专题04线段垂直平分线与角平分线暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题04线段垂直平分线与角平分线暑假预习讲义 · 熟记线段垂直平分线、角平分线的定义，能规范画出两者图形，准确区分线段垂直平分线、三角形角平分线、角平分线三者概念。 · 自主理解线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等；其逆定理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，会简单运用性质进行线段相等的推理计算。 · 掌握角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等；逆定理：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，能利用性质求解线段长度、角度。 · 分清两类性质的几何书写格式，看懂基础几何证明过程，能结合全等三角形知识简单推导两条性质，识别图形中垂直、距离相等的隐含条件。 · 能区分两类图形的核心条件：线段垂直平分线看 “到两端点距离”，角平分线看 “到角两边垂线段距离”，预习时标记混淆点、证明存疑题型，课堂重点突破。 · 提前梳理易错点：区分 “点到线段端点距离” 与 “点到直线垂线段距离”，牢记角平分线性质必须作垂直才能使用。 预习必备 知识梳理 1.线段垂直平分线 2.作已知线段的垂直平分线 3.角平分线 4.作已知角的平分线 5.两者对比 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.线段垂直平分线的性质 2.线段垂直平分线的判定 3.作已知线段的垂直平分线 4.作垂线 5.角平分线的性质定理 6.角平分线的判定定理 7.角平分线性质的实际应用 8.作角平分线 9.线段垂直平分线最值问题 10.角平分线最值问题 强化题型 解答题6题 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06：高频易错点汇总 错误表述 正确内容 错误原因 点在垂直平分线上，则点到线段两边距离相等 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 混淆垂直平分线与角平分线的距离对象 角平分线上的点到角两边线段相等 必须是垂线段相等，斜线段不相等 忽略 “垂直” 这个必要条件 PA=PB，则PM⊥AB，AM=MB PA=PB只能说明P在垂直平分线上，不能直接推出PM平分、垂直，需补充条件 逆定理只能判定点在线上，不能直接得到垂直平分 内心到三角形三个顶点距离相等 内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等 混淆内心、外心性质 三角形角平分线是射线 三角形角平分线是线段；单纯角平分线是射线 概念混淆 只要距离相等，点就在角平分线上 点必须在角内部才成立，外部不适用 忽略逆定理限制条件 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 【跟踪专练2】如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 【答案】 5 【分析】根据垂直平分线的性质得到，由此得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵的周长为13，即， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据作图步骤判断出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 题型2.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，，．若，则________． 【答案】2.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明是的垂直平分线是解题的关键． 先证明是等边三角形，再证明是的垂直平分线，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 题型3.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 【跟踪专练1】如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 【跟踪专练2】如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【答案】 【分析】由作图可得，是的垂直平分线，因此，将的周长转化为，即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为26．则的周长为（     ） A．17 B．26 C．43 D．53 【答案】C 【分析】本题通过作图的方式，得到线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，将的周长进行转化，即可求出的周长， 【详解】解：由作图可得垂直平分， ， 的周长， 的周长， 的周长，， 的周长． 题型4.作垂线 【典例】如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系______． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：根据尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由作图流程可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，结合等量代换可知，的周长即为与之和． 【详解】解：由尺规作图可知，是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长为． 【跟踪专练3】如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 题型5.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 【跟踪专练2】如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【答案】5 【分析】过点P作于点F，可证明，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点F， ∵，， ∴， 又∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴点到的距离是5． 【跟踪专练3】如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 题型6.角平分线的判定定理 【典例】如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 【答案】55° 【分析】本题考查了角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 根据，，，可得为的角平分线． 【详解】解：∵，，， ∴为的角平分线， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线判定定理可得平分，平分，则，，根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 点P到三边的距离， ∴平分，平分， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 题型7.角平分线性质的实际应用 【典例】在直角中，，平分交于点D，若，则点D到斜边的距离为______．    【答案】7 【分析】根据点D在的平分线上则点D到角的两边距离相等即可求解． 【详解】解：作，则即为所求，    ∵平分于点D， ∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了角平分线上的点的性质，解题的关键是正确理解点到两边的距离相等． 【跟踪专练1】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【跟踪专练2】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【跟踪专练3】将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 题型8.作角平分线 【典例】根据下面尺规作图的痕迹，可知______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由作图可知，平分， ∴. 【跟踪专练1】尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求； B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求； C选项，为边上的高，符合要求； D选项，不是边上的高，不符合要求． 【跟踪专练2】如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 【跟踪专练3】在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 题型9.线段垂直平分线最值问题 【典例】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 【跟踪专练2】如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 【答案】11 【分析】利用垂直平分线，将转化为，根据两点之间线段最短，得到，再加上的长，即可得到最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长的最小值是11． 题型10.角平分线最值问题 【典例】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【跟踪专练1】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为1， 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 解答题 1．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 2．如图，已知 ．请利用尺规作图法在BC下方求作一点D，使得，且 ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】作出线段的垂直平分线，以为圆心，为半径作弧，交线段的垂直平分线于点，点D即为所作． 【详解】略 3．已知，，，在上求作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【详解】解：如图，点即为所求， 由的垂直平分线交于点， ， ， ． 4．已知：如图，．请你用尺规作图． (1)作边的垂直平分线交于点D； (2)连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)如图，点D即为所求： (2)如图，射线即为所求： 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据作已知角的平分线的作法画出图形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 6．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04线段垂直平分线与角平分线暑假预习讲义 · 熟记线段垂直平分线、角平分线的定义，能规范画出两者图形，准确区分线段垂直平分线、三角形角平分线、角平分线三者概念。 · 自主理解线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等；其逆定理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，会简单运用性质进行线段相等的推理计算。 · 掌握角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等；逆定理：在角内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，能利用性质求解线段长度、角度。 · 分清两类性质的几何书写格式，看懂基础几何证明过程，能结合全等三角形知识简单推导两条性质，识别图形中垂直、距离相等的隐含条件。 · 能区分两类图形的核心条件：线段垂直平分线看 “到两端点距离”，角平分线看 “到角两边垂线段距离”，预习时标记混淆点、证明存疑题型，课堂重点突破。 · 提前梳理易错点：区分 “点到线段端点距离” 与 “点到直线垂线段距离”，牢记角平分线性质必须作垂直才能使用。 预习必备 知识梳理 1.线段垂直平分线 2.作已知线段的垂直平分线 3.角平分线 4.作已知角的平分线 5.两者对比 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.线段垂直平分线的性质 2.线段垂直平分线的判定 3.作已知线段的垂直平分线 4.作垂线 5.角平分线的性质定理 6.角平分线的判定定理 7.角平分线性质的实际应用 8.作角平分线 9.线段垂直平分线最值问题 10.角平分线最值问题 强化题型 解答题6题 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06：高频易错点汇总 错误表述 正确内容 错误原因 点在垂直平分线上，则点到线段两边距离相等 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 混淆垂直平分线与角平分线的距离对象 角平分线上的点到角两边线段相等 必须是垂线段相等，斜线段不相等 忽略 “垂直” 这个必要条件 PA=PB，则PM⊥AB，AM=MB PA=PB只能说明P在垂直平分线上，不能直接推出PM平分、垂直，需补充条件 逆定理只能判定点在线上，不能直接得到垂直平分 内心到三角形三个顶点距离相等 内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等 混淆内心、外心性质 三角形角平分线是射线 三角形角平分线是线段；单纯角平分线是射线 概念混淆 只要距离相等，点就在角平分线上 点必须在角内部才成立，外部不适用 忽略逆定理限制条件 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【跟踪专练1】如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【跟踪专练2】如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型2.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，，．若，则________． 【跟踪专练1】如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【跟踪专练3】如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 题型3.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【跟踪专练1】如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【跟踪专练2】如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为26．则的周长为（     ） A．17 B．26 C．43 D．53 题型4.作垂线 【典例】如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系______． 【跟踪专练1】如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【跟踪专练3】如图，，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型5.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，，则_________． 【跟踪专练1】如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【跟踪专练3】如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型6.角平分线的判定定理 【典例】如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 【跟踪专练1】在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为_______． 【跟踪专练3】如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 题型7.角平分线性质的实际应用 【典例】在直角中，，平分交于点D，若，则点D到斜边的距离为______．    【跟踪专练1】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【跟踪专练2】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【跟踪专练3】将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    题型8.作角平分线 【典例】根据下面尺规作图的痕迹，可知______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【跟踪专练3】在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型9.线段垂直平分线最值问题 【典例】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【跟踪专练3】如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 题型10.角平分线最值问题 【典例】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【跟踪专练1】如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 解答题 1．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 2．如图，已知 ．请利用尺规作图法在BC下方求作一点D，使得，且 ．（不写作法，保留作图痕迹） 3．已知，，，在上求作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 4．已知：如图，．请你用尺规作图． (1)作边的垂直平分线交于点D； (2)连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 5．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 6．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $