专题02 定义、命题与证明（3知识点+8大题型+1大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题02 定义、命题与证明 （3知识点+8大题型+1大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+1大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题； B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题； C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题； D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．三角形的三条高交于一点 C．三角形有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形 D．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据三角形外角的性质，三角形的高，三角形的分类，三角形角平分线逐项判断即可． 【详解】解：A． 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项的命题是假命题； B． 钝角三角形的三条高不交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故本选项的命题是假命题； C． 任意一个三角形至少有一个角是锐角，故本选项的命题是假命题； D． 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，故本选项的命题是真命题． 故选：D 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 【答案】②③④ 【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘方，余角的性质，平行线的判定和平面内两直线的位置关系逐一判断解答即可． 【详解】解：①若，则，大小不确定，原说法是假命题； ②同旁内角互补，两直线平行，是真命题； ③等角的余角相等，是真命题； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种，是真命题； 故答案为：②③④． 知识点2：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质，解决此题的关键是掌握这些基本性质，即可快速解决这类题型． 根据实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、该选项的逆命题是：两个实数，如果它们的绝对值相等，那么这两个实数相等； 例如：，故本选项错误，不符合题意； B、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角； 不一定是直角，故本选项错误，不符合题意； C、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； D、该选项的逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 6．（23-24·八年级上·浙江湖州·阶段练习）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 知识点3：证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 【即时训练】 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【答案】C 【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可． 【详解】解：A、∵不能同时点M和N， ∴选项A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴选项B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴选项C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． ∴选项D不符合点菜规则； 故选：C． 8．（23-24·八年级上·浙江衢州·阶段练习）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　） A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙 【答案】C 【分析】根据大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走和条件（3）可知，案犯显然不是乙；根据条件（1）可知作案对象一定在甲、丙中间，或两人都是嫌犯．由（2）得，若丙作案，那么甲必作案，但是没有证据能够直接证明丙一定作案，所以嫌疑犯必是甲． 【详解】解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯； 根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间； 由（2）知：若丙作案，则甲必作案； 由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯． 故选C． 【点睛】本题考查了推理与证明，解决问题的关键是读懂题意，能够运用排除法分析解决此类问题． 9．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题． 【答案】见详解 【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作，利用，可得，而，利用等量代换可证． 【详解】解：已知：如图，， 求证：， 证明：过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴． 即知三角形内角和等于． 【点睛】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明． 【题型1 判断是否是命题】 1．下列语句中，是命题的有 （填序号）． ①你的判断正确吗？ ②长方形的四个角都是直角； ③古朴厚重的建筑； ④2与3的和等于4； ⑤如果，，那么． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查命题与定理．根据命题是判断一件事情的语句，逐项判断即可． 【详解】解：你的判断正确吗？不是命题，故①不符合题意； 长方形的四个角都是直角，是命题，故②符合题意； 古朴厚重的建筑，不是命题，故③不符合题意； 2与3的和等于4，是命题，故④符合题意； 如果，，那么，是命题，故⑤符合题意； ∴是命题的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 2．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 3．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 4．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 5．下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ． 像这样判断一件事情的语句，叫作 ． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题． 【答案】 判断 命题 命题 不是 【题型2 判断命题真假】 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两个锐角的和是钝角 B．邻补角互补 C．相等的角是对顶角 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题，根据据平行线性质，邻补角定义，对顶角定义及角的分类逐一判断即可，解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义及对顶角的定义等知识 【详解】解：A、两个锐角的和可能为锐角、直角或钝角，原选项是假命题，不符合题意； B、邻补角定义为相邻且和为的两个角，因此一定互补，原选项是真命题，符合题意； C、对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线的同位角），原选项是假命题，不符合题意； D、仅当两条直线平行时，内错角才相等，原选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 7．命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题的判断，解题关键是熟悉对顶角的性质，垂直及平行线的性质及判定． 根据对顶角的性质可判断①③，根据垂直的性质可判定②，根据平行线的性质可判断④． 【详解】解：由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题； 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确，是真命题； 由反例“角平分线分成的两个角相等”，但它们不是对顶角，故③错误，是假命题； 由“两直线平行，同位角相等”，前提是两直线平行，同位角才能相等，故④错误，是假命题． 故选：C． 8．命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了有理数的乘法法则、命题，根据有理数的乘法法则可知：，所以命题“如果，都是负数，那么”是假命题． 【详解】解：，都是负数， ，， 根据有理数的乘法法则可得：， 命题“如果，都是负数，那么”是假命题． 故答案为：假． 9．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】①两直线平行，同位角相等，原命题是真命题，不符合题意； ②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，原命题是真命题，不符合题意； ③同角的余角相等，原命题是真命题，不符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； ⑤两点确定一条直线，原命题是真命题，不符合题意． 故答案为：④ 10．1．下列语句是不是命题？如果是命题，指出其是真命题还是假命题． （1）画的平分线．          （2）对顶角相等吗？ （3）直角都相等．                （4）如果，那么． （5）延长线段．              （6）长方形的四个角都是直角． 