专题03全等三角形性质与判定与应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题03全等三角形性质与判定及应用暑假预习讲义 · 理解全等图形、全等三角形的概念，能准确找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，会利用性质进行简单线段、角度计算。 · 熟记全等三角形的符号书写规范，书写时做到对应顶点顺序对齐；能根据图形平移、翻折、旋转快速识别全等三角形对应元素。 · 自主预习四种三角形全等判定基本事实：SSS、SAS、ASA、AAS，分清每种判定的条件要求，明确 SSA 不能判定三角形全等，能区分判定定理之间的区别。 · 会结合图形根据已知条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等；能结合公共边、公共角、对顶角相等挖掘图形隐含条件。 · 初步看懂简单全等证明书写步骤，能分清已知、求证、推理过程，尝试标注每一步推理依据；标记看不懂的判定辨析、证明逻辑难点，课堂重点突破。 · 提前梳理易混易错点：区分判定条件，牢记两边及其中一边对角无法判定全等，规范书写全等对应顶点顺序。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 2.全等三角形的性质 3.全等三角形的判定 4.已知三边作三角形 5.全等三角形证明标准书写格式 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.图形的全等 2.全等三角形的概念 3.全等三角形的性质 4.尺规作图-作三角形 5.用SSS证明三角形全等 6.全等的性质和SSS综合 7.用SAS证明三角形全等 8.用SAS间接证明三角形全等 9.全等的性质和SAS综合 10.用ASA(AAS)证明三角形全等 11.全等的性质和ASA(AAS)综合 12.网格全等图形求角度和 13.添加条件使三角形全等 14.灵活选用判定方法证全等 15.结合尺规作图的全等问题 16.倍长中线模型 17.全等三角形综合问题 强化题型 解答题13题 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 知识点03:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:全等三角形证明标准书写格式 1.准备条件：利用已知、中点、角平分线、平行等推出边 / 角相等； 2.书写框架： 3.后续推导：由全等得对应边相等、对应角相等。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型1.图形的全等 【典例】如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    【跟踪专练1】在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【跟踪专练2】如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【跟踪专练3】如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 题型2.全等三角形的概念 【典例】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【跟踪专练1】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【跟踪专练3】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型3.全等三角形的性质题型 【典例】已知图中的两个三角形全等，则的度数是________． 【跟踪专练1】如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，，，，点D恰好落在线段上，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 题型4.尺规作图-作三角形 【典例】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【跟踪专练2】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【跟踪专练3】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 题型5.用SSS证明三角形全等 【典例】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是______． 【跟踪专练1】如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【跟踪专练3】如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 题型6.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，，，，则____________． 【跟踪专练1】如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【跟踪专练3】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型7.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【跟踪专练1】下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型8.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【跟踪专练3】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 题型9.全等的性质和SAS综合 【典例】如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【跟踪专练1】利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【跟踪专练3】如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 题型10.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【跟踪专练1】如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【跟踪专练3】如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 题型11.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【跟踪专练2】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是______． 【跟踪专练3】如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 题型12.网格全等图形求角度和 【典例】如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中， _____________． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型13.添加条件使三角形全等 【典例】如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 【跟踪专练1】如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【跟踪专练3】如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 题型14.灵活选用判定方法证全等 【典例】判定两个三角形全等的方法错误的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【跟踪专练2】如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 题型15.结合尺规作图的全等问题 【典例】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【跟踪专练1】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【跟踪专练3】下列各条件不能作出唯一直角三角形的是(   ) A．已知两直角边 B．已知两锐角 C．已知一直角边和它们所对的锐角 D．已知斜边和一直角边 题型16.倍长中线模型 【典例】在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】若的三边长分别为、、，且、满足，第三边上的中线长为，则的取值范围是_______． 【跟踪专练3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型17.全等三角形综合问题 【典例】下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形面积一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【跟踪专练1】如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 解答题 1．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 2．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 3．已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 4．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 5．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 6．如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 7．如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 8．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 9．如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 10．已知：如图，点E，D分别在边，上，与相交于点O，连接，，．求证：． 11．如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 12．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 13．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形性质与判定及应用暑假预习讲义 · 理解全等图形、全等三角形的概念，能准确找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，会利用性质进行简单线段、角度计算。 · 熟记全等三角形的符号书写规范，书写时做到对应顶点顺序对齐；能根据图形平移、翻折、旋转快速识别全等三角形对应元素。 · 自主预习四种三角形全等判定基本事实：SSS、SAS、ASA、AAS，分清每种判定的条件要求，明确 SSA 不能判定三角形全等，能区分判定定理之间的区别。 · 会结合图形根据已知条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等；能结合公共边、公共角、对顶角相等挖掘图形隐含条件。 · 初步看懂简单全等证明书写步骤，能分清已知、求证、推理过程，尝试标注每一步推理依据；标记看不懂的判定辨析、证明逻辑难点，课堂重点突破。 · 提前梳理易混易错点：区分判定条件，牢记两边及其中一边对角无法判定全等，规范书写全等对应顶点顺序。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 2.全等三角形的性质 3.全等三角形的判定 4.已知三边作三角形 5.全等三角形证明标准书写格式 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.图形的全等 2.全等三角形的概念 3.全等三角形的性质 4.尺规作图-作三角形 5.用SSS证明三角形全等 6.全等的性质和SSS综合 7.用SAS证明三角形全等 8.用SAS间接证明三角形全等 9.全等的性质和SAS综合 10.用ASA(AAS)证明三角形全等 11.全等的性质和ASA(AAS)综合 12.网格全等图形求角度和 13.添加条件使三角形全等 14.灵活选用判定方法证全等 15.结合尺规作图的全等问题 16.倍长中线模型 17.全等三角形综合问题 强化题型 解答题13题 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 知识点03:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:全等三角形证明标准书写格式 1.准备条件：利用已知、中点、角平分线、平行等推出边 / 角相等； 2.书写框架： 3.后续推导：由全等得对应边相等、对应角相等。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型1.图形的全等 【典例】如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 【跟踪专练1】在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形. A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形. B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形. C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形. D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形. 【跟踪专练2】如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 题型2.全等三角形的概念 【典例】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【跟踪专练1】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 【跟踪专练3】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型3.全等三角形的性质题型 【典例】已知图中的两个三角形全等，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等，即可得到的度数． 【详解】解：是和的夹角， ． 【跟踪专练1】如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：△△，，， ． 【跟踪专练2】如图，，，，点D恰好落在线段上，则的度数为________． 【答案】 【分析】由，可得，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 题型4.尺规作图-作三角形 【典例】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 【跟踪专练1】已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 【跟踪专练2】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 题型5.用SSS证明三角形全等 【典例】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是______． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 【跟踪专练3】如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 题型6.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，，，，则____________． 【答案】/20度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】 /25度 【详解】解：在 与 中， ， 设 与 相交于点 ， 在 中， ， 在 中，， ， ， ， 【跟踪专练3】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 题型7.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 【跟踪专练1】下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 【跟踪专练2】如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 题型8.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 题型9.全等的性质和SAS综合 【典例】如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可 【详解】解：∵ ∴； 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，，，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，点D是线段的中点， ，， ， 是锐角为的直角三角板， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两三角形面积相等，得为的底边的中线，证明，得，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 题型10.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 【跟踪专练1】如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 【跟踪专练2】如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 【详解】，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 【跟踪专练3】如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 题型11.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，则可得，，进而可解答． 【详解】解：∵、是的高， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ∴， ． 故答案为：7． 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【详解】解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 【跟踪专练2】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是______． 【答案】/米 【分析】直接利用已知结合得出，进而得出． 【详解】解： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 【答案】 【分析】①根据角平分线的定义以及三角形的内角和即可求解；②延长，过点作交延长线与点,证明，根据线段的比例关系可知，根据面积构造方程即可知的长度，进而即可求解． 【详解】解：①∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ②延长，过点作交延长线与点, ∵, ∴, ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴, ∴, 解得：, ∴． 题型12.网格全等图形求角度和 【典例】如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中， _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 题型13.添加条件使三角形全等 【典例】如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 【答案】（或或） 【分析】根据三角形全等的判定方法有，，和四种，本题中已知的条件是一组边和一组公共角，则可添加一个角或一条边就可以得到三角形全等． 【详解】解：①添加， 在和中， ∴； ②添加， 在和中， ∴； ③添加， 在和中， ∴． 【跟踪专练1】如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 【跟踪专练2】如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，可利用“角边角”证明，故本选项不符合题意； B、添加，可得可利用“边角边”证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边角”，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用“角角边”证明，故本选项不符合题意； 题型14.灵活选用判定方法证全等 【典例】判定两个三角形全等的方法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 任意三角形全等的判定方法包括，，，，这些方法可用于判定三角形全等，直角三角形还有专属判定方法， 即两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，因此是错误的判定方法． 【跟踪专练1】如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 【跟踪专练2】如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 【答案】 用直尺测量出斜边和一条直角边的长度 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，具体涉及 “斜边、直角边” 判定定理，掌握该定理是解题的关键． 通过测量原直角三角形瓷砖的斜边和一条直角边长度，得到 “能定制出与原瓷砖完全相同的直角三角形瓷砖” 的结论，即可解决问题． 【详解】解：假设原三角形为，要定制的三角形为，           用直尺测量、的长，使得， ∵在和中， ∴． 故答案为：①用直尺测量出斜边和一条直角边的长度， ②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 题型15.结合尺规作图的全等问题 【典例】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 【跟踪专练1】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【跟踪专练3】下列各条件不能作出唯一直角三角形的是(   ) A．已知两直角边 B．已知两锐角 C．已知一直角边和它们所对的锐角 D．已知斜边和一直角边 【答案】B 【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定． 【详解】解：A．已知两条直角边和直角，可根据“”作出唯一直角三角形，故A选项错误； B．已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形，故B选项正确； C．已知一直角边和直角边所对的锐角，可根据“”或“”作出唯一直角三角形，故C选项错误； D．已知斜边和一直角边，可根据“”作出唯一直角三角形，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．全等三角形的判定定理有：、、、、（直角三角形）． 题型16.倍长中线模型 【典例】在中，是边上的中线，，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，中线，正确作出辅助线是解题的关键． 延长到，使，连接，证明三角形全等，推出，在三角形中，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在中，根据三角形三边关系， 有， 即， ∴， 因此． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 【跟踪专练2】若的三边长分别为、、，且、满足，第三边上的中线长为，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性，完全平方公式因式分解，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，根据非负数的性质可得 ，设，，，延长到，证明三角形全等，进而根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵， ∴ 解得： 如图，设，， 延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 在中，有， 即， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 题型17.全等三角形综合问题 【典例】下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形面积一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为3、3、3，另一个三角形的三边长为2、3、4，但是这两个三角形不全等， ∴原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形面积一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 解答题 1．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 2．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹． (1)在图中，作出与全等的格点三角形； (2)在图中，找出的重心点． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所求（答案不唯一）， (2)解：如图，点即为所求， 【分析】（1）在网格图中，作出，通过即可得三角形与全等； （2）根据三角形的重心为三条中线的交点，先取的中点与点连接，再取的中点与点连接，两条线段的交点即可为重心． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 4．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 5．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等，理由如下： ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【分析】先证，得，，再根据角度的和差即可解答． 【详解】略 7．如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 8．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形如下： (2)①证明：， ． ， ， ， ， ．                                                                          在和中， ， ， ；                                     ②关系：；                                         证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 9．如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，再利用得出． 【详解】证明：略． 10．已知：如图，点E，D分别在边，上，与相交于点O，连接，，．求证：． 【答案】证明：，， ， ，， ， ． 【分析】根据三角形外角的性质得到，证明，可知． 【详解】略． 11．如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【答案】解：①添加， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ②添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ③添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ④添加为的角平分线， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 为的角平分线， ， 在和中， ， ． 【分析】①添加，利用角角边证明三角形全等；②添加点为中点，利用边角边证明三角形全等；③添加点为中点，利用边边边证明三角形全等；④添加为的角平分线，利用角边角证明三角形全等． 【详解】略 12．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 13．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $