专题05 线段垂直平分线的性质（2知识点+7大题型+2大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题05 线段垂直平分线的性质 （2知识点+7大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，垂直平分．若，则的长是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25·八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 知识点2：线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 【即时训练】 4．（2025·浙江舟山·二模）如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D． （2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：垂直平分线即为所求： （2）解：∵为的垂直平分线 ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ 5．（2025·浙江温州·一模）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线，与的交点就是所求点． 本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，结合，得到， 故点D为线段的垂直平分线与的交点就是所求点，如图， 则点D为所求作的点． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； （2）证明，再根据，求出即可． 【详解】（1）解：如图，线段的垂直平分线交于点P， ∴点P到点B、点C的距离相等， ∴点P即为所求； （2）解：由作图可知， ∴， ∵点P到直线、的距离也相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 【题型1 垂直平分线的基本概念】 1．到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 2．如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 3．如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴P在线段的垂直平分线上． 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，掌握到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 4．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①/1 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 5．M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【答案】 M N 【分析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上． 【详解】解：∵ ∴点M在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上． 故填M、N、AB． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 【题型2 垂直平分线的判定】 6．已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 7．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 8．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 9．如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 10．如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型3 利用垂直平分线的性质求角度】 11．如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据三角形外角性质得解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形外角性质，熟练掌握作图的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到， 故， 根据三角形外角性质得， 故选：C． 12．如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 13．如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握垂直平分线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 14．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由对顶角相等得，根据垂直平分线的定义得到， ，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 【题型4 利用垂直平分线的性质求长度】 16．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 17．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 18．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 19．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可得出结论． 【详解】解：交于点，交于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ． 故答案为：． 20．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型5 利用垂直平分线的性质解决面积问题】 21．如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 22．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（    ）    A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由线段的垂直平分线的定义得到，，根据三角形的面积计算即可得到答案． 【详解】解：连接，，    ∵的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，三角形的面积公式，掌握线段的垂直平分线的定义以及三角形的面积是解题的关键． 23．如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为 ．    【答案】6 【分析】先求出，再根据，计算即可. 【详解】∵平分，垂直平分， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，线段垂直平分线的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 24．如图，在中，是钝角，是的高，是的垂直平分线，分别交于．若恰好平分，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点C作CF⊥BE于F，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE=4，由角平分线的性质得到CF=CH=1，再根据公式求出的面积即可． 【详解】过点C作CF⊥BE于F， ∵是的垂直平分线， ∴BE=AE=4， ∵平分∠EBH，是的高， ∴CF=CH=1， ∴的面积=， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，熟记各性质定理是解题的关键． 25．如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用证明，再利用证明，从而可得，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为4， 的面积的面积， 的面积为8． 【题型6 线段垂直平分线的实际应用】 26．斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 【答案】该斜拉索桥符合修建规定，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用；证明是线段的垂直平分线，即可得到． 【详解】解：该斜拉索桥符合修建规定，理由如下， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 即两根斜拉索的长度相等． 27．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； (2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，求三角形面积： （1）证明垂直平分，即可得到； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）解；∵， ∴ ． 28．如图，网格中有1个四边形和2个三角形． (1)请你画出3个图形关于点O的中心对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，这个整体图形有 条对称轴，画出这个整体图形的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)4，作图见解析 【分析】本题借助于作图复习了轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称(轴对称)，这条直线就是对称轴． （1）根据轴对称图形的作法即可完成解答； （2）结合（1）中所得图形，根据轴对称的性质，找对称轴，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线即可得到对称轴的条数． 【详解】（1）画出中心对称图形如图； （2）这个整体图形有4条对称轴，画出这个整体图形的对称轴如图． 故答案为：4． 29．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的周长为； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，. ， . 的周长为， 的周长为 （2）解：是线段的垂直平分线， . ， . ， . 在和中， ， . 30．如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上．    (1)直接写出=________ (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹: ①请画出的中线和高． ②在线段右侧找到点，使得． ③过点F在的内部画一条射线，交于，使． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】（1）利用分割法求解即可． （2）①取格点，连接，，连接交于点，线段即为所求．取格点，连接交于点，线段即为所求．②利用数形结合的思想，作出，即可．③取格点，作射线交于点即可是等腰直角三角形）． 【详解】（1）解：． 故答案为8． （2）①如图，线段，线段即为所求． ②如图，即为所求． ③如图，射线即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型7 尺规作垂直平分线】 31．如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D． （2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：垂直平分线即为所求： （2）解：∵为的垂直平分线 ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ 32．如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，4 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． （2）结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （3）结合网格特征，因为，且点在线段上，据此即可作答． （4）结合网格特征以及垂线段的长度即为该点到线段的距离，据此即可作答． 【详解】（1）解：线段的垂线，如图所示： （2）解：线段的垂直平分线，如图所示； （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是, 故答案为：，4． 33．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 34．电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， 35．如图，已知点，在直线的同侧，，，垂足分别为、F． (1)在直线上求作一点，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 【答案】(1)作图见详解； (2)证明见详解． 【分析】本题考查了作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；也考查了三角形全等的判定． （1）作线段的垂直平分线，交直线l于点，点即为所求． （2）先证明，进而证明，得到，，进一步可证明． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交直线l于点，点即为所求． （2）证明：， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【拓展训练一 线段垂直平分线辅助线添加问题】 36．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接， ，，， ， ， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 37．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【答案】（1）见解析，知道就可知道的长；（2），见解析；（3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①补充如图，作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 38．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为即可得到结论； （）连接，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由， 连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 39．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，此时，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，连接，由三角形内角和定理可得，进而得到是线段的垂直平分线，即得，又由垂直平分得到，据此即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ，， ∴， ， 点为的中点， ， 是线段的垂直平分线， ， 垂直平分， ， ． 40．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 【拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合】 41．【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点，理由见解析；（3）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，有．作于点，由角平分线的性质可得，证得，即可求证； （3）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】（1）证明：， ． 又，平分， ． 为的中点， ， ． ， ． 又， 是的平分线； （2）解：为线段的中点； 理由：过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，如图， ， ． 作于点，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ， ， 为线段的中点； （3）解：在和中， ， ， 则， 同理可证，则， ． 又， ， ， ． 42．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)，；理由见解析 【分析】（1）证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，得到，证明得出，，则．延长交于，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使，连接， ∵是边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图2所示，延长至点，使，连接、， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）解：，．理由如下： 如图3所示，延长至，使，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义，三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的关系等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 43．（1）阅读理解： 如图①，在中，若， ，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法： 延长至点E，使，连接 在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接， 求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3）线段，，之间的数量关系为，理由见详解 【分析】（1）延长至点E，使，连接．根据可得，则可得．在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围，则可得的取值范围； （2）延长至G，使，连接，．根据证明，则可得．根据线段垂直平分线的性质可得．在中，根据三角形三边之间的关系可得，进而可得． （3）延长至G，使，连接．根据可得，则可得，．由，可得．根据可得，则可得． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接， ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ． （2）证明：如图，延长至G，使，连接，， ∵D是边上的中点， ∴， 又， ， ， ，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系，得 ， ． （3）解：线段，，之间的数量关系为，理由如下： 如图，延长至G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可； （2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论； （3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵为边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图2中，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）结论：，， 如图3，延长于，使得，连接，延长交于， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 45．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①20；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论； ②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论； （2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论． 【详解】（1）解：①，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20； ②，理由如下： 证明：如图1，连接， ， ∵点与点关于直线对称，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图2，在延长线上取点，使，连接， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题在三角形背景下考查旋转的相关知识，属于三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 1．在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若，，则点与点的距离是（    ） A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先求出，然后根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是垂直平分线， ∴， 即点与点的距离是， 故选：D． 2．如图，在中，，垂直平分交于点D，交于点E，若，则的周长为（    ） A．25 B．45 C．50 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， 即的周长为， 故选：C． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 4．有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上． 故选C． 5．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，并交的延长线于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设， 则，， ， 在中，． 故选：C． 7．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为:； 故答案为：14． 9．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 10．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 11．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ∴的周长， 即的周长为10， 故答案为：10． 12．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 13．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵，， ∴， ∴，，即是的中线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 14．如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，根据周长为13，可求出，根据的周长为19，可求出，即可求解． 【详解】解：因为垂直平分， 所以． 因为的周长为13， 所以． 所以，即． 因为的周长为19， 所以． 所以． 因为， 所以． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 【答案】26 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， △的周长为18， ， ， 的周长． 16．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． （2）证明，根据三角形内角和定理，构建关系式可得结论． 本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 17．如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可； 【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1） 知，，， ∵，， ∴，， ∴在和中， ∴ 18．在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）运用线段垂直平分线的性质解答即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：分别是边的垂直平分线，， ， 的周长， 的周长为12． （2）解：， ． 由（1）可得， ， ， ， 的度数为． 19．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 【答案】（1），；（2）①垂直平分；②见解析；（3） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，正确地理解筝形是解题的关键． （1）由，可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，； （2）①根据题意直接确定和时应满足的条件，即可；②根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：，； （2）①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分； 故答案为：垂直平分； ②证明：∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是个“筝形”； （3）∵四边形是筝形， ∴， ∴“筝形”风筝的面积的面积的面积 ． 20．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 线段垂直平分线的性质 （2知识点+7大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，垂直平分．若，则的长是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．（24-25·八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 知识点2：线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 【即时训练】 4．（2025·浙江舟山·二模）如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 5．（2025·浙江温州·一模）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【题型1 垂直平分线的基本概念】 1．到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 2．如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 3．如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 4．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 5．M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【题型2 垂直平分线的判定】 6．已知：如图，，点E在上，求证：． 7．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 8．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 9．如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 10．如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【题型3 利用垂直平分线的性质求角度】 11．如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为 ． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【题型4 利用垂直平分线的性质求长度】 16．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 17．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 18．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 19．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 20．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【题型5 利用垂直平分线的性质解决面积问题】 21．如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 22．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（    ）    A．9 B． C． D． 23．如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为 ．    24．如图，在中，是钝角，是的高，是的垂直平分线，分别交于．若恰好平分，则的面积是 ． 25．如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 【题型6 线段垂直平分线的实际应用】 26．斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 27．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    (1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； (2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积． 28．如图，网格中有1个四边形和2个三角形． (1)请你画出3个图形关于点O的中心对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，这个整体图形有 条对称轴，画出这个整体图形的对称轴． 29．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 30．如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上．    (1)直接写出=________ (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹: ①请画出的中线和高． ②在线段右侧找到点，使得． ③过点F在的内部画一条射线，交于，使． 【题型7 尺规作垂直平分线】 31．如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 32．如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 33．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 34．电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 35．如图，已知点，在直线的同侧，，，垂足分别为、F． (1)在直线上求作一点，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 【拓展训练一 线段垂直平分线辅助线添加问题】 36．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 37．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 38．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 39．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，此时，．求证：． 40．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合】 41．【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 42．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 43．（1）阅读理解： 如图①，在中，若， ，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法： 延长至点E，使，连接 在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接， 求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 44．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 45．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 1．在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若，，则点与点的距离是（    ） A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm 2．如图，在中，，垂直平分交于点D，交于点E，若，则的周长为（    ） A．25 B．45 C．50 D．55 3．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 4．有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 5．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，并交的延长线于点于点，若，则的长为（   ） A．2 B．2 C． D．3 6．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 9．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 10．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 11．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为 ． 12．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 13．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 14．如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 16．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 17．如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 18．在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 19．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______． 【知识应用】 秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周． （2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______． ②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”． 【应用拓展】 （3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积． 20．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$