【答案】（1）（2）（5）不是命题，（3）（6）是真命题，（4）是假命题 【分析】本题主要查了命题的定义以及判断命题的真假． 根据命题的定义，直角都相等等逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）画的平分线，不是命题．           （2）对顶角相等吗？不是命题． （3）直角都相等，是真命题．                 （4）如果，那么，是假命题．     （5）延长线段，不是命题．               （6）长方形的四个角都是直角，是真命题． 【题型3 举例说明假（真）命题】 11．对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可． 【详解】解：当，时，，而成立，故A选项不符合题意； 当，时，，而成立，故B选项不符合题意； 当，时，，但不成立，故C选项符合题意； 当，时，不成立，故D选项不符合题意； 故选：C． 12．判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，即可进行判断． 【详解】解：∵． 当时，此时“若，则”是真命题； 当时，，若，则，此时命题“若，则”是假命题． 故选：B． 13．用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举例判断命题，理解题意举出恰当的例子是解题的关键．根据题意只需要举例令的值满足，但不满足即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 当时，可以说明“若，则”是错误的． 故答案为：（答案不唯一）． 14．要通过举反例说明“如果，那么”是错误的，请写出一组的值： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查举反例，根据题意，举出一组反例即可. 【详解】解：当，时，， ∴， ∴， 故如果，那么”是错误的； 故的值可以为， 故答案为：，（答案不唯一） 15．说明下列命题是假命题． (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等； (3)如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可； （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可； （3）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】（1）解：当时，满足，但不成立 ∴原命题是假命题； （2）解：如图， 为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． ∴原命题是假命题； （3）如图所示， 的两边分别与的两边互相平行 ∴此时这两个角的关系为互补 ∴原命题是假命题． 【题型4 写出命题的题设与结论】 16．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 17．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②、④是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；结论是两个角相等，故④正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误； 综上所述判断正确的为：①②④，共3个， 故选：B． 18．请把命题“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，根据命题的前面内容是题设，命题的后面内容是结论，进行作答， 【详解】解：依题意，如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等， 故答案为：如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等 19．如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．黑板上写有3个命题： ①若，则； ②若是有理数，则； ③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______； (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 【答案】(1)①，， (2)②当时，， ③当，时，与都是锐角， 【分析】本题主要考查了命题的判定，掌握相关知识的运算，命题真假的判定是关键． （1）根据平方，绝对值的性质，锐角、钝角的数量关系判定即可； （2）根据命题的特点分别举出反例即可． 【详解】（1）解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：； 若是有理数，则不一定成立，是假命题； 若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题； 故答案为：①，，； （2）解：反例： ②当时，，； ③当，时，与都是锐角，． 【题型5 证明】 21．一张小凳子的结构如图所示，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 22．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 【答案】已知；三角形高的定义；三角形外角的性质 【分析】根据三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质得到，则． 【详解】证明：∵、是的两条高线（已知）， ∴（三角形高的定义） ∵（三角形外角的性质）， ∴． ∴， 故答案为：已知；三角形高的定义；三角形外角的性质． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． 23．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 24．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据三角形内角和定理可得==，进而即可得到结论． 【详解】证明：∵在中，，， ∴==， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的判定，掌握三角形内角和定理是关键． 25．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义 【分析】先证明得到，根据垂直的定义得到，则，即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴（垂直的定义） ∴， ∴（垂直的定义）， 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 【题型6 写出命题的逆命题】 26．下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意知，A中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求； B中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求； C中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求； D中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求； 故选：C． 27．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 28．写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)如果，那么． 【答案】(1)如果，那么．原命题与逆命题都是假命题 (2)如果，那么，原命题是真命题，逆命题是假命题 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，解题关键是写出原命题的逆命题． （1）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； （2）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足， 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （2）解：如果，那么，这是真命题， 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足． 29．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 原命题是真命题，逆命题是假命题； （2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”， 原命题是假命题，逆命题是假命题； （3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”， 原命题是假命题，逆命题也是假命题． 30．说出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)如果两个角是锐角，那么这两个角相等； (2)全等三角形的对应边相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是锐角．不成立 (2)逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形．成立 (3)逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．成立 【分析】本题主要考查逆命题，真假命题的判定，掌握逆命题的结构，真假命题的判定方法是关键． （1）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解； （2）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解； （3）找出题设和结论，根据逆命题的书写规范即可求解． 【详解】（1）解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是锐角，不成立． （2）解：逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形，成立． （3）解：逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立． 【题型7 互逆命题】 31．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 32．下列定理中没有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利于平行线的判定、角平分线的判定、对顶角的性质及直角三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项符合题意； B、逆命题为：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，是定理，故本选项不符合题意； C、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是定理，故本选项不符合题意； D、逆命题为：有两个角互余的三角形是直角三角形，是定理，故本选项不符合题意； 故选：A 33．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是掌握命题与逆命题，定理与逆定理的概念和它们的关系．根据命题与逆命题，定理与逆定理的概念逐项判断． 【详解】解：A、任何一个命题都有逆命题，故该选项正确； B、原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题，故该选项错误； C、不一定每个定理都有逆定理，故该选项错误； D、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故该选项错误； 故选：A． 34．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 35．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【题型8 定理与证明】 36．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 37．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 38．下面关于定理的说法正确的是（　　） A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明 C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明 【答案】ACD 【分析】利用定理的定义和基本事实的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、基本事实和定理都是真命题，正确，符合题意； B、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，故错误，不符合题意； C、基本事实和定理都可以作为推理论证的依据，正确，符合题意； D、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，正确，符合题意， 故选择ACD. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理，熟练掌握相关基本概念是解题的关键． 39．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 40．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到. 【拓展训练 证明解答题】 41．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 【答案】不是真命题 【分析】对于命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题，可以举出反例进行判断． 【详解】解：当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11， 当时，代数式=，17是质数； 而对于所有自然数，式子的值不一定是质数 如当时，，25不是质数． 故当时，代数式的值都是质数，对于所有的自然数n,代数式的值不一定是质数． 故命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”不是真命题 【点睛】此题考查了代数式求值，命题的真假．此题难度适中，注意掌握举反例法的应用是解此题的关键． 42．如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 【答案】直线a，b，c，d都互相平行，理由见解析 【分析】根据平行公理证明即可． 【详解】解：直线a，b，c，d都互相平行，理由如下： ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行于同一直线的两条直线平行是解题的关键． 43．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由． ①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②小仁发现：2016是“神秘数”． 提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分． 【答案】（1）是，证明见解析；（2）①由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. 证明见解析；②2016是“神秘数”是假命题,证明见解析. 【分析】对于（1）结合神秘数的定义，看是否可以将28写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； (2) 对于①，两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数； 对于②，结合神秘数的定义，看是否可以将2016写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； 【详解】（1）28是“神秘数”,理由如下： ∵28=82-62 ∴28是“神秘数” （2）当选择①时，(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. ②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题, 理由: = =8k+4, 令8k+4=2016，得k=251.5, ∵k为须整数, ∴k=251.5不符合实际，舍去, ∴201 6是“神秘数"错误. 【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 44．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．   （2）阅读材料并回答问题：   如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）过A点作MN∥BC，根据平行线的性质及平角的定义解答. （2）结合三角形的内角和与平角的定义求解即可. 【详解】（1）过A点作MN∥BC， ∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C (同位角相等) ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180° ∴三角形的内角和为180° （2）如图： ∵∠ACD+∠ACB=180°，∠EAF+∠BAC=180°，∠FBC+∠ABC=180° ∴∠ACD+∠ACB+∠EAF+∠BAC+∠FBC+∠ABC=540° ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180° ∴∠ACD+∠EAF+∠FBC=360° 即三角形的外角和等于360° 【点睛】本题考查的是三角形的内角和及外角和的证明，熟练的掌握平行线的性质及平角的定义是关键. 45．定义：如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b= d(n). （1）根据劳格数的定义，可知d(10)=1，d(102)=2，直接写出 d(103)的值. （2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d(mn)= d(m)+ d(n)；d()= d(m)- d(n). 根据运算性质，求：，若 ，直接写出，的值. （3）下表中与数x对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数并改正. 1.5 3 5 6 8 9 12 27 【答案】（1）3；（2）-5，0.954，-0.523；（3）d(1.5)和d(12)的值是错误的，应改正为d(1.5)=3a-b+c-1,d(12)=2-b-2c. 【分析】（1）根据新定义可以得到本问的答案； （2）根据若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d()= d(m)- d(n)，可以解答本题； （3）根据第二问的运算性质可以解答本题，关键是灵活变活，运用反证法说明哪些数据是正确的，从而可以得到哪两个数据是错误的，然后进行纠正即可． 【详解】（1）3； （2）-5，0.954，-0.523.： 【点睛】本题考查有理数的混合运算、反证法，关键是根据已知推理论证． 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了假命题，平行线的性质与判定，对顶角相等，两点之间，线段最短，错误的命题是假命题，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对顶角相等，故该选项不符合题意； B、两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，故该选项不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故该选项符合题意； 故选：D． 2．能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质， 根据时，判断是否成立即可解答． 【详解】解：当时，，所以该命题是假命题． 故选：C． 3．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 4．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 5．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 6．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假和逆命题，熟练掌握等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、全等三角形的性质是解题的关键． 根据不等式的性质、有理数的加法、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，为假命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ②若，则，为真命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ③三个内角相等的三角形是等边三角形，为真命题 逆命题为：等边三角形的三个内角相等，为真命题 故符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形全等，为假命题 逆命题为：如果两个等腰三角形全等，那么他们的底角相等，为真命题 故不符合题意； 故选D． 7．把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为： ． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理，根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则如果后面是题设，那么后面是结论，即可得出答案． 【详解】解：把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 8．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对①进行判断；根据有理数的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断． 【详解】解：直角都相等，所以①正确； 若且，则，所以②正确； 一个角的补角不一定大于这个角，所以③错误． 故答案为①②． 9．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 人． 【答案】100 【分析】本题考查了推理与论证，因为是求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，根据体重和身高两个条件找出答案即可． 【详解】解：取100个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就是最轻者，次高者同时也就是次轻者，…， 第高者同时也就是第轻者， 显然这100个小伙子都是棒小伙子． 故答案为：100． 11．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是 ．（只填写序号） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】先判断原命题的真假，再写出原命题的逆命题，然后根据不等式的性质、绝对值的意义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质对个选项进行判断． 【详解】解：①若，则， ∵当时，，此时，所以此命题为假命题；它的逆命题为若，则，∵当时，此时，此时，∴所以此逆命题为假命题； ②若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，∵当时，则或，∴此逆命题为假命题； ③等边三角形的三个内角都相等，此命题为真命题；它的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题； ④底角相等的两个等腰三角形全等，∵底边不一定相等，∴此命题为假命题；它的逆命题为全等的两个等腰三角形的底角相等，此逆命题为真命题； ⑤直角三角形的两锐角互余，此命题为真命题；它的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题为真命题． 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，以及逆命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 13．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可. （1）根据命题内容即可求解； （2）根据命题内容即可求解； 【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为，那么这个三角形是等边三角形． 题设：一个三角形中有两个角为； 结论：这个三角形是等边三角形． （2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2． 题设：两个数是连续的偶数； 结论：这两个数相差2． 14．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等； （2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和； （3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等． 15．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 【答案】已知；三角形高的定义；三角形外角的性质 【分析】根据三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质得到，则． 【详解】证明：∵、是的两条高线（已知）， ∴（三角形高的定义） ∵（三角形外角的性质）， ∴． ∴， 故答案为：已知；三角形高的定义；三角形外角的性质． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． 16．写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握命题的有关概念是解题的关键． （1）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （2）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （3）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （4）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可． 【详解】（1）解：两直线平行，内错角相等（答案不唯一）； （2）解：相等的角是对顶角（答案不唯一）； （3）解：所有直角都相等（答案不唯一）； （4）解∶内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）． 17．如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，垂直的性质等知识点， (1)可以把前两个条件作为题设，第三个条件作为结论，即可得解； (2)由于，得到，利用平行线的性质得到，进而可得到，即有； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如果，，，那么． （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 18．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 【答案】(1)可以组成三个命题，①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么． (2)见解析 【分析】（1）依据题意，一共能组成3个命题； （2）选择命题①如果，，那么；可根据“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”来写出证明过程即可． 【详解】（1）解：可以组成三个命题， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； （2）选择命题①如果，，那么； 证明如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 19．对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． (1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)1908或1919 (3)是假命题，见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，真假命题的判定，二元一次方程的整数解的含义； （1）根据稳定数的定义可得答案； （2）设十位数字为，个位数字为，根据题意，得，可得，再进一步求解即可； （3）举反例可得：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039，可得四位数5039不是稳定数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴2025不是稳定数； （2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得 ∴或 所求的稳定数为1908或1919． （3）解：是假命题，反例如下： 四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039 然而四位数5039不是稳定数 “两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题 20．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 定义、命题与证明 （3知识点+8大题型+1大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+1大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．三角形的三条高交于一点 C．三角形有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形 D．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 知识点2：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24·八年级上·浙江湖州·阶段练习）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 知识点3：证明 1.证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式 证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 【即时训练】 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 8．（23-24·八年级上·浙江衢州·阶段练习）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　） A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙 9．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题． 【题型1 判断是否是命题】 1．下列语句中，是命题的有 （填序号）． ①你的判断正确吗？ ②长方形的四个角都是直角； ③古朴厚重的建筑； ④2与3的和等于4； ⑤如果，，那么． 2．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 3．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 4．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 5．下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ． 像这样判断一件事情的语句，叫作 ． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题． 【题型2 判断命题真假】 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两个锐角的和是钝角 B．邻补角互补 C．相等的角是对顶角 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 7．命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”） 9．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）． 10．1．下列语句是不是命题？如果是命题，指出其是真命题还是假命题． （1）画的平分线．          （2）对顶角相等吗？ （3）直角都相等．                （4）如果，那么． （5）延长线段．              （6）长方形的四个角都是直角． 【题型3 举例说明假（真）命题】 11．对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 12．判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 13．用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 （写出一个即可）． 14．要通过举反例说明“如果，那么”是错误的，请写出一组的值： ， ． 15．说明下列命题是假命题． (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等； (3)如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等． 【题型4 写出命题的题设与结论】 16．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 17．下列关于命题“互为补角的两个角相等”的判断正确的有（   ）． ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题； ④该命题的结论是两个角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 18．请把命题“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”写成“如果……，那么……”的形式 ． 19．如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 20．黑板上写有3个命题： ①若，则； ②若是有理数，则； ③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______； (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 【题型5 证明】 21．一张小凳子的结构如图所示，，．求的度数． 22．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 23．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 24．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：． 25．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 【题型6 写出命题的逆命题】 26．下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 27．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 28．写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)如果，那么． 29．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 30．说出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)如果两个角是锐角，那么这两个角相等； (2)全等三角形的对应边相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【题型7 互逆命题】 31．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 32．下列定理中没有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 33．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 34．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 35．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【题型8 定理与证明】 36．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 38．下面关于定理的说法正确的是（　　） A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明 C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明 39．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 40．如图，，，，求证：． 【拓展训练 证明解答题】 41．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 42．如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 43．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由． ①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②小仁发现：2016是“神秘数”． 提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分． 44．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．   （2）阅读材料并回答问题：   如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”． 45．定义：如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b= d(n). （1）根据劳格数的定义，可知d(10)=1，d(102)=2，直接写出 d(103)的值. （2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d(mn)= d(m)+ d(n)；d()= d(m)- d(n). 根据运算性质，求：，若 ，直接写出，的值. （3）下表中与数x对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数并改正. 1.5 3 5 6 8 9 12 27 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 2．能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 4．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 5．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为： ． 8．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 9．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 10．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 人． 11．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是 ．（只填写序号） 12．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 13．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 14．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 15．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 16．写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 17．如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 18．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 19．对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． (1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 20．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$