专题05图形的轴对称暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册（原卷版）

专题05图形的轴对称暑假预习讲义 · 理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，分清两者区别与联系，能准确判断生活、几何图形是否为轴对称图形，并找出全部对称轴，清楚对称轴是直线。 · 熟记轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分对称点的连线；对应线段相等、对应角相等，会运用性质进行简单线段、角度计算。 · 掌握画一个图形关于已知直线对称图形的基本步骤，能规范作出点、线段、三角形的对称图形。 · 结合折叠问题理解轴对称的应用，能根据折叠前后图形对称，找出相等线段与相等角；初步感知轴对称最短路径基本模型。 · 独立完成课本基础习题，预习梳理易混淆知识点，标记存疑内容，上课针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称图形和轴对称性质 3.常见图形的对称轴 4.折叠问题的解题思路 5.轴对称最短路径模型 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称两图形的识别 3.由成轴对称图形特征判断 4.由成轴对称图形特征求解 5.画对称轴 6.求对称轴条数 7.画轴对称图形 8.设计轴对称图案 9.台球桌面上轴对称问题 10.轴对称中的光线反射问题 11.折叠问题 12.镜面对称的应用 13.最短路径问题 14.线段问题 15.面积问题 16.角度问题 强化题型 解答题8题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 关键区分：轴对称是 “两个图形间的对称”，轴对称图形是 “一个图形自身的对称”；二者核心共性 —— 折叠后重合，对应量相等 2. 轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质 1.两个图形成轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 3.对应线段与对应角的性质： 轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）中，对应线段相等，对应角相等。 4.全等与轴对称的关系： 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04：折叠问题解题思路（轴对称高频题型） 折叠本质就是轴对称，折叠前后两部分关于折痕对称，直接可得： 1.对应边相等、对应角相等； 2.折痕是对应点连线的垂直平分线； 3.常结合线段垂直平分线、全等三角形进行角度、边长计算。 知识点05：拓展：轴对称最短路径模型（将军饮马） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点距离之和最小； 2.方法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求； 3.原理：两点之间线段最短，利用轴对称转化线段。 知识点06：高频易错点汇总 错误认知 正确内容 出错原因 对称轴是线段或射线 对称轴一定是直线 概念记忆模糊，看图只看到图形内一段 轴对称图形和两个图形成轴对称没有关联 轴对称图形拆分可得到成轴对称的两个图形，二者可以相互转化 分不清 “一个图形” 和 “两个图形” 的分类 全等图形一定成轴对称 全等图形位置任意，不一定能沿直线折叠重合 颠倒逻辑：成轴对称一定全等，全等不一定轴对称 画对称点只截取相等线段，不画垂线 对称点连线必须与对称轴垂直，缺一不可 忽略性质 “对称轴垂直平分对称点连线” 折叠后只有对应角相等，忽略线段相等 折叠前后对应边、对应角全部相等 做题只关注角度，遗漏线段等量条件 等腰直角三角形只有 1 条对称轴 等腰直角三角形仅 1 条对称轴（斜边中垂线），直角边不是对称轴 混淆直角边与对称轴定义 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列交通标识中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A是轴对称图形，BCD不是轴对称图形． 【跟踪专练1】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 【跟踪专练2】如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 分别以三条边所在直线为对称轴确定三个点，再以三条线段的垂直平分线为对称轴得出另外三个对称点，即可得出答案． 【详解】解；以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，以直线所在的直线为对称轴可得，再以的垂直平分线为对称轴可得， 以的垂直平分线为对称轴可得，以的垂直平分线为对称轴可得， 所以一共有D点的个数为6个． 故答案为：6． 【跟踪专练3】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 题型2.成轴对称两图形的识别 【典例】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 【跟踪专练1】窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A、成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B、若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C、所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 题型3.由成轴对称图形特征判断 【典例】轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了轴对称的基本性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．据此求解答即可． 【详解】在轴对称图形中，任何一对对应点连线都被对称轴垂直平分，这是轴对称的基本性质．因此，对应点连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 【跟踪专练1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练3】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 题型4.由成轴对称图形特征求解 【典例】如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：根据对称的性质可得，，， 则五边形的周长为． 【跟踪专练1】如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ． 【跟踪专练2】如图，，点是内部一点，过点分别作关于，的对称点，，连结，，则_________． 【答案】/100度 【分析】因为点，分别是点关于、的对称点，所以． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 点，分别是点关于、的对称点， ，， ． 【跟踪专练3】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】得出的面积，，由此即可得． 【详解】解：∵所在直线是的对称轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵所在直线是的对称轴， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 题型5.画对称轴 【典例】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，此题的解题关键是掌握画对称轴的方法与技巧． 根据画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的中点，再沿着中点画一条垂线，就可以得到该图形的对称轴．据此画出3个选项里图形的对称轴，找出只能画一条对称轴的图形． 【详解】 A．能画4条对称轴； B．不能画出对称轴； C．只能画一条对称轴． 故答案为：C 【跟踪专练1】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 题型6.求对称轴条数 【典例】下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 【跟踪专练1】如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【答案】④①②③ 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示，图①的对称轴的条数是条，图②的对称轴的条数是3条，图③的对称轴的条数是4条，图④的对称轴的条数是1条， ∴按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：④①②③． 【跟踪专练2】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 【跟踪专练3】下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 题型7.画轴对称图形 【典例】请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 【答案】 【分析】根据已知可以得出此图形是连续的数字，得出空白处是6并且是轴对称图形，据此即可解答． 【详解】解：根据已知可以得出此图形是连续的数字并且是轴对称图形，则横线上的空白处的图形是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有_______个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称，画关于某条直线对称的图形，理解轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质画格点三角形即可． 【详解】解：如图所示，与成轴对称的格点三角形共有5个． 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特征进行作图即可． 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 题型8.设计轴对称图案 【典例】如图是由个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有___种． 【答案】 【分析】此题考查作图—轴对称，关键是根据轴对称的性质画出图形详解．根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 【跟踪专练2】如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 【答案】3 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称定义进行解答即可． 【详解】解：如图，在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，共有3种不同的涂法． 【跟踪专练3】如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义得出符合题意的图形，再解答即可． 【详解】解：如图所示，将方格1处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格2处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格3处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴； 将方格4处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴， 所以涂法有4种． 题型9.台球桌面上轴对称问题 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 【跟踪专练2】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 题型10.轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【跟踪专练1】【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 【跟踪专练2】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 【跟踪专练3】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 题型11.折叠问题 【典例】如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【答案】/59度 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长到点F，由平行线的性质求出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：如图，延长到点F， ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴． 【跟踪专练2】折纸实验：如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．两次折叠后，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由折叠和平行的性质求解即可． 【详解】解：由折叠得 ，， ，， ， ， 由折叠得， ． 【跟踪专练3】如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按如图所示的方法折叠后，剪去的是一个非等腰的直角三角形，则展开的图形中间部分不是一个正方形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，故只有B选项中的图形符合题意． 题型12.镜面对称的应用 【典例】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 【跟踪专练1】平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，熟练掌握原理和性质是解题的关键； 平面镜成像左右颠倒，但数字0和1对称，且时间字符串“”自身对称，故实际时间与镜中时间相同． 【详解】平面镜中看到的时间是实际时间的左右镜像．电子钟数字中，数字0和1在镜中保持不变，冒号对称．将镜中时间“”反转顺序并考虑数字对称性，得到实际时间仍为“”． 故答案为：． 【跟踪专练2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 【跟踪专练3】小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 【跟踪专练4】平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是． 故答案为：． 【跟踪专练5】有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 题型13.最短路径问题 【典例】如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【跟踪专练2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 题型14.线段问题 【典例】如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则______的面积最小值为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：；． 【跟踪专练1】如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【跟踪专练2】如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．即铺设管道路径最短的方案是方案3 故选：C； 题型15.面积问题 【典例】如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【答案】 【分析】作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 题型16.角度问题 【典例】如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【跟踪专练1】如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 解答题 1．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 【答案】(1)1，2，3 (2) (3) (4)对称轴的条数是多边形边数的约数 【分析】（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，底边上的高所在的直线，非正方形的长方形有2条对称轴，对边中点连线所在的直线，等边三角形有3条对称轴，三边高线所在直线； （2）仿照前面的修改解答即可； （3）作出长方形的长边的中点所在直线，以此直线为对称轴，把左边的图形对称到右边即可； （4）根据对称轴所在直线的两个特点：一是对边中点连线所在直线，二是相对的顶点所在直线，画凸六边形即可，根据画出图形的对称轴条数发现规律求解即可． 【详解】（1）解：1，2，3； （2）略 （3）略 （4）解：根据题意，三角形，其对称轴可以是1条或3条，是边数3的约数； 四边形，其对称轴可以是1条，2条或4条，是边数4的约数； 五边形，其对称轴可以是1条或5条，是边数5的约数； 六边形，其对称轴可以是1条，2条，3条或6条，是边数6的约数； 由此可得，一个凸多边形，如果是一个轴对称图形，那么它的对称轴条数是多边形边数的约数； 2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30； （2）的余角是：； （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3） 略 （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 4．已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 【答案】(1)如图：对称轴即为所求； (2)90 【分析】（1）对称轴是入射光线与反射光线夹角的角平分线，尺规作图方法：以入射光线和反射光线的公共交点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两条光线于两点；分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接顶点和交点得到直线，即为所求对称轴，保留作图痕迹即可． （2）根据反射性质和平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：根据反射性质，可得：，， ∵， ∴， ∴， 化简得， 在中：． 5．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 6．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 7．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 8．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的轴对称暑假预习讲义 · 理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，分清两者区别与联系，能准确判断生活、几何图形是否为轴对称图形，并找出全部对称轴，清楚对称轴是直线。 · 熟记轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分对称点的连线；对应线段相等、对应角相等，会运用性质进行简单线段、角度计算。 · 掌握画一个图形关于已知直线对称图形的基本步骤，能规范作出点、线段、三角形的对称图形。 · 结合折叠问题理解轴对称的应用，能根据折叠前后图形对称，找出相等线段与相等角；初步感知轴对称最短路径基本模型。 · 独立完成课本基础习题，预习梳理易混淆知识点，标记存疑内容，上课针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称图形和轴对称性质 3.常见图形的对称轴 4.折叠问题的解题思路 5.轴对称最短路径模型 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称两图形的识别 3.由成轴对称图形特征判断 4.由成轴对称图形特征求解 5.画对称轴 6.求对称轴条数 7.画轴对称图形 8.设计轴对称图案 9.台球桌面上轴对称问题 10.轴对称中的光线反射问题 11.折叠问题 12.镜面对称的应用 13.最短路径问题 14.线段问题 15.面积问题 16.角度问题 强化题型 解答题8题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 关键区分：轴对称是 “两个图形间的对称”，轴对称图形是 “一个图形自身的对称”；二者核心共性 —— 折叠后重合，对应量相等 2. 轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质 1.两个图形成轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 3.对应线段与对应角的性质： 轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）中，对应线段相等，对应角相等。 4.全等与轴对称的关系： 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04：折叠问题解题思路（轴对称高频题型） 折叠本质就是轴对称，折叠前后两部分关于折痕对称，直接可得： 1.对应边相等、对应角相等； 2.折痕是对应点连线的垂直平分线； 3.常结合线段垂直平分线、全等三角形进行角度、边长计算。 知识点05：拓展：轴对称最短路径模型（将军饮马） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点距离之和最小； 2.方法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求； 3.原理：两点之间线段最短，利用轴对称转化线段。 知识点06：高频易错点汇总 错误认知 正确内容 出错原因 对称轴是线段或射线 对称轴一定是直线 概念记忆模糊，看图只看到图形内一段 轴对称图形和两个图形成轴对称没有关联 轴对称图形拆分可得到成轴对称的两个图形，二者可以相互转化 分不清 “一个图形” 和 “两个图形” 的分类 全等图形一定成轴对称 全等图形位置任意，不一定能沿直线折叠重合 颠倒逻辑：成轴对称一定全等，全等不一定轴对称 画对称点只截取相等线段，不画垂线 对称点连线必须与对称轴垂直，缺一不可 忽略性质 “对称轴垂直平分对称点连线” 折叠后只有对应角相等，忽略线段相等 折叠前后对应边、对应角全部相等 做题只关注角度，遗漏线段等量条件 等腰直角三角形只有 1 条对称轴 等腰直角三角形仅 1 条对称轴（斜边中垂线），直角边不是对称轴 混淆直角边与对称轴定义 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列交通标识中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【跟踪专练2】如图，已知点A，B，C，请你再找一个点D，使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点的个数为______个． 【跟踪专练3】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型2.成轴对称两图形的识别 【典例】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 题型3.由成轴对称图形特征判断 【典例】轴对称图形中，对应点连线被对称轴______． 【跟踪专练1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【跟踪专练3】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型4.由成轴对称图形特征求解 【典例】如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【跟踪专练1】如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，，点是内部一点，过点分别作关于，的对称点，，连结，，则_________． 【跟踪专练3】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．16 题型5.画对称轴 【典例】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【跟踪专练1】下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A．B． C． D． 题型6.求对称轴条数 【典例】下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【跟踪专练2】在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【跟踪专练3】下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7.画轴对称图形 【典例】请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 【跟踪专练1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有_______个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8.设计轴对称图案 【典例】如图是由个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有___种． 【跟踪专练1】如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 【跟踪专练3】如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 题型9.台球桌面上轴对称问题 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【跟踪专练1】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 题型10.轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【跟踪专练2】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【跟踪专练3】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型11.折叠问题 【典例】如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】折纸实验：如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．两次折叠后，则________（用含的代数式表示）． 【跟踪专练3】如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 题型12.镜面对称的应用 【典例】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【跟踪专练1】平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【跟踪专练2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【跟踪专练3】小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【跟踪专练4】平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【跟踪专练5】有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 题型13.最短路径问题 【典例】如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【跟踪专练2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 题型14.线段问题 【典例】如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则______的面积最小值为______． 【跟踪专练1】如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【跟踪专练3】如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 题型15.面积问题 【典例】如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【跟踪专练1】如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【跟踪专练2】如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 题型16.角度问题 【典例】如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【跟踪专练1】如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 解答题 1．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 4．已知光线射向光滑镜面，入射光线与反射光线成轴对称．         (1)在图（1）中作出对称轴；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） (2)如图（2），入射光线经过两次光滑镜面反射后得到反射光线，若，则 °． 5．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 6．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 7．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 8．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $