∵平分， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ， 的周长 ， ， 的周长， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴的周长， ∴与的周长差． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，而，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选：B． 题型8.等角对等边求边长 【典例】在中，，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了等角对等边的性质及三角形内角和定理，解题的关键是通过等角对等边推导三角形边的关系． 根据等角对等边，由得；再结合，得，推出，进而得． 【详解】在中，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为8． 【跟踪专练1】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由长方形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，     ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 【跟踪专练2】如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ， 同理可得，，，以此类推， 的边长为． 故选D． 题型9.格点图中画等腰三角形 【典例】正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在方格纸中找等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，为直角边或斜边进行解决即可． 【详解】解：分两种情况讨论，为直角边或斜边， （1）为等腰直角三角形的斜边，格点在1或2处， （2）为等腰直角三角形的直角边，格点在3或4处， ∴符合要求的点共4个． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有_____个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 【跟踪专练3】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） 。 A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 题型10.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 题型11.等腰三角形的性质与判定 【典例】若等腰三角形的一边长为，另一边是其三倍，则该等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解决本题的关键是根据三边关系选出正确的边长进而求得周长；根据等腰三角形的性质，需分类讨论边长为的边是腰还是底，并结合三角形三边关系进行判断． 【详解】解：等腰三角形的一边长为，另一边为其三倍即； 若为腰，则底为，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 若为腰，则底为，此时两边之和，，，均满足三角形三边关系，则周长为； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【跟踪专练2】如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 【跟踪专练3】如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意易求，根据，，易求，，结合外角可得是等边三角形，故，再利用即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴，，是等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 题型12.等边三角形的判定 【典例】下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法，逐一分析每个描述是否满足等边三角形的条件． 【详解】解：∵①有两个角等于， ∴第三个角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于的等腰三角形， ∴若顶角为，则底角为； 若底角为，则另一个底角为，顶角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等， 设每个外角为，则每个内角为， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，边上的高也是中线，则）， 同理，从其他边可得、， ∴三边相等，为等边三角形， ∴①②③④都是等边三角形． 故选：D． 【跟踪专练1】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 【答案】或或或或（写一个即可） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是的等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或（写一个即可）． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 题型13.等边三角形的判定与性质 【典例】如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角和三角形内角和定理，延长到点F，使得，连接，证明，，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，得到，据此根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点F，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选：A． 解答题 1．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 【答案】 【分析】先由等腰三角形性质，得，，再结合，证，接着由全等得，同减，推出，最后代入，得． 【详解】解：∵和都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过全等实现角的全等转化，关键是证，得到． 2．已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图与应用设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）过点P作于点N，以P为圆心，为半径作弧交于点M，连接，即为所求； （2）过点P作于点J，交于点K，以J为圆心，为半径作弧交于点F，以P为圆心，为半径作弧交于点E，连接，即为所求 【详解】（1）解∶如图，即为所求 （2）解∶如图，即为所求 3．如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：，， ， 又∵，， ； (2)证明：， ， ． ， ， 平分． 【分析】（1）首先得到，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴． 5．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】根据题意容易证得，进而得到，结论即可得到证明． 【详解】因为， 所以． 所以． 又因为，， 所以（SAS）． 所以． 所以． 6．如图1，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为直角边且在的上方作等腰直角，连接， (1)若； ①当点D在线段上时（与点B不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点D在线段的延长线时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想 (2)如图3，若，点D在线段上运动，试探究与的位置关系 【答案】(1)①； ②成立，画图如下： (2)解：，理由如下： 作交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】（1）①证明，即可得出结论；②根据题意，补全图形，证明，即可得出结论； （2）作交于点，证明，推出，即可. 【详解】（1）解：①∵等腰直角，为直角边， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②理由如下： 同①法可得：， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； （2）略 7．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 9．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 10．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $