专题06 角平分线的性质（2知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题06 角平分线的性质 （2知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 知识点2：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知直线与直线相交于点A，B是上一点（点B位于点A右侧），请用尺规作图法，在上找一点C，点C在直线的上方，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型1 角平分线的概念】 1．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 2．三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 3．若是的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 4．如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 5．如图所示，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝30°，则∠B的度数为 ．    【题型2 与角平分线有关的内角和问题】 6．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 9．如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则 度． 10．如图，在中，，平分，于点E，若．      (1)求的度数； (2)求的度数． 【题型3 角平分线的判定定理】 11．如图，，点是内部一点，连接，为上一点，过点作于点于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 13．如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 15．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【题型4 利用角平分线的性质求角度】 16．如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 18．如图，，是的中点，平分，若，则 ． 19．如图，在中，平分交于点D，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【题型5 利用角平分线的性质求长度】 21．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 22．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 23．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 24．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ． 25．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【题型6 利用角平分线的性质求面积】 26．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 27．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 28．如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 29．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 30．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接． (1)试说明：； (2)若，且，求的面积． 【题型7 角平分线与垂直平分线结合】 31．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 32．如图，是的平分线，点A是上一点，作线段的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，则的长度是（    ） A．2 B．1 C． D． 34．如图，的平分线与的垂直平分线相交于，，，则 ．    35．如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证: (1); (2)猜想线段的数量关系,并进行证明． 【题型8 尺规作角平分线】 36．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 37．如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 38．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 39．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 40．已知：如图，，在内部求作，作法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点、； （2）分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； （3）作射线． 证明：． 【拓展训练一 角平分线的角度计算问题】 41．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 43．如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 45．如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，， (1)的度数为___________； (2)求的度数． 【拓展训练二 角平分线的辅助线添加问题】 46．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 47．如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 48．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 49．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 50．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【拓展训练三 角平分线的面积计算问题】 51．如图，在中，平分，延长至点E，使，连接．若，的面积为12，则的面积是（    ） A．9 B．12 C．15 D．16 52．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（    ）    A． B． C． D． 53．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 54．如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 55．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 【拓展训练四 角平分线的新定义问题】 56．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 57．我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 58．【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 59．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“雅系三角形”．    (1)如图①，若△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，连接BD、CE．求证：BD＝CE； (2)如图②，在（1）的条件下，若BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME； (3)如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 60．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 1．到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 2．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，的三边，，的长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 6．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，若，则的面积为 ． 8．点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是 9．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ． 10．如图，在中，为中点，，，交于，，，那么 ． 11．如图，中，平分，于点，，，则 ． 12．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 13．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． (1)求的度数． (2)若，求点到的距离． 15．如图，在中，，平分，已知，，求的面积．    16．如图，在中，，，点D是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求k的值． (1)为边上的中线． (2)为的平分线． 17．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 18．如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 19．已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M (1)若，，求的面积； (2)求证：． 20．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 角平分线的性质 （2知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （1）作于，根据角平分线的性质证明结论； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：如图所示，作于， 、分别为的两个外角平分线，，，， ，， ； （2）证明：由（1）， ∵，， 点在的平分线上． 知识点2：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知直线与直线相交于点A，B是上一点（点B位于点A右侧），请用尺规作图法，在上找一点C，点C在直线的上方，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图．作出的平分线和线段的垂直平分线，交于点，连接并延长交直线于点C，此时． 【详解】解：如图，点C在即为所作， ． 【题型1 角平分线的概念】 1．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 2．三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 3．若是的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，根据三角形的角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴平分， ∴，，故选项A，B，D正确； 不能得到，故选项C错误； 故选C． 4．如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 5．如图所示，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝30°，则∠B的度数为 ．    【答案】40° 【分析】由AD是△ABC的角平分线求得∠BAC=40°，可得∠FAC=140°，再由外角平分线求出∠FAE=70°，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得出∠B+∠E=∠FAE, 即可求得∠B的度数. 【详解】   ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∵ ∠BAD＝20°， ∴∠BAC=40°， ∵∠BAC+∠FAC=180°， ∴∠FAC=140°， 又∵AE是∠FAC的角平分线， ∴∠FAE=∠FAC=70°， 又∵∠FAE =∠B+∠E，∠E=30°， ∴∠B=70°-30°=40°. 故答案为40°. 【点睛】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是要熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【题型2 与角平分线有关的内角和问题】 6．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是与角平分线的三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选：A． 8．如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是的一条角平分线， ， 又， ． 故答案为：． 9．如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则 度． 【答案】30 【分析】根据∠DAE是△ABD的外角，∠CAE是△ABC的外角，利用三角形外角的性质即可求解； 【详解】解：∵∠C＝60°， BD平分， AD平分外角， ∴∠DBA＝∠ABC，∠DAE＝∠CAE， ∵， ∴∠D＝∠CAE﹣∠ABD＝(∠CAE﹣∠ABD)= ； 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理，利用外角的性质得出角之间的关系是关键． 10．如图，在中，，平分，于点E，若．      (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再由，求得； （2）根据角平分线定义求得，由三角形内角和定理求得，进而由角的和差求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得的度数． 【题型3 角平分线的判定定理】 11．如图，，点是内部一点，连接，为上一点，过点作于点于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形的内角和定理的应用，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．根据角平分线的判定定理可得平分，再进一步计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分，而， ∴， ∴， 故选A． 12．如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵外角的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分， 故选：． 13．如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定，根据题意，易得平分，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，于且， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 14．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 【题型4 利用角平分线的性质求角度】 16．如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外角和角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据外角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵的外角平分线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 17．如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 18．如图，，是的中点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 【详解】解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 19．如图，在中，平分交于点D，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识点． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是等相关知识是解决本题的关键． （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得，，间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论． 【详解】（1）解：平分， 是的外角，， （2）解：平分平分， 是的外角，， ， ， ． 20．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【题型5 利用角平分线的性质求长度】 21．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 22．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 23．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 24．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 25．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型6 利用角平分线的性质求面积】 26．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 27．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质和等面积法求解即可． 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F， 点O是内心， ． 故选：D． 28．如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：6． 29．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 30．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接． (1)试说明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分得到，根据平分得到即可得证； （2）设．由（1），得．利用已知建立方程解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴即为的平分线． 又∵， ∴． ∵是的平分线，， ∴， ∴． （2）解：设． 由（1），得． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【题型7 角平分线与垂直平分线结合】 31．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟记角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，，结合角平分线的性质和，得到，，进而得到，由此即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ， ，，恰好平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 32．如图，是的平分线，点A是上一点，作线段的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质；过点作于点，利用垂直平分线和角平角线的性质可得，，进而根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】解：如图，过点作于点，    是线段的垂直平分线 ， 是的角平分线 ， 的面积 故选：A． 33．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，则的长度是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余求出，根据角平分线的性质证明结论． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 34．如图，的平分线与的垂直平分线相交于，，，则 ．    【答案】 【分析】首先连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得． 【详解】解：如图，连接，，    是的平分线，，， ，，， , ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质． 35．如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证: (1); (2)猜想线段的数量关系,并进行证明． 【答案】(1)证明见解析 (2),证明见解析 【分析】（1）根据题意连接，根据垂直平分线性质及角平分线性质证明,即可得到本题答案, （2）根据题意判定，再利用全等三角形性质及边的转化即可得到本题答案． 【详解】（1）证明：连接, ∵垂直平分, ∴, ∵平分,, ∴, ∴, ∴, （2）解:猜想:, 证明：在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线性质,全等三角形判定及性质,角平分线性质．添加辅助线构造全等三角形是关键． 【题型8 尺规作角平分线】 36．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图步骤． （1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可； （2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，射线即为所求． 37．如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 38．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质是关键． 根据题意，运用尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，两线的交点即可所求点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 尺规作角的角平分线，连接，尺规作线段的垂直平分线，交于点， 根据角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线到线段两端点距离相等得到点即为所求点的位置． 39．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．作的角平分线，根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，点P即为所求． ． 延长，过点P作于点H，于点G， ∴， ∴， ∴． 40．已知：如图，，在内部求作，作法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点、； （2）分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； （3）作射线． 证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的定义．由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可证明． 【详解】证明：由作图可知是的角平分线， ∴． 【拓展训练一 角平分线的角度计算问题】 41．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 42．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线，平行线以及的三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握相关的角平分线性质是求解本题的关键．依据尺规作图可得是的角平分线，进而可得，根据平行线的性质，即可得到，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可得到的度数． 【详解】解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧， 是的角平分线， ， ， 过点作的平行线交于点， ， ， ， 故选：D． 43．如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 44．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 45．如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，， (1)的度数为___________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴ 故答案为：． （2）平分， ． 在中，，， ， ． 于， ， ． 【拓展训练二 角平分线的辅助线添加问题】 46．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． （1）由直角三角形的性质求出，由平角定义即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，于是推出平分； （3）由的面积的面积的面积，得到，即可求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过E作于M，于N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 47．如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点，    由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 48．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 49．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 50．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展训练三 角平分线的面积计算问题】 51．如图，在中，平分，延长至点E，使，连接．若，的面积为12，则的面积是（    ） A．9 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积等知识，熟练掌握等高的两个三角形面积比等于底之比是解题的关键．过点作于，交延长线于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案． 【详解】解：过点作于，交延长线于， ∵是的平分线，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 52．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题关键在于掌握等底等高的三角形的面积相等． 根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，   是的角平分线， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； 故选：B 53．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的高， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积等于， 故答案为：8． 54．如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，即可得证； （2）过点P作于点G，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ． ， 即， 平分． （2）解：如图，过点P作于点G． 平分，， ． 且， ，， ， ． 55．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 【拓展训练四 角平分线的新定义问题】 56．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 57．我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 【答案】(1)真，真，真 (2) (3) 【分析】（1）根据“幸福点”的定义和角平分线的性质进行判断即可； （2）根据“幸福点”的定义可得，，求得，再根基三角形内角和定理求得，即可得，即可求解； （3）过点D作的延长线于点G，连接，根据“幸福点”的定义可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质得，，设，则，，由（2）得，，过点D作交的延长线于点G，，可得，证明，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题； ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题； ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题； 故答案为：真，真，真； （2）解：∵点I是的“幸福点”， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵，， 又∵，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作的延长线于点F，连接， ∵点D是的一个“幸福点”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得，， ∴， 过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查命题与定理、新定义、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，理解新定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 58．【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再利用及三角形面积公式即可证明； （2）延长至，使，连接，易证，从而证得，得到，，由的定义，结合图形等线段转化即可得解； （3）①过点D作，由直角三角形的全等的判定易得，，得到，从而得证； ②分两种情况：当四边形为筝形时，时和时，结合图形分别计算即可得解； 【详解】（1）在四边形中， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又， ∴点C在线段的垂直平分线上， ， ， （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， 又，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， （3）①如图3，过点D作， 平分， ∴ 又， ，， ， ， ②分两种情况： 当四边形为筝形时，时，如图 ， 当四边形为筝形时，时，如图 ， ， ， 综上所述，或 59．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“雅系三角形”．    (1)如图①，若△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，连接BD、CE．求证：BD＝CE； (2)如图②，在（1）的条件下，若BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME； (3)如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)∠B+∠C＝180°，理由见解析 【分析】（1）根据“雅系三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，证明△BAD≌△CAE（SAS），即可解决问题； （2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“雅系三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H， ∵△ABC和△ADE互为“雅系三角形”． ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AG＝AH， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AM平分∠BME．    （3）解：结论：∠B+∠C＝180°， 理由：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，连接AP， ∵∠ADP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△BAD和△CAP中， ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠ACD+∠ACP＝180°， ∴∠B+∠ACD＝180°．    【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了“雅系三角形”的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识点，正确寻找全等三角形是解答本题的关键． 60．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据和即可求得答案． （2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 又， ∴． 故答案为：． （2），理由见解析． 如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．    ∵平分，， ∴． 同理可得． ∴． ∴平分． ∴． 又， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键． 1．到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 2．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于，如图：   是的角平分线，， ， ， 的面积为7， 的面积为， ， ， ， 故选：D． 3．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 解：∵为的平分线，于，于， ∴． ∵的面积是，，， ∴， ∴， ． 故选：A． 4．如图，的三边，，的长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是学会利用角平分线添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．过点作于点，作于点，作于点．根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点． 又∵，，是的三条角平分线， ∴， ∵，，的长分别是，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 5．如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了是角的平分线的判定定理在实际生活中的应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解，掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点， 故选：． 6．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．如图，是的角平分线，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点在角的两边距离相等；过点D作于E，则，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； 故答案为：18． 8．点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短．过作于，根据角平分线的性质得出，再根据垂线段最短得出即可． 【详解】解：过作于， ，，平分， ， 点到边的距离等于10， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查主要考查角平分线的性质，作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．如图，在中，为中点，，，交于，，，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，由垂直平分线的性质，角平分的性质定理得到，，可证，得到，再证，得到，则有，解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵为中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：10 ． 11．如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 12．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 13．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， 解得． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． (1)求的度数． (2)若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和解题即可； （2）过点P作于E，根据角平分线的性质得到，然后计算解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点P作于E， ∵， ∴， ∵∵∥CD， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，，平分，已知，，求的面积．    【答案】 【分析】过点D作交于点E，然后根据角平分线性质可知，进而计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质． 16．如图，在中，，，点D是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求k的值． (1)为边上的中线． (2)为的平分线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2） 过点作于点, 于点,根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵为边上的中线, ， ， ， ， （2）如图, 过点作于点, 于点, ∵为的平分线， ， ，, ， ， ， ， 【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键. 17．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 18．如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的长，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分；    （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$