第06讲 等腰三角形（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第06讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1等腰三角形的定义 题型2等边对等角 题型3等边三角形的性质 题型4三线合一 题型5根据等角对等边证明等腰三角形 题型6根据等角对等边证明边相等 题型7根据等角对等边求边长 题型8格点图中画等腰三角形 题型9找出图中的等腰三角形 题型10等腰三角形的性质和判定 题型11等边三角形的判定 题型12等边三角形的判定和性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形 等边对等角 三线合一 等角对等边 1.学生能准确说出等腰三角形的相关定义(腰、底边、顶角、底角)，理解并掌握等腰三角形两条核心性质:等边对等角、三线合一。 能够运用等腰三角形的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及边长、角度、周长相关计算。 3.了解等腰三角形性质对应的判定定理(等角对等边)，能运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形。 学习重点： （1）等腰三角形两大核心性质的理解与掌握，即准确把握“等边对等角"和“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一”。 (2)能够熟练运用等腰三角形的性质与判定，完成几何证明和角度、边长计算类题目 学习难点： (1)等腰三角形性质的探究推导过程，如何引导学生通过折纸、观察等直观操作抽象出几何规律，并完成严谨的全等逻辑证明。 (2) 区分性质与判定的使用场景:正向用性质由边等推角等、得到三线等量关系;反向用判定由角等证明边相等、判定等腰三角形，做题时容易混淆。 (3) 等腰三角形分类讨论题型:已知一边/一角求边长、内角时，分腰和底、顶角和底角两种情况讨论，容易漏解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的定义及性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 即时即练 1．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 即时即练 1．如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 知识点03 等边三角形的定义及性质 1.定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.性质： （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 即时即练 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 3．下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型1 等腰三角形的定义 【例1】已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【变式1-1】已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 【变式1-2】等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-3】等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 题型2 等边对等角 【例2】如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，等腰中，，，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型3等边三角形的性质 【例3】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，P是等边内部一点，平分，若，，则的面积为（    ） A．​ B．​ C．​ D．3 题型4 三线合一 【例4】如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【变式4-1】如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（   ）. A． B． C． D． 【变式4-3】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型5 根据等角对等边证明等腰三角形 【例5】已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式5-1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【变式5-2】如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-3】下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 题型6 根据等角对等边证明边相等 【例6】如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式6-2】如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 【变式6-3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 题型7 根据等角对等边求边长 【例7】如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【变式7-1】如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【变式7-3】如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型8 格点图中画等腰三角形 【例8】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式8-1】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-2】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 题型9 找出图中的等腰三角形 【例9】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式9-1】如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9-2】如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【变式9-3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 题型10 等腰三角形的性质和判定 【例10】【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【变式10-1】如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式10-2】如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式10-3】如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型11 等边三角形的判定 【例11】已知：如图，，，平分．求证：是等边三角形． 【变式11-1】如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【变式11-2】如图，在中，． (1)在边上求作一点，使(利用尺规作图，不写过程，保留作图痕迹)； (2)在（1）所做的图形中，若，判断的形状，并说明理由． 【变式11-3】如图，在中，，，平分，交边于点，为边的中点，，交于点，交于点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型12 等边三角形的判定和性质 【例12】已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【变式12-1】如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式12-2】在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式12-3】在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 4.如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．如图，等腰中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 7．如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 9．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 10．如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1等腰三角形的定义 题型2等边对等角 题型3等边三角形的性质 题型4三线合一 题型5根据等角对等边证明等腰三角形 题型6根据等角对等边证明边相等 题型7根据等角对等边求边长 题型8格点图中画等腰三角形 题型9找出图中的等腰三角形 题型10等腰三角形的性质和判定 题型11等边三角形的判定 题型12等边三角形的判定和性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形 等边对等角 三线合一 等角对等边 1.学生能准确说出等腰三角形的相关定义(腰、底边、顶角、底角)，理解并掌握等腰三角形两条核心性质:等边对等角、三线合一。 能够运用等腰三角形的性质解决简单几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及边长、角度、周长相关计算。 3.了解等腰三角形性质对应的判定定理(等角对等边)，能运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形。 学习重点： （1）等腰三角形两大核心性质的理解与掌握，即准确把握“等边对等角"和“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一”。 (2)能够熟练运用等腰三角形的性质与判定，完成几何证明和角度、边长计算类题目 学习难点： (1)等腰三角形性质的探究推导过程，如何引导学生通过折纸、观察等直观操作抽象出几何规律，并完成严谨的全等逻辑证明。 (2) 区分性质与判定的使用场景:正向用性质由边等推角等、得到三线等量关系;反向用判定由角等证明边相等、判定等腰三角形，做题时容易混淆。 (3) 等腰三角形分类讨论题型:已知一边/一角求边长、内角时，分腰和底、顶角和底角两种情况讨论，容易漏解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的定义及性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 即时即练 1．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 2．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 即时即练 1．如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 知识点03 等边三角形的定义及性质 1.定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.性质： （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 即时即练 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 2．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 题型1 等腰三角形的定义 【例1】已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 【变式1-1】已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 【答案】C 【分析】解题时需要分情况讨论边长，再根据三角形任意两边之和大于第三边，排除不能构成三角形的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况舍去. 2. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 周长为. 综上，该等腰三角形的周长为． 【变式1-2】等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：①当的角是这个等腰三角形的顶角时，②当的角是这个等腰三角形的底角时，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的角是这个等腰三角形的顶角时， 则它的底角的度数是； ②当的角是这个等腰三角形的底角时， 则它的底角的度数是； 综上，它的底角的度数是或． 【变式1-3】等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果. 【详解】解：∵等腰三角形已知两边长为和，第三边有两种可能，分情况讨论： ∴当第三边长为， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形； ∴第三边长为. 题型2 等边对等角 【例2】如图，在中，，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据轴对称的性质得到，所以，然后结合三角形外角性质求得，再根据等腰三角形的性质求得，即可求得答案． 【详解】解：沿直线折叠，点A的对应点恰好是点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形底角相等求得，由作法得平分，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分， ∴． 【变式2-2】如图，已知，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得，，利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 【变式2-3】如图，等腰中，，，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形的性质求出底角的度数；再根据等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数；最后同理利用等腰的性质和三角形外角的性质，求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 同理可得：． 题型3等边三角形的性质 【例3】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 【变式3-2】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，P是等边内部一点，平分，若，，则的面积为（    ） A．​ B．​ C．​ D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，利用T求得等边三角形“三线合一”性质得，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵等边，平分， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故选：B． 题型4 三线合一 【例4】如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 【变式4-1】如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式4-2】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形-三线合一的性质，熟知等腰三角形底边上的高也是底边上的中线是解题的关键． 先求出的长，然后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在的周长为，，长为， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 【变式4-3】如图，分别是的中线和角平分线，相交于点F．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义； 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的中线，，， ， ． 是的角平分线， ， ∴． 故选C． 题型5 根据等角对等边证明等腰三角形 【例5】已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 【变式5-1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可得，则是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解： ，， ， ，即是等腰三角形， ， ． 【变式5-2】如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 【变式5-3】下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 题型6 根据等角对等边证明边相等 【例6】如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 【变式6-1】如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 【变式6-2】如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 延长交于点，证明，得，，然后利用等腰三角形的判定可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，而，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选：B． 题型7 根据等角对等边求边长 【例7】如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-3】如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型8 格点图中画等腰三角形 【例8】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 【变式8-1】如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 【变式8-2】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 【变式8-3】如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 题型9 找出图中的等腰三角形 【例9】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式9-1】如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，， ，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 【变式9-2】如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 【变式9-3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 题型10 等腰三角形的性质和判定 【例10】【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． ②； (2)与平行 (3)，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合即可证明结论； ②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略； ②由①得， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，是中点， ∴， 即 又， ， ∴． （3）解：略 【变式10-1】如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式10-2】如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 【变式10-3】如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 题型11 等边三角形的判定 【例11】已知：如图，，，平分．求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，结合，即可证明是等边三角形． 【详解】略 【变式11-1】如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式11-2】如图，在中，． (1)在边上求作一点，使(利用尺规作图，不写过程，保留作图痕迹)； (2)在（1）所做的图形中，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，即可求解； （2）连接，由（1）可知，，进而证明，，即可得证． 【详解】（1）解：下图点即为所求作： （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式11-3】如图，在中，，，平分，交边于点，为边的中点，，交于点，交于点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据已知可得，根据角平分线的定义可得 ，根据等角对等边可得，进而根据三线合一的性质，即可得证； （2）根据已知得出，，进而可得 ，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）， ， ， 平分 ， ， ， 是的中点， ， （2）是等边三角形， 理由如下：，， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型12 等边三角形的判定和性质 【例12】已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式12-1】如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式12-2】在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知是等边三角形，， ，， ， ， , ， ， ， ， ． 【变式12-3】在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 2．如图，在中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求出，再根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 3．已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，已知，未明确是顶角还是底角，因此需要分情况分类讨论计算底角度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当是等腰三角形的底角时，底角即为，符合三角形内角和定理； ②当是等腰三角形的顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为； 综上，的底角度数为或，故选D． 4.如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． 5．如图，等腰中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的性质得出既是高也是顶角平分线，因此． 【详解】解：，， 平分（等腰三角形三线合一）， ， 又， ． 6．如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得，平分，，可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分，， ∴， ∴． 7．如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 9．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】(1)③ (2)，理由如下： 如图2中，作交的延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) ， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交的延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）略 （3）略 10．如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中，， ， ； （2）①证明：由（1）可知，， 又． ， ； ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $