第07讲 等腰三角形的性质与判定（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第07讲 等腰三角形的性质与判定（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等腰三角形的定义 典型例题二 等边对等角 典型例题三 三线合一 典型例题四 根据等角对等边证明等腰三角形 典型例题五 根据等角对等边证明边相等 典型例题六 根据等角对等边求边长 典型例题七 作等腰三角形(尺规作图) 典型例题八 格点图中画等腰三角形 典型例题九 找出图中的等腰三角形 典型例题十 等腰三角形的性质和判定 典型例题十一 等边三角形的判定和性质 知识点01 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形，根据等腰三角形的两腰相等，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则：周长为：； 当腰长为时，则：周长为：； 故选D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可． 【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为. ①当为腰时， ， 不能组成三角形； ②当为腰时，能够组成三角形， ， ， ∴该等腰三角形底边长为2． 故答案为：2． 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是 ．（填其所有可能性的序号） ①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形 【答案】②③ 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 由图可知可能为钝角三角形或等腰三角形． 【详解】解：由三角形中有一个角是钝角知该三角形可能为钝角三角形， 另外两个锐角可能相等，故可能为等腰三角形， 故答案为：②③． 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【详解】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据等边三角的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，熟练掌握等边三角的性质是解题的关键． 知识点04 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，即可求解，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【典型例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为5时，周长； 当腰长为2时，，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵ ∴不满足三角形的三边关系，不能围成三角形； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵，满足三角形的三边关系 ∴此时它的周长是． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知是等腰三角形，若，，那么的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形， 综上所述，的周长是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，D为边上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定；根据等腰直角三角形性质求出，，再证明，根据全等三角形的判定推出，得，再证明，根据三角形的面积公式便可求得结果． 【详解】解：和都是等腰直角三角形，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分情况取不同的三角形，进行拼接，再由等腰三角形的定义判断即可得解． 【详解】解：在中，，．则， 取一个和全等，其中，，，，此时由两种拼图方案： 将与拼接在一起，如图所示： ， ∵，， ∴点、、在一条直线上， ∴为等腰三角形，且，； 将与拼接在一起，如图， ∵，， ∴点、、在一条直线上， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起，如图， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵，， ∴， ∴点、、在同一直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵，， ∴， ∴点、、在同一直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 综上所述，拼成的等腰三角形有种， 故选：D． 2．（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ (秒)； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)； 综上，出发秒或秒，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法固式分解，下面是甲、乙两让同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并解答以下问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为7． 【分析】本题考查分组分解法因式分解，利用完全平方公式因式分解，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题干所提供的方法，结合分组分解法的分组原则进行解答即可； （2）根据分组分解法的分组原则得到，求出，，然后根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1） ； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵为等腰三角形， ∴或， ∵1，1，3不能构成三角形，1，3，3能构成三角形， ∴，，， ∴的周长为7． 【典型例题二 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及菱形性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，先由菱形对边平行得到同旁内角互补求出，再由菱形对角线平分对角得到，最后由等腰三角形性质求解即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，， ， 在菱形中，为对角线，，则， 在中，，，则， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，，点是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是的外接圆，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，圆周角定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正五边形和等边三角形的一条边重叠，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边三角形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据正多边形内角和定理得到，由等边三角形的性质得到，则可得到，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）先证明为的中位线，求出，易证都是直角三角形，再根据直角三角形的性质求出，易证是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴都是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【典型例题三 三线合一】 【例1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则底的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（    ） A．等角对等边 B．两点之间线段最短 C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， 依据是等腰三角形三线合一的性质． 故选C． 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结，    ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用轴对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：，， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定及性质． 连接，过点作交于点，利用勾股定理求出的长度，再得出，根据相似三角形的性质求得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵,点是的中点， ,， 由勾股定理得, ∵， ， 点是的中点， ， ， 由勾股定理得, 故答案为：． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图在四边形中，，点在边上，连接，，过作于，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）证明，结合，可证明四边形为平行四边形； （2）①当时，判定四边形为矩形，证明，继而证明，得到，结合已知证明． ②当时，判定四边形为菱形，过做于点，证明 ，解答即可． 【详解】（1）证明：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ 又， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：①理由如下： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②．理由如下： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 过做于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【典型例题四 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6cm，则AC的长为（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的“等角对等边”求解即可． 【详解】∵在△ABC中，∠B＝∠C， ∴AB=AC， ∵AB＝6cm， ∴AC=6cm, 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的“等角对等边”，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB， ∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线， ∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB， ∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC， ∴BD=DF，CE=GE， ∵FG=2，ED=6， ∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）等腰三角形的判定定理是 ． 【答案】等角对等边 【分析】根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等进行求解即可． 【详解】解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边 故答案为：等角对等边． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的判定定理． 【例4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是 ． 【答案】7 【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC， ∵ED＝5，CD＝3， ∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16， ∴CE＝4， ∵ADBC， ∴∠AEB＝∠DAE； ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝CD＝3， ∴BC＝BE＋EC＝7， ∴AD＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定． 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和以及等腰三角形的判定，解答关键是利用三角形内角和求出相关角度，找出相等的角度． 根据已知条件，为等腰三角形，利用三角形内角和求出，再根据三等分，分别求出，分别得到为等腰三角形，再求出，可得为等腰三角形，再分别证明 ，为等腰三角形，则问题可解 ． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形，， ∵三等分， ∴， ∴， ∴, ∴为等腰三角形， 再由， 得， ∴为等腰三角形， ∵ ∴， ∴为等腰三角形， 同理为等腰三角形， 故图中有6个等腰三角形， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，一张四边形纸片，，，，，且，连接，点在边上，把沿直线对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，，在同一条直线上给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 【答案】①②③ 【分析】由，得∠ABE＝∠BED，根据把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，得∠BED＝∠AEB，即可判断①正确；由S△ACE＝S△BCE，得S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF，即可判断②正确；由∠CAE＝∠ABF，AB＝AE，根据AAS可判断③正确；假设BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC，可推得BDBC，可判断④不正确． 【详解】解：∵， ∴∠ABE＝∠BED， ∵把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处， ∴∠BED＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB，故①正确； ∵，， ∴∠ACD=∠D=90°， ∵AC＝BD， ∴CE•ACCE•BD，即S△ACE＝S△BCE， ∴S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF， ∴S△BEF＝S△ACF，故②正确； ∵BD⊥CD，把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处， ∴∠BFE＝∠D＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠FAB， ∵， ∴， ∴， ∴∠CAE＝90°﹣∠FAB， ∴∠CAE＝∠ABF， ∵∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 在△ACE和△BFA中， ， ∴△ACE≌△BFA（AAS），故③正确； 若BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC， 而∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠EBD， ∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD， ∵∠ABC+∠EBC+∠EBD＝90°， ∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD＝30°， ∴BDBC，但根据已知不能得到BDBC，故④不正确； 综上分析可知，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质、三角形面积、翻折的性质等知识，解题的关键是掌握翻折性质，证明△ACE≌△BFA． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，与角平分线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质： （1）角平分线求出的度数，三角形的内角和求出的度数，根据等角对等边即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【典型例题五 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，平分，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质得出，，，结合平分，得出，即，，即可作答． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴ 则 ∴ ∴ 故选：B 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行结合角平分线，推出，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵过点D作的平行线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 【例3】 （23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质．等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题．过点F作于点G，则，，根据平行线的性质乙折叠的性质可得，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于点G，则，，    根据题意得：， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于D，如果，，那么 cm．    【答案】 【分析】证明，由的垂直平分线交于D，，可得，而，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于D，， ∴，而， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线的性质与等角对等边是解本题的关键． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，一元二次方程的解法，根据角平分线和平行线的性质得出，根据等角对等边得出，再由平行线得出，从而得出，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， ∴， 解得：，（舍去）； ∵， ∴，即 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：如图，在中，点E、F分别在、上，且平分， ．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识点．先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，从而可得，最后根据等腰三角形的判定得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【典型例题六 根据等角对等边求边长】 【例1】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分，则平行四边形的周长是（　　） A．14 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义．先由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，根据平行四边形周长公式求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，可得平分，，由平行的性质和等角对等边可得，同理，可得到图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点I为的内心， ∴平分， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B． 【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的中位线，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中位线定理，角平分线的定义，等角对等边，解题关键是利用等角对等边证明相关线段相等． 先利用中位线定理得出，，，再利用角平分线的意义得出，然后利用平行线的性质得出，从而有，再根据等角对等边得出，最后利用线段差求得． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4． 【例4】（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．    【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，方向角的计算，根据方向角先求出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可． 【详解】解：∵， ∵向北的方向线是平行的， ∴， ∴， ∴（海里）， 故答案为：90． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于，可得，即得，得到，又可得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：） (1)求证：； (2)若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到） 【答案】(1)见解析 (2)该雕塑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ， ， ； （2）解：由题意可知，， ， 由（1）可知，， 在中，， ， 即该雕塑的高度约为． 【典型例题七 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（2025·河北保定·模拟预测）如图，给出线段，，作等腰，使，边上的高.嘉嘉的作法是：①作线段；②作线段的垂线；③以点为圆心，为半径作弧，与分别交于点，；④连接，，为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】利用基本作图（过已知直线上一点作直线的垂线）可判断②错误． 【详解】有错误的一步是②，应该为过D点作MN⊥AD． 故选B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． ⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． 故选D． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是 ． 【答案】63° 【分析】依次根据等腰三角形的性质可得：，由三角形外角的性质得：和的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，连接CD， ∵AB＝BC， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及对于三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的应用. 【例4】（24-25八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 【答案】，（任写一个） 【分析】画AB的垂直平分线交x轴于一点，再以点A为圆心，AB为半径画弧交x轴于两点，最后以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于一点，分别写出点坐标即可． 【详解】如图所示， 是以A为圆心，AB为半径交x轴于两点， 故所有满足条件点M的坐标是：，（任写一个）． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N，作直线MN交BC于点D，连接AD若△ABC 的周长为21，AB=7，则△ADC的周长为（      ） A．28 B．24 C．18.5 D．14 【答案】D 【详解】由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD. 的周长为:　AC+CD+AD=AC+CB=21-7=14, 故选D. 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 【答案】 【分析】①求作以为一腰的圆内接等腰三角形的个数；②可以分别以、为圆心,以为半径画弧,与圆相交,分别连结、与其交点,即可得到三角形. 【详解】①当以为一腰时，有两个等腰三角形可以作：分别以、两点为圆心，长为半径画弧交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ②当以为底边时，有两个等腰三角形可以作：作的垂直平分线交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ∴这样的三角形能作个. 故答案是： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的作法.这类题目是一些基本作图的综合应用.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 3．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求. 【典型例题八 格点图中画等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若也是图中的格点， 则使得是以为一腰的等腰三角形时， 点的个数是(    ) A．8 B．6 C．4 D．7 【答案】C 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形． 【详解】解：如图，当AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °． 【答案】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，由勾股定理得到，勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 由勾股定理得：， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·山西·期末）已知有6个点按如图所示的方式摆放，把这些点作为三角形的顶点，可以画 个等腰三角形． 【答案】11 【分析】根据等腰三角形的性质画出等腰三角形即可； 【详解】 由图可知，每两个点之间的距离相等，所以等腰三角形分别是△ABC、△AEF、△BDE、△CFD、△EFD、△AOB、△BOC、△COA、△EOD、△DOF、△EOF． 故答案为：11． 【点睛】通过等腰三角形的性质和点的特征进行判断是解题的关键． 1．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在正方形网格中，网格线的交点称为格点，如图是 3×3 的正方形网格，已知 A，B 是两格点，C是不同于点A和B的格点，下列说法正确的是（      ）. A．ΔABC是直角三角形，这样的点C有4个 B．ΔABC是等腰三角形，这样的点C有4个 C．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有6个 D．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有2个 【答案】C 【分析】运用分类讨论思想，分别画出满足ΔABC是等腰三角形和ΔABC是等腰直角三角形的点，则问题可解. 【详解】解：当ΔABC是等腰直角三角形时，如图： 分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故构成等腰直角三角形的点一共有6个．故ΔABC是直角三角形的点也有6个. 当ΔABC是等腰三角形时，如图 ， 分情况讨论①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故构成等腰三角形的点一共有8个． 故应选C 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定，解答关键是应用分类讨论的数学思想解决问题. 2．（24-25八年级上·北京丰台·期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个． 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） 8 【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可． 【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个； ②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有3个； ③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点； 综上，符合题意的格点共有8个， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；8． 【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点为所求， （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 【典型例题九 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据等边对等角求出∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠ADE，∠AED，∠BAD的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAD，∠CAE的度数，从而得到相等的角，根据相等的角找出等腰三角形即可得解． 【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝36°， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠ADE＝∠AED＝2∠BAD， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠BAD＝36°， ∴∠ADE＝∠AED＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°， ∴∠BAE＝∠CAD＝36°+36°＝72°， 等腰三角形有：△ABD、△ADE、△ACE、△ABE、△ACD、△ABC共6个． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，根据等边对等角和三角形外角性质求出图中的角度是解决本题的关键. 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】作出图形，以AB为底边与腰长两种情况确定出点P的位置，即可得解. 【详解】    如图：符合条件的点P共有6个. 故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，坐标与图形性质，根据坐标特征确定等腰三角形是解题的关键. 【例3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解． 【详解】解：图三标上字母如图所示 根据对称性，是等腰三角形的有：三个 故答案为：3． 【点睛】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时； ②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时． ④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时， ⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时． ⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时． ⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意； C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；    D．作图痕迹没有依据，D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断． 2．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    【答案】5 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC． 【详解】分三种情况讨论： ①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，    ②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B， 同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，    ③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D， 同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，    故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． （1）利用菱形的性质和全等三角形的判定（）可得结论； （2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴是等腰三角形， 由（1）知， ∴，，则是等腰三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，则是等腰三角形； ∴，即，则是等腰三角形， 综上，所有的等腰三角形为，，，． 【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交边于点恰好平分．若，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点E作交与点F，则，由矩形的性质可得出，由角平分线的定义得出，进而可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理得出，再由角平分的计算以及三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质得出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作交与点F， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线的有关计算，掌握这些知识是解题的关键． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． 这样的直线最多可画4条． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到 ，，于是得到，，代入数据即可得到结论． 本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【例4】（2025八年级上·广西·专题练习）将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是准确运用直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度，理清各线段的关系．先利用直角三角形性质求出的长，再根据即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①， ②连接，则的周长， ③连接，，则平分， ④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由作图可得平分，垂直平分，再由同角的余角相等即可判断①；连接，由线段垂直平分线的性质可得，即可判断②；连接，，则，，再由等边对等角结合角平分线的定义即可判断③；作于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，故①正确； 连接， ， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴，故②正确； 连接，， ， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； 如图：作于， ， 由角平分线的性质定理可得：， ∵，，， ∴，故④错误， 综上所述，正确的个数为个， 故选：C． 2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于F，过点D作，垂足为G，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】作交于H，如图，利用等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，则，所以，加上，所以，于是可根据“”可证明，得到，则为斜边上的中线，所以，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可求出． 【详解】解：如图，作交于H． ， ， ， ，， ， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，则可证明，再证明，即可证明，得到． （2）连接交于点O，由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （3）①由等边对等角得到，导角证明，得到，再证明，得到，证明，得到，则可证明； ②连接交于点O， 则，，设，则，由菱形的性质得到，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 【典型例题十一 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，根据正多边形内角计算公式可得，，则由平角的定义可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025八年级上·浙江宁波·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，延长，作于点F，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数，在直角中利用三角函数求得的长，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 可将绕点B逆时针旋转得， 连，且延长，作于点F，如图， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∴， ∴在直角中，，． ∴在直角中，， 则的面积是， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 1．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴图中一共有4个等边三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，可得是等边三角形，由菱形可得平分，继而可得． 【详解】解：连接，由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）先根据矩形性质得，再结合已知，，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形来证明． （2）由菱形性质和得出是等边三角形，再通过等边三角形和矩形的线段关系求出对角线长度，最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，即， 又，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵（已证，，，即对角线互相垂直 ）， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴, ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ）和性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分 ），以及矩形、等边三角形、平行四边形的相关性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·广西钦州·期中）已知等腰三角形的其中两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，分类解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，一边的长为， ∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9， 当三边为4，4，9时，，三角形不存在，无法计算周长； 当三边为4，9，9时，，三角形存在， 故周长为； 故选：D． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由垂直平分线性质可得，则，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，； 如图②，当钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案． 【详解】解：∵，， ， ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积即可，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 【详解】过点作，交的延长线于点，则 ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， 即：； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到和的度数，再根据平分，即可得到的度数，然后根据，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ． 12．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． (1)如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； (2)如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； (3)在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3)16 【分析】（1）证明，即可得； （2）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，根据平移可得，即，故平移的距离为2； （3）根据，由（1）知，得到，即可得到，故平移的距离是16． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵是等边三角形，，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，，点是边的中点， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴， 故平移的距离为； （3）解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴平移的距离是16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及等边三角形的性质及应用、全等三角形的判定与性质、平移变换、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下： ①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接，． (1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形； (2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由； (3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段． 【答案】(1)等边 (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据作法可得，即可作出判断； （2）根据等边三角形的性质得，根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质推出，可得结论； （3）根据平行线的性质得，即，再根据等腰三角形三线合一性质得线段为边上的中线，即可得证． 【详解】（1）解：由作法得：， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； （2）．理由如下： 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴线段为边上的中线， ∴垂直平分线段． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 等腰三角形的性质与判定（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等腰三角形的定义 典型例题二 等边对等角 典型例题三 三线合一 典型例题四 根据等角对等边证明等腰三角形 典型例题五 根据等角对等边证明边相等 典型例题六 根据等角对等边求边长 典型例题七 作等腰三角形(尺规作图) 典型例题八 格点图中画等腰三角形 典型例题九 找出图中的等腰三角形 典型例题十 等腰三角形的性质和判定 典型例题十一 等边三角形的判定和性质 知识点01 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C． D．或 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是 ．（填其所有可能性的序号） ①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 知识点04 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【典型例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．以上都不是 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知是等腰三角形，若，，那么的周长是 ． 【例4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，D为边上一点，若，，则 ． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法固式分解，下面是甲、乙两让同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并解答以下问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长． 【典型例题二 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，，点是上一点，，，则 ． 【例4】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是的外接圆，，则 ． 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正五边形和等边三角形的一条边重叠，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 3．（24-25七年级下·上海·期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【典型例题三 三线合一】 【例1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则底的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（    ） A．等角对等边 B．两点之间线段最短 C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图在四边形中，，点在边上，连接，，过作于，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【典型例题四 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6cm，则AC的长为（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）等腰三角形的判定定理是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是 ． 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，一张四边形纸片，，，，，且，连接，点在边上，把沿直线对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，，在同一条直线上给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【典型例题五 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，平分，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【例3】 （23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      【例4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于D，如果，，那么 cm．    1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：如图，在中，点E、F分别在、上，且平分， ．求证：四边形是菱形． 【典型例题六 根据等角对等边求边长】 【例1】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分，则平行四边形的周长是（　　） A．14 B．16 C．20 D．24 【例2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的中位线，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【例4】（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．    1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：） (1)求证：； (2)若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到） 【典型例题七 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（2025·河北保定·模拟预测）如图，给出线段，，作等腰，使，边上的高.嘉嘉的作法是：①作线段；②作线段的垂线；③以点为圆心，为半径作弧，与分别交于点，；④连接，，为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是 ． 【例4】（24-25八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N，作直线MN交BC于点D，连接AD若△ABC 的周长为21，AB=7，则△ADC的周长为（      ） A．28 B．24 C．18.5 D．14 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【典型例题八 格点图中画等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A． 个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若也是图中的格点， 则使得是以为一腰的等腰三角形时， 点的个数是(    ) A．8 B．6 C．4 D．7 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝ °． 【例4】（24-25七年级下·山西·期末）已知有6个点按如图所示的方式摆放，把这些点作为三角形的顶点，可以画 个等腰三角形． 1．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在正方形网格中，网格线的交点称为格点，如图是 3×3 的正方形网格，已知 A，B 是两格点，C是不同于点A和B的格点，下列说法正确的是（      ）. A．ΔABC是直角三角形，这样的点C有4个 B．ΔABC是等腰三角形，这样的点C有4个 C．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有6个 D．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有2个 2．（24-25八年级上·北京丰台·期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【典型例题九 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【例3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有 个等腰三角形． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．     B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交边于点恰好平分．若，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【例4】（2025八年级上·广西·专题练习）将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，根据图中的作图痕迹，有下列结论： ①， ②连接，则的周长， ③连接，，则平分， ④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于F，过点D作，垂足为G，连接．若，，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【典型例题十一 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点在同一条直线上，则的度数为 ． 【例4】（2025八年级上·浙江宁波·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 1．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西钦州·期中）已知等腰三角形的其中两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学思想是数学研究的灵魂和核心，是数学理论发展的源泉，它能帮助我们更好地思考问题，解决问题．依据2022版新课标实施的七年级新教材中，我们已经学习了特殊化和转化的数学思想方法，探究了以下结论：两个边长相等的正方形如图①所示放置，正方形的顶点E与正方形的中心重合，两个正方形重合部分的面积不变，且等于正方形面积的，利用结论解决问题：若图②中，，，则四边形的面积等于 ． 11．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，，求的度数． 12．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． (1)如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； (2)如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； (3)在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下： ①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接，． (1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形； (2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由； (3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段． 学科网（北京）股份有限公司 $$