解三角形：正余弦定理及其综合应用8种高频考点复习 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形8种高频考点，涵盖正余弦定理应用、面积公式、外接内切圆等核心内容，按定理基础到综合应用的逻辑层次构建知识体系。通过知识点解析、例题分析、变式训练的教学流程，帮助学生系统突破边角互化、解的数量等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用分层教学策略，例题精选近年真题，变式训练匹配不同难度，助力学生掌握正余弦定理综合应用等解题方法。在边角互化考点中，通过“边化角”与“角化边”的对比训练，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，能在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰框架，有效提升学生应考能力。

2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：正余弦定理及其综合应用8种高频考点复习讲义 考点目录 利用正弦定理解三角形 利用余弦定理解三角形 正余弦定理综合应用解三角形 三角形的面积公式 外接圆问题与内切圆问题 三角形解的数量问题 边角互化与解三角形 三角形的形状问题 考点一 利用正弦定理解三角形 【知识点解析】 一、正弦定理及其变形 知识点 具体内容 正弦定理 在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 即.(为外接圆半径) 正弦定理的变形（边角互化） ； ； . 二、常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 三、几个非特殊角的正弦值： ；；. 四、使用场景 1. 知道两角与任意一边 2. 知道两边与其中一边的对角 【例题分析】 例1．（25-26高一下·云南昭通·期末）设的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，得. 例2．（25-26高一下·湖北十堰·期末）在中，，，角，则角大小为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，已知，，，由正弦定理. 所以，所以. 由，根据大边对大角，得，所以只能为锐角. 因此. 例3．（2026·甘肃嘉峪关·三模）在中，，，，角C为钝角，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件求出角，再利用正弦定理及平方关系求解. 【详解】在中，由角C为钝角，得角是锐角，则， 由，得，，而，， 由正弦定理得，而角C为钝角， 所以. 例4．（24-25高一下·河北邢台·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得解. 【详解】在 中， ， ， 所以， 在 中，由正弦定理可得 所以，. 故答案为：1；. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广东肇庆·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算，再利用正弦定理求即可. 【详解】依题意，， 由知，. 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末）在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】由正弦定理得. 变式3．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 【答案】 【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【详解】根据正弦定理知，， 又，，， 所以. 变式4．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 考点二 利用余弦定理解三角形 【知识点解析】 一、余弦定理及其变形 知识点 具体内容 余弦定理 三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍 ； ； . 余弦定理的变形 ；；. 二、常见特殊角的余弦值： 角度 弧度 余弦值 三、使用场景 1. 已知三边求角 2. 已知两边及其夹角求第三边 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 故． 例2．（25-26高一下·江西九江·期末）中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，， 所以，所以. 例3．（25-26高一下·上海长宁·期末）在中，已知，，，则 ______． 【答案】1或2 【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程求解即可. 【详解】在中，由题意得，，， 根据余弦定理： ， 将已知条件代入得： ， 化简得： ， 因式分解得 ，解得 或， 经检验，两个解均满足三角形三边关系，故 或 . 例4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，将已知条件代入求解. 【详解】由已知，得， 所以． 变式2．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】设，由条件结合余弦定理列方程可求. 【详解】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 变式3．（25-26高一下·天津西青·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，．且，，．那么角_________． 【答案】 【详解】由题可得，因为, 所以 变式4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，已知，则角__________． 【答案】或 【分析】化简条件等式，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】由， 即，所以 因为， 所以或． 考点三 正余弦定理综合应用解三角形 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型特征：条件同时含边、正弦余弦，无法单用一个定理； 2. 常用搭配： ① 先用余弦求边，再用正弦求剩余角； ② 先用正弦求角，余弦验证钝角； 二、解题原理 1. 统一形式：要么全部化成边，要么全部化成角； 1. 有平方结构优先余弦，有比例正弦优先正弦； 1. 求出边角后，用内角和、大边对大角检验合理性。 三、正余弦定理的使用注意事项 1. 当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. 2. 当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. 3. 上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 四、内角和定理：在中， 1. , , . 2. , , . 3. , , . 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A．3 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得，所以， 由余弦定理，得，解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且，所以，符合题意． 综上所述，. 例2．（25-26高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【详解】因为， 所以设，则， 所以 例3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知中，，，，则___________，___________． 【答案】 【详解】在中，由正弦定理， ，解得； 在中，由余弦定理，， 则，解得或（舍去）. 例4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________. 【答案】 【分析】使用正弦定理与余弦定理即可求解与的值. 【详解】因为，，，所以. 因为，所以， 化简得，解得（负根舍去）. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故等于或. 变式2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留. 【详解】在中，由余弦定理得. 已知，，，代入得： . 化简得： . 由求根公式. 因为，由正弦定理. 得，存在两解，即三角形存在两个解. 所以所对的边或. 变式3．（25-26高一下·江苏南京·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________． 【答案】 【分析】应用二倍角正弦公式化简，再应用余弦定理计算得出边长，代入计算检验即可. 【详解】因为，所以， 则，则，又， 所以，即， 则，则， 解得或， 当时，由余弦定理计算，，进而得， 因，故，与题设矛盾，所以， 故． 变式4．（25-26高一下·上海·期中）在中，，则 ________. 【答案】 【详解】∵ 在中，， 由正弦定理， ， ∵ ，∴ ， 又∵ 由余弦定理可得， 将代入上式， ∴ . 考点四 三角形的面积公式 【知识点解析】 一、常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 二、解题原理 1. 给出两边一角，直接用 ； 2. 已知三边可用海伦公式，也可先用余弦定理求某一角的余弦值，再求其正弦值，进而用面积公式； 3. 涉及外接/内切圆，对应选用带 的面积式。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江西吉安·期末）内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，而， 所以，则， 所以. 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. 【详解】在中，由及余弦定理、三角形面积公式，得， 解得，而，所以。 例3．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得边b，再利用余弦定理结合，求得a,c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，，外接圆半径为， 所以，则， 由余弦定理得，即， 又因为，解得， 所以的面积是 ， 例4．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，的面积为___________ 【答案】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理、二倍角正弦公式得，再由平方关系、倍角正余弦公式求，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，则，可得， 所以，而且，故， 所以，则，， 所以， 所以. 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ， 所以． 则． 故选：C. 变式3．（25-26高一下·天津宝坻·期末）在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求，再转换成，从而利用面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得. 因为，所以. . 变式4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【详解】已知，则， 由余弦定理可得：， 代入，得：，解得， . 考点五 外接圆问题与内切圆问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.外接圆（）：由正弦定理 ； 外心：三边垂直平分线交点；锐角三角形内，直角三角形斜边中点，钝角三角形外。 2. 内切圆（）： ； 内心：三条角平分线交点，到三边距离均为 。 二、解题原理 1. 求外接圆半径：找一组边与对角，代入 ； 2. 求内切圆半径：先算出三角形面积与周长，套面积公式反解 ； 3. 几何综合题结合图形找边角，再求 。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·重庆·期末）以为顶点的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算三角形各边的长度，再根据余弦定理求出，最后由正弦定理求解外接圆半径，进而求得面积. 【详解】由题意知，， 由余弦定理得：， 因为，所以， 设外接圆半径为，则由正弦定理得：， 所以， 所以外接圆的面积为. 例2．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 设外接圆的半径为，， 则， 所以外接圆的半径为. 例3．（25-26高一下·广东湛江·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理，分情况讨论的取值对应的角的解的个数，筛选出符合要求的所有的取值，构成对应的集合. 【详解】已知三角形中，， 根据已知两边及一边对角时三角形解的个数结论： 当满足 或 时，三角形有唯一解. 代入条件，： 若，即，为正整数（边长为正），得； 若，即，解得，符合条件. 当时，，此时三角形有两解，不符合； 当时，，无解，不符合. 因此整数构成的集合为. 例4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知，，若有两解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】判断出三角形有两解时分析的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出的范围即可． 【详解】由正弦定理得：， 由有两个解，所以， 所以，即， 所以a的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的内角的对边分别为，不妨设， 由余弦定理可得，因为，所以， 由正弦定理得的外接圆直径，即， 所以的外接圆面积为． 变式2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出 ，再根据锐角三角形确定 ，进而求出 ．然后利用余弦定理求出 ，最后由正弦定理 求外接圆半径． 【详解】因为锐角 的面积为 ，且 ，，所以由三角形面积公式可得 将 ， 代入，得. 所以，即. 因为 是锐角三角形，所以，从而. 由余弦定理，得. 代入 ，，，得. 因此. 设 外接圆的半径为 ． 由正弦定理可得. 所以，故. 变式3．（24-25高一下·四川自贡·阶段检测）在中，，，，则的内切圆半径为________. 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由等面积法计算可得. 【详解】由余弦定理，即，解得， 又，所以为锐角，所以， 设内切圆的半径是， ∵，即， ∴． 故答案为： 变式4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）在中，，，，求的内切圆半径_______． 【答案】 【分析】由余弦定理结合已知可求得三角形三边长，然后结合三角形的面积公式列出方程即可求解. 【详解】由题意可得：，解得：， ∴， 又，解得， ∴内切圆半径． 故答案为：. 考点六 三角形解的数量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 已知 （边边角），分四类情况（ 为锐角）： 1. ：无解； 2. ：一解，直角三角形； 3. ：两解，一锐角三角形、一钝角三角形； 4. ：一解，大边对大角。 若 为直角/钝角， 一解， 无解。 二、解题原理 1. 先判断已知角是锐角还是钝/直角； 2. 对比短边、、长边三者大小； 3. 多解时两组解互补（两角和为 ），需检验内角和。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北沧州·期末）在中，，，，则使有两解的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，得到不等式，即可求解. 【详解】在中，因为，，， 由正弦定理得，即， 又因为有两解，则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 例2．（25-26高一下·福建宁德·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且该三角形有两解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的正弦值关系，结合三角形有两解时角C的取值范围求解b的范围. 【详解】根据正弦定理，在中，有. 代入已知，，可得. 若三角形有两解，则角存在两个不同的取值满足三角形内角和为:由，得， 要使有两个不同解，需，即. 因此有，又，解不等式得. 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为______. 【答案】 【分析】点的轨迹为与射线轴夹角为的射线，不包括点，结合图形分析求解即可. 【详解】在中，，边，边， 固定顶点，则点的轨迹为与射线轴夹角为的射线，不包括点， 点到边的距离为. 要使有两解，等价于以为圆心、半径作圆，该圆与射线有两个不同的交点，即对应两个符合条件的点， 需同时满足两个约束条件： ① 圆与射线相交，即圆心到射线的距离小于半径，得； ② 两个交点均在射线的正半轴上，即在的右侧，得. 因为 ，且， 联立得，所以的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 变式2．（25-26高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 变式3．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意或即可求解. 【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. 考点七 边角互化与解三角形 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边化角（正弦定理）：，消去 ； 2. 角化边：； 3. 余弦自带边，无需 ，适合平方型等式； 4. 三角恒等变换：和差公式、二倍角、诱导公式配合化简。 二、边角互化注意事项 1.常见化简技巧 序号 化简技巧 ① 一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”. ② 有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用. ③ 一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简. ④ 出现或这种形式，可利用和差公式公式进行化简. ⑤ 出现这种形式，可利用辅助角公式或同角三角关系进行化简. ⑥ 出现或或，可利用倍角公式进行化简. ⑦ 出现，可化为. ⑧ 要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围. ⑨ 若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法进行化简. 2.常见结论（已知、） ①若，则或. ②若，则或. ③若，则将原式化为或，进而进行讨论. ④若，则. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·云南昭通·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简求得，可求角B的大小； （2）结合（1），利用余弦定理可求得，进而利用三角形面积公式可求的面积. 【详解】（1），由正弦定理得， 在中，， ，. （2）由（1）得，由余弦定理得， 又因为，，所以，解得， 所以的面积为. 例2．（25-26高一下·天津和平·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角； （2）根据已知条件，结合余弦定理，化简即可求出，最后根据面积公式求出面积即可. 【详解】（1）（1）因为，所以由正弦定理可得， 又由余弦定理可得，所以，又，所以． （2）由余弦定理可得，由（1）知， 所以，又，， 所以，，所以． 例3．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. （2），. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·安徽宣城·期末）已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且 (1)求; (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先切化弦，再交叉相乘，可得，根据三角形内角的范围可得角之间的关系，从而得出 （2）借助面积公式和余弦定理即可得出周长 【详解】（1）由切化弦得得　 所以，得 又，， 所以或（舍去）或（舍去） 所以，解得 （2）由已知，得① 由余弦定理，得② 由①②可得 所以三角形的周长 变式2．（25-26高一下·广东广州·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合，可化简为，利用辅助角公式，结合，即得解； （2）方法一：利用正弦定理可转化，又，故，可化简为，结合，即得解；方法二：由条件根据余弦定理可得，结合基本不等式和三角形三边关系可求结论. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 即， 即， 因为，所以 化简得， 因为，所以， 所以，即. （2）解法一：由（1）知，且， 根据正弦定理可得， 所以， ， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围为； 解法二：由（1）知，且，根据余弦定理， 得， 所以， 即， 化简得 ， 解得，当且仅当时取等号， 又，即， 所以的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合题设，，可得答案； （2）由题设及余弦定理，可得，，据此可得答案. 【详解】（1）由正弦定理，将边转化为角，， 展开得：，得， 由于在三角形中得，结合，可得； （2）因三角形周长，，则. 由余弦定理：，代入，， 得， 则. 考点八 三角形的形状问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 直角三角形： 或 ； 2. 锐角三角形：三边平方任意两边和大于第三边平方，所有余弦 ； 3. 钝角三角形：存在一边平方大于另两边平方和，对应角余弦 ； 4. 等腰三角形：两边相等或两角相等；等边：三边/三角全相等。 二、解题原理 1. 边角互化，统一化成边或统一化成角； 2. 边式：因式分解，判断边长相等或满足勾股； 3. 角式：化简得到 等关系； 4. 根据等式结论判定三角形类型。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化简边角等式得到，再结合三角形面积公式与余弦定理求出角，即可判断三角形形状. 【详解】在中，，由正弦定理得，即. 因为，所以，因此，即. 又，所以，解得，即. 因为，故. 结合与内角和，可得，即三个内角均相等，为等边三角形. 例2．（25-26高一下·广东梅州·期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得A，判断出三角形的形状. 【详解】根据正弦定理，由，可得： . 因为， 所以. 因为，， 所以，即， 故是直角三角形. 例3．（25-26高一下·浙江宁波·阶段检测）在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 例4．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为__________________. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或， 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 变式2．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示，结合余弦定理得到，再由，边化角得到，即可求解. 【详解】由，得： ， 展开整理得： ， 由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角： ， 又，所以 ， 代入展开得： ， 整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 变式3．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________． 【答案】直角三角形或等腰三角形 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可. 【详解】在中，， 由正弦定理和余弦定理得 ， 整理得，则或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 变式4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为___________ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】由正弦定理边化角，并结合正弦二倍角公式得，进而得或即可判断. 【详解】因为， 所以，由正弦定理边化角得：，即， 因为，且 所以或，即或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：正余弦定理及其综合应用8种高频考点复习讲义 考点目录 利用正弦定理解三角形 利用余弦定理解三角形 正余弦定理综合应用解三角形 三角形的面积公式 外接圆问题与内切圆问题 三角形解的数量问题 边角互化与解三角形 三角形的形状问题 考点一 利用正弦定理解三角形 【知识点解析】 一、正弦定理及其变形 知识点 具体内容 正弦定理 在三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 即.(为外接圆半径) 正弦定理的变形（边角互化） ； ； . 二、常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 三、几个非特殊角的正弦值： ；；. 四、使用场景 1. 知道两角与任意一边 2. 知道两边与其中一边的对角 【例题分析】 例1．（25-26高一下·云南昭通·期末）设的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·湖北十堰·期末）在中，，，角，则角大小为（     ） A． B． C． D．或 例3．（2026·甘肃嘉峪关·三模）在中，，，，角C为钝角，则________． 例4．（24-25高一下·河北邢台·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广东肇庆·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末）在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 变式3．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 变式4．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 考点二 利用余弦定理解三角形 【知识点解析】 一、余弦定理及其变形 知识点 具体内容 余弦定理 三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍 ； ； . 余弦定理的变形 ；；. 二、常见特殊角的余弦值： 角度 弧度 余弦值 三、使用场景 1. 已知三边求角 2. 已知两边及其夹角求第三边 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江西九江·期末）中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海长宁·期末）在中，已知，，，则 ______． 例4．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 变式3．（25-26高一下·天津西青·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，．且，，．那么角_________． 变式4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，已知，则角__________． 考点三 正余弦定理综合应用解三角形 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型特征：条件同时含边、正弦余弦，无法单用一个定理； 2. 常用搭配： ① 先用余弦求边，再用正弦求剩余角； ② 先用正弦求角，余弦验证钝角； 二、解题原理 1. 统一形式：要么全部化成边，要么全部化成角； 1. 有平方结构优先余弦，有比例正弦优先正弦； 1. 求出边角后，用内角和、大边对大角检验合理性。 三、正余弦定理的使用注意事项 1. 当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理. 2. 当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理. 3. 上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 四、内角和定理：在中， 1. , , . 2. , , . 3. , , . 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A．3 B．或 C． D． 例2．（25-26高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 例3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知中，，，，则___________，___________． 例4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 变式2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．4 变式3．（25-26高一下·江苏南京·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________． 变式4．（25-26高一下·上海·期中）在中，，则 ________. 考点四 三角形的面积公式 【知识点解析】 一、常见求面积的方法 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 基本公式：. 两边及其夹角 核心公式：. 三边 海伦公式：，期中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切 、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 二、解题原理 1. 给出两边一角，直接用 ； 2. 已知三边可用海伦公式，也可先用余弦定理求某一角的余弦值，再求其正弦值，进而用面积公式； 3. 涉及外接/内切圆，对应选用带 的面积式。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江西吉安·期末）内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，，外接圆半径为，且，则的面积是________ 例4．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，的面积为___________ 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·天津宝坻·期末）在中，，，，则的面积为________． 变式4．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）在中，，，，则的面积为________． 考点五 外接圆问题与内切圆问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.外接圆（）：由正弦定理 ； 外心：三边垂直平分线交点；锐角三角形内，直角三角形斜边中点，钝角三角形外。 2. 内切圆（）： ； 内心：三条角平分线交点，到三边距离均为 。 二、解题原理 1. 求外接圆半径：找一组边与对角，代入 ； 2. 求内切圆半径：先算出三角形面积与周长，套面积公式反解 ； 3. 几何综合题结合图形找边角，再求 。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·重庆·期末）以为顶点的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 例3．（25-26高一下·广东湛江·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为____________． 例4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知，，若有两解，则a的取值范围是_______． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·四川自贡·阶段检测）在中，，，，则的内切圆半径为________. 变式4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）在中，，，，求的内切圆半径_______． 考点六 三角形解的数量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 已知 （边边角），分四类情况（ 为锐角）： 1. ：无解； 2. ：一解，直角三角形； 3. ：两解，一锐角三角形、一钝角三角形； 4. ：一解，大边对大角。 若 为直角/钝角， 一解， 无解。 二、解题原理 1. 先判断已知角是锐角还是钝/直角； 2. 对比短边、、长边三者大小； 3. 多解时两组解互补（两角和为 ），需检验内角和。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北沧州·期末）在中，，，，则使有两解的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·福建宁德·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且该三角形有两解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为______. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 变式2．（25-26高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 变式3．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 考点七 边角互化与解三角形 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边化角（正弦定理）：，消去 ； 2. 角化边：； 3. 余弦自带边，无需 ，适合平方型等式； 4. 三角恒等变换：和差公式、二倍角、诱导公式配合化简。 二、边角互化注意事项 1.常见化简技巧 序号 化简技巧 ① 一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”. ② 有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用. ③ 一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简. ④ 出现或这种形式，可利用和差公式公式进行化简. ⑤ 出现这种形式，可利用辅助角公式或同角三角关系进行化简. ⑥ 出现或或，可利用倍角公式进行化简. ⑦ 出现，可化为. ⑧ 要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围. ⑨ 若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法进行化简. 2.常见结论（已知、） ①若，则或. ②若，则或. ③若，则将原式化为或，进而进行讨论. ④若，则. 【例题分析】 例1．（25-26高一下·云南昭通·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积. 例2．（25-26高一下·天津和平·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 例3．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·安徽宣城·期末）已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且 (1)求; (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长． 变式2．（25-26高一下·广东广州·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 变式3．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 考点八 三角形的形状问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 直角三角形： 或 ； 2. 锐角三角形：三边平方任意两边和大于第三边平方，所有余弦 ； 3. 钝角三角形：存在一边平方大于另两边平方和，对应角余弦 ； 4. 等腰三角形：两边相等或两角相等；等边：三边/三角全相等。 二、解题原理 1. 边角互化，统一化成边或统一化成角； 2. 边式：因式分解，判断边长相等或满足勾股； 3. 角式：化简得到 等关系； 4. 根据等式结论判定三角形类型。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 例2．（25-26高一下·广东梅州·期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 例3．（25-26高一下·浙江宁波·阶段检测）在中，已知，则的形状为________． 例4．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为__________________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 变式2．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式3．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________． 变式4．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为___________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $