专题0认识三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题01认识三角形暑假预习讲义 · 理解三角形两种分类依据，能依据角的大小区分锐角、直角、钝角三角形，依据边长区分不等边、等腰、等边三角形，准确说出各类三角形的特征；分清等腰三角形腰、底边、顶角、底角，理解等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 能根据三角形图形、边长或内角度数，分别从边、角两个标准判断三角形类型，规范画出各类三角形并标注关键部位。 · 结合三角形内角和 180° 简单推理：一个三角形最多只有一个直角或钝角，知晓等边三角形三内角均为 60°、等腰三角形两底角相等。 · 自主完成课本基础例题与分类练习题，理清两种分类体系的区别与联系，能简单说明三角形分类的判断依据。 · 预习梳理常见易错点，标记存疑知识点，课堂针对性听讲；能区分易混概念，明确等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 预习必备 知识梳理 1.三角形的概念与分类 2.三角形三边关系 3.三角形内角和定理 4.三角形的重要线段 5.三角形的重心 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.三角形的识别与概念 2.三角形的个数问题 3.与平行线有关的内角和问题 4.与角平分线有关的内角和问题 5.三角形中的折叠问题 6.三角形内角和定理的应用 7.三角形的分类 8.构成三角形的条件 9.确定第三边的取值范围 10.三角形三边关系的应用 11.三角形角平分线的定义 12.由三角形中线求长度 13.由三角形中线求面积 14.重心的概念 15.画三角形的高 16.与三角形高有关的计算 17.垂心 强化题型 解答题6题 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06：高频易错点 常见错误认知 正确结论 错误原因 等腰三角形一定是锐角三角形 等腰三角形可以是锐角、直角、钝角三角形（如等腰直角三角形、顶角 120° 的等腰钝角三角形） 只见过锐角等腰三角形，思维固化 等腰三角形和等边三角形是两类独立三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系，不能并列分类 不理解 “至少两边相等” 的定义 一个三角形可以同时有直角和钝角 三角形内角和 180°，直角 + 钝角＞180°，不可能同时存在 忽略内角和定理限制 所有三角形都有三条高，且全部在图形内部 钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部 只会画锐角三角形的高，不熟悉钝角三角形高的画法 角平分线是一条射线 三角形的角平分线是线段；单纯角平分线才是射线 混淆角平分线与三角形角平分线的定义 任意三角形都具备 “三线合一” 只有等腰三角形底边对应的高、中线、顶角平分线才三线合一，普通三角形无此性质 概念记忆不完整，扩大性质适用范围 判断三角形类型时，只能用一种分类标准 同一个三角形可同时按角、按边双重分类（例：等腰直角三角形，既是等腰又是直角三角形） 不清楚两套分类标准相互独立、互不冲突 题型1.三角形的识别与概念 【典例】在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【跟踪专练3】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型2.三角形的个数问题 【典例】如图，图中有_______个三角形． 【跟踪专练1】图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有_____条线段，以 为顶点的角有_____个，图中共有_____个三角形．      【跟踪专练3】如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 题型3.与平行线有关的内角和问题 【典例】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【跟踪专练1】如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，，则_____． 【跟踪专练3】如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 题型4.与角平分线有关的内角和问题 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，若，，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5.三角形中的折叠问题 【典例】如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 【跟踪专练1】如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型6.三角形内角和定理的应用 【典例】一个三角形的两个内角的度数分别是和，按角分类它是________三角形． 【跟踪专练1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 23．【跟踪专练1】如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2中的图形．若，则_____． 题型7.三角形的分类 【典例】在中，若，则此三角形是_______三角形 【跟踪专练1】如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【跟踪专练2】一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【跟踪专练3】下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型8.构成三角形的条件 【典例】现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【跟踪专练1】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【跟踪专练3】下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 题型9.确定第三边的取值范围 【典例】已知三角形的三边长分别为4，6，a．则a的长可能是_______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（   ） A．1 B．2 C．12 D．7 【跟踪专练2】已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【跟踪专练3】三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 题型10.三角形三边关系的应用 【典例】已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 【跟踪专练1】在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 【跟踪专练3】如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则_____________． 【跟踪专练1】如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【跟踪专练3】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型12.由三角形中线求长度 【典例】如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【跟踪专练2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【跟踪专练3】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 题型13.由三角形中线求面积 【典例】如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【跟踪专练2】如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 题型14.重心的概念 【典例】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则______． 【跟踪专练1】如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【跟踪专练3】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 题型15.画三角形的高 【典例】如图，中边上的高为___________． 【跟踪专练1】如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 题型16.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在三角形中，，，，，则点到的距离为__________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【跟踪专练2】在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【跟踪专练3】如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 题型17.垂心 【典例】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【跟踪专练1】如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 【跟踪专练2】如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 解答题 1．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 2．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 3．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 4．下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 5．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，求的长． 6．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01认识三角形暑假预习讲义 · 理解三角形两种分类依据，能依据角的大小区分锐角、直角、钝角三角形，依据边长区分不等边、等腰、等边三角形，准确说出各类三角形的特征；分清等腰三角形腰、底边、顶角、底角，理解等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 能根据三角形图形、边长或内角度数，分别从边、角两个标准判断三角形类型，规范画出各类三角形并标注关键部位。 · 结合三角形内角和 180° 简单推理：一个三角形最多只有一个直角或钝角，知晓等边三角形三内角均为 60°、等腰三角形两底角相等。 · 自主完成课本基础例题与分类练习题，理清两种分类体系的区别与联系，能简单说明三角形分类的判断依据。 · 预习梳理常见易错点，标记存疑知识点，课堂针对性听讲；能区分易混概念，明确等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 预习必备 知识梳理 1.三角形的概念与分类 2.三角形三边关系 3.三角形内角和定理 4.三角形的重要线段 5.三角形的重心 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.三角形的识别与概念 2.三角形的个数问题 3.与平行线有关的内角和问题 4.与角平分线有关的内角和问题 5.三角形中的折叠问题 6.三角形内角和定理的应用 7.三角形的分类 8.构成三角形的条件 9.确定第三边的取值范围 10.三角形三边关系的应用 11.三角形角平分线的定义 12.由三角形中线求长度 13.由三角形中线求面积 14.重心的概念 15.画三角形的高 16.与三角形高有关的计算 17.垂心 强化题型 解答题6题 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06：高频易错点 常见错误认知 正确结论 错误原因 等腰三角形一定是锐角三角形 等腰三角形可以是锐角、直角、钝角三角形（如等腰直角三角形、顶角 120° 的等腰钝角三角形） 只见过锐角等腰三角形，思维固化 等腰三角形和等边三角形是两类独立三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系，不能并列分类 不理解 “至少两边相等” 的定义 一个三角形可以同时有直角和钝角 三角形内角和 180°，直角 + 钝角＞180°，不可能同时存在 忽略内角和定理限制 所有三角形都有三条高，且全部在图形内部 钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部 只会画锐角三角形的高，不熟悉钝角三角形高的画法 角平分线是一条射线 三角形的角平分线是线段；单纯角平分线才是射线 混淆角平分线与三角形角平分线的定义 任意三角形都具备 “三线合一” 只有等腰三角形底边对应的高、中线、顶角平分线才三线合一，普通三角形无此性质 概念记忆不完整，扩大性质适用范围 判断三角形类型时，只能用一种分类标准 同一个三角形可同时按角、按边双重分类（例：等腰直角三角形，既是等腰又是直角三角形） 不清楚两套分类标准相互独立、互不冲突 题型1.三角形的识别与概念 【典例】在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 【跟踪专练3】如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 题型2.三角形的个数问题 【典例】如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：图中有6个三角形，分别是． 【跟踪专练1】图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【跟踪专练2】如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有_____条线段，以 为顶点的角有_____个，图中共有_____个三角形．      【答案】 【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形． 【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段； 以 为顶点的角 三角形有 上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个； 以 为顶点的角即组成对应的三角形． 故答案为：10，10，10． 【跟踪专练3】如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 题型3.与平行线有关的内角和问题 【典例】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【跟踪专练1】如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 【跟踪专练2】如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 【跟踪专练3】如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 题型4.与角平分线有关的内角和问题 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【跟踪专练1】如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 题型5.三角形中的折叠问题 【典例】如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，最后根据折叠的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 题型6.三角形内角和定理的应用 【典例】一个三角形的两个内角的度数分别是和，按角分类它是________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形的分类，根据三角形内角和定理计算出第三个内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：根据三角形内角和定理，第三个内角的度数为：， 有一个角为的三角形是直角三角形，因此该三角形是直角三角形． 【跟踪专练1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 23．【跟踪专练1】如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2中的图形．若，则_____． 【答案】 【分析】根据图1可求出的度数，则可求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图2所示，由图1得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型7.三角形的分类 【典例】在中，若，则此三角形是_______三角形 【答案】 直角 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再结合三角形按角分类的定义判断三角形的类型． 【详解】解：在中，由三角形内角和定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形． 【跟踪专练1】如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 【跟踪专练2】一个三角形三个内角的比是，这个三角形是________，最大内角是________． 【答案】 直角三角形 【分析】先计算三个内角的总份数，再根据三角形内角和为，按比例分配求出各内角的度数，根据最大内角的度数判断三角形类型． 【详解】解：计算总份数： ∵三角形内角和为， ∴计算每份对应角度： 分别计算三个内角度数： ∵最大内角为， ∴该三角形为直角三角形． 【跟踪专练3】下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为，结合直角三角形的定义，逐一计算每个条件中三角形的最大角，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：任意三角形内角和为，直角三角形有一个内角为， ①若， 代入得，解得， 是直角三角形； ②若， 则， 是直角三角形； ③若，变形得， 代入内角和公式得， 解得， 是直角三角形； ④若，变形得， 则 ， 是直角三角形； 综上，①②③④都能确定是直角三角形． 题型8.构成三角形的条件 【典例】现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【分析】先列举从4根木条中任取3根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，任写一种符合条件的组合即可． 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． 【跟踪专练1】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”，只需比较较短两边的和与最长边的大小，即可作出判断． 【详解】A、∵，∴三根木棒不能摆成三角形，不符合题意； B、 ∵，∴三根木棒不能摆成三角形，不符合题意； C、∵，∴三根木棒不能摆成三角形，不符合题意； D、∵，满足三角形三边关系，∴三根木棒能摆成三角形，符合题意． 【跟踪专练2】已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 【跟踪专练3】下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项C：三边均为，较小两边和为，，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意． 选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 题型9.确定第三边的取值范围 【典例】已知三角形的三边长分别为4，6，a．则a的长可能是_______．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，6，， ∴，即， ∴的长可能是5（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（   ） A．1 B．2 C．12 D．7 【答案】D 【分析】本题利用三角形三边关系定理，根据三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再判断符合范围的选项即可． 【详解】解：设第三边的边长为， ∵三角形已知两边长为5和7， ∴，即， 观察选项，只有选项D的7满足，故选D． 【跟踪专练2】已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 【跟踪专练3】三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 题型10.三角形三边关系的应用 【典例】已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 【答案】 （或，写出任意一个即可） 【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围，再结合第三边长为偶数的条件，即可得到符合要求的第三边长. 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系可得 ， 解得 ， 第三边的长为偶数， 或. 【跟踪专练1】在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设第三条边的长度为米， ∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得：． ∵25不在的范围内， ∴第三条边的长度不可能是25米． 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 【答案】9 【分析】三角形周长为，将三个已知等式左右分别相加，可得到，整体除以2即可直接求出周长，无需单独解出、、． 【详解】解：由题意列方程组： ， 将三式左右两边分别相加： ， 整理得： ， 提取公因数： ， 等式两边同时除以： ， 三角形周长为三边长度之和，因此该三角形周长为． 【跟踪专练3】如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 题型11.三角形角平分线的定义 【典例】如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，熟练掌握三角形的三条角平分线交于一点是解题的关键．利用三角形的三条角平分线交于一点得出平分，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 【跟踪专练2】在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 【跟踪专练3】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 题型12.由三角形中线求长度 【典例】如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 题型13.由三角形中线求面积 【典例】如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 【跟踪专练1】如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 【答案】2 【分析】连接，根据E是边上的点且，求出，再结合D是的中点，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵E是边上的点且， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出，再求出，然后求出，由此即可得． 【详解】解：∵的面积是1，且， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵在中，是中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型14.重心的概念 【典例】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则______． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形的重心的概念是解题关键．根据三角形的重心可得和都是的中线，则，，代入计算即可得． 【详解】解：∵点是的重心， ∴和都是的中线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 【跟踪专练2】如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 【跟踪专练3】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 题型15.画三角形的高 【典例】如图，中边上的高为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：根据三角形的高的定义可知中边上的高为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 题型16.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在三角形中，，，，，则点到的距离为__________． 【答案】 【分析】设点到的距离为，根据，即可求解． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即点到的距离为． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 【跟踪专练2】在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练3】如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 题型17.垂心 【典例】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：∵锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． ∴若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．熟练掌握三角形的高是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 【答案】90° 【分析】根据三角形高的定义和三角形的垂心定义以及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点， ∴点O为三角形ABC的垂心， ∵连接AO并延长交BC于点F． ∴AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查的是垂线的概念，掌握三角形三条边上的高线相交于一点是解决本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 解答题 1．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 2．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 3．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 4．下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【详解】略 5．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）利用等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴． 6．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $