8.5 椭圆及其性质（2大考点+8大题型）（讲义+精练）-2027届高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆及其性质核心考点，涵盖定义、方程、几何性质等课标要求内容，按“课标要求—主干知识—核心题型—课时精练”逻辑架构梳理知识体系，通过考点梳理、方法总结、真题演练等环节帮助学生构建知识网络，突破焦点三角形、离心率等难点。 资料以八类核心题型为载体，创新采用“典例解析—方法技巧—变式训练”教学模式，如在离心率求解中结合定义法与方程思想培养数学思维，在焦点三角形问题中通过解三角形知识提升数学语言表达能力。分层练习设计确保复习针对性，助力教师高效把控复习节奏，提升学生应考能力。

8.5 椭圆及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 3 03 探究核心题型 6 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 6 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 7 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 8 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 9 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 10 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 10 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 11 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 13 04 课时精练 15 1、理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3、掌握椭圆的简单应用. 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 【典例1-1】（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1-1】（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式1-2】（2026·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 【典例2-1】（2026·高三·山东·月考）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2-2】已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 【典例3-1】（2026·山西临汾·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【典例3-2】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式3-1】（2026·高三·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式3-3】（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 【典例4-1】（2026·高三·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 【典例5-1】（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【典例5-2】（2026·高三·上海宝山·期中）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】（2026·高三·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 【变式5-2】已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 【变式5-3】（2026·高三·陕西咸阳·月考）已知实数满足，则的最小值是_____． 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 【典例6-1】（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【典例6-2】（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【方法技巧与总结】 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式6-1】（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【变式6-2】（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【变式6-3】（2026·江苏南京·模拟预测）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【变式6-4】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 【典例7-1】（多选题）（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（    ） A．圆柱底面的直径为 B．圆柱底面和平面所成角为，则 C．椭圆的焦距长为 D．椭圆的离心率为 【典例7-2】（多选题）（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【方法技巧与总结】 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 【变式7-1】（多选题）（2026·云南昆明·模拟预测）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【变式7-2】（多选题）（2026·青海海东·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【变式7-3】（多选题）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 【典例8-1】中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 【典例8-2】（2026·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式8-1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________． 【变式8-3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是______. 【变式8-4】椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为______． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 5．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·山东滨州·二模）已知曲线，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是一条直线 C．若，则C是椭圆，其离心率为 D．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 9．（多选题）（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 10．（多选题）（2026·山西晋中·模拟预测）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．面积的最大值为 11．（多选题）（2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 12．（2026·湖南长沙·一模）已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 13．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 14．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接.若，则________． 15．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 16．（2026·山东滨州·二模）已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程. 17．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 18．（2026·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 椭圆及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 3 03 探究核心题型 6 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 6 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 9 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 11 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 14 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 17 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 20 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 25 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 29 04 课时精练 34 1、理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3、掌握椭圆的简单应用. 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型一：椭圆的定义及其标准方程应用 【典例1-1】（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 【典例1-2】（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1-1】（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 【变式1-2】（2026·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B 【变式1-3】（2026·高三·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 由可知圆心， 因为椭圆E与圆C相切于A， 所以它们在点A处有相同的切线l， 因为，所以， 即切线的方程为， 所以l的方程为， 由椭圆的光学性质知， 所以关于直线l对称点在直线上， 所以，即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②， 联立①②得，则的方程为. 故选：D 题型二：椭圆方程成立的充要条件判定 【典例2-1】（2026·高三·山东·月考）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若曲线为椭圆，则，解得或， 由于或是的真子集， 故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件， 【典例2-2】已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】“曲线表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 【变式2-2】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 【变式2-3】（2026·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 题型三：椭圆焦点三角形的周长、面积及综合应用 【典例3-1】（2026·山西临汾·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【解析】 的面积为 所以 故选：A. 【典例3-2】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【解析】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式3-1】（2026·高三·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得： ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 【变式3-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，已知椭圆方程，则， 由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，， 又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立， 所以的周长，当且仅当共线时等号成立， 即的周长的最大值为，故A正确. 【变式3-3】（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由题意得，，，所以， 因为在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 题型四：椭圆上两点间距离的最值求解 【典例4-1】（2026·高三·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 【典例4-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】（2026·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】轴时，故， 轴时均为顶点，为原点，，故， 不垂直坐标轴时，设，和椭圆方程联立得 即 故， 故 故，即． 设，易知，则时， 得点M的轨迹方程为，而时也满足该方程，刚好构成完整的椭圆，且N为其对称中心， 又椭圆上的点到椭圆中心的距离， 所以． 故选：A. 【变式4-2】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 【变式4-3】（2026·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解析】设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 题型五：椭圆上两条线段和与差的最值问题 【典例5-1】（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 【典例5-2】（2026·高三·上海宝山·期中）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【解析】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】（2026·高三·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 【答案】/ 【解析】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 【变式5-2】已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 【答案】 【解析】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高三·陕西咸阳·月考）已知实数满足，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】由，则， 所以，可以视为上半个椭圆上的点到点和到的距离之和， 又点恰好是椭圆的右焦点， 设左焦点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取得等号，此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点. 故答案为：. 题型六：椭圆离心率的值与取值范围求解 【典例6-1】（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，， 又，，，，， 得，，， 所以，，，， 由余弦定理得， 即，化简得. 【典例6-2】（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】/ 【解析】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 【方法技巧与总结】 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式6-1】（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 【变式6-2】（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 【变式6-3】（2026·江苏南京·模拟预测）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 【变式6-4】（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 【答案】/ 【解析】如图1， 在竖直平面内，由相似关系可得， 代入已知数据，得， 所以椭圆形洞的高为． 如图2， 连接A与的中点交AC于G，则， 如图3， ，， 所以椭圆形洞的宽为． 故在椭圆中，，所以离心率． 题型七：椭圆简单几何性质的综合应用 【典例7-1】（多选题）（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（    ） A．圆柱底面的直径为 B．圆柱底面和平面所成角为，则 C．椭圆的焦距长为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】设圆柱底面直径为，依题意可知圆柱底面周长等于正弦函数的一个周期， 即，得，A正确； 设截面椭圆的左右端点分别为，当椭圆上的点经过半周从移动到时， 它在展开曲线上经过半个周期从波谷移动到波峰，所以的高度差为， 而在圆柱底面上的投影即为底面直径，可知 ，B正确； 截面椭圆的短轴即为底面直径，长轴， 则椭圆的焦距长 ，C错误； 由前述结论可知，D正确. 【典例7-2】（多选题）（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 【方法技巧与总结】 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 【变式7-1】（多选题）（2026·云南昆明·模拟预测）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【解析】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 【变式7-2】（多选题）（2026·青海海东·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【解析】根据题意可得，点，点， 对于A选项，的周长为，故A选项正确； 对于B选项，因为，解得，故B选项错误； 对于C选项，根据B选项方程解得，故C选项正确； 对于D选项因为，， 因为P点在第一象限所以设P点坐标为， 则，解得， 则直线的斜率为，故D选项错误. 【变式7-3】（多选题）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 题型八：利用椭圆第一定义求轨迹方程 【典例8-1】中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】由题意可作图如下： 由为边上的中线，且点为的重心，得，即， 同理可得， 由题意可得，即，可得， 所以重心的轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆， 则，所以， 所以重心G的轨迹方程为. 故答案为：. 【典例8-2】（2026·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式8-1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【解析】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 如图，设所求圆的圆心为，连接，设点， 由于，则， 于是点的轨迹是以为焦点的椭圆，从而椭圆的中心为， 于是设点的轨迹方程为：， 其中，则，椭圆方程为. 由于直线始终与有公共点， 不妨在轴下方或在轴上，设的倾斜角为，如图，才能取到最小值. 当时，由于直线与圆相切，即，则. 设直线与圆相切，由，，则，从而. 由焦半径公式可知． 【变式8-3】已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是______. 【答案】 【解析】设圆的半径为，则根据题意，得， 于是， 由椭圆的定义可知：点的轨迹为满足的椭圆， 因此点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式8-4】椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】，，则，整理得，线段中点的坐标为 所以有，即线段中点的轨迹方程为． 故答案为：． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以， 又，所以，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 2．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 4．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【解析】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 5．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 6．（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图 设，由得，则， 因，则， 又因平分，则，即，故， 因点P为C 上的点，则，即，联立解得， 因，则，设， 由余弦定理，，解得，即. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴，是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． 8．（多选题）（2026·山东滨州·二模）已知曲线，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是一条直线 C．若，则C是椭圆，其离心率为 D．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AC 【解析】A选项，时，，则C是单位圆，A正确； B选项，若，，即，则C是两条直线，B错误； C选项，若，，则C是椭圆，其中，，， 其离心率为，C正确； D选项，，，则C是双曲线，，， 渐近线方程为，D错误. 9．（多选题）（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 【答案】ACD 【解析】已知椭圆，双曲线. 椭圆参数：，，，离心率. 双曲线参数：，，，离心率 选项A:联立与方程：， 两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确. 选项B:，故B错误. 选项C,， 平方得，，故C正确. 选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线. 联立椭圆：，，即. 椭圆顶点，，， ，， ，, 由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确. 10．（多选题）（2026·山西晋中·模拟预测）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】点在椭圆上，，解得. 椭圆的标准方程为． 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则. ，即，，，故A，B正确． 对于C，设点，则． 将点的坐标代入椭圆方程，得，即. 点的轨迹方程为， 的最小值为点到圆心的距离减去半径， ，故C错误． 对于D，由C可知，，，则当时，的面积最大，为，故D正确． 11．（多选题）（2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A，由椭圆，可得，即， 因为椭圆离心率，则，所以， 短半轴长为，不等于，所以A错误； 对于B，由选项A知：，可得， 则，即，所以成等比数列，故B正确； 对于C，由， 由选项B知，可得，即， 因为所以，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 则直角的外接圆半径，故D正确． 12．（2026·湖南长沙·一模）已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 【答案】 【解析】因为抛物线开口向右，可设公共焦点，设双曲线方程为， 由，所以， 所以双曲线方程为， 联立抛物线方程， ，解得，（舍去）, 将代入，解得，（舍去）， 所以， 设椭圆的方程，离心率为，将代入得， 且， 设，则，由，可得， 代入椭圆方程化简得，， 解得，（舍去）， 代入得. 13．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【解析】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 14．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接.若，则________． 【答案】3 【解析】如图：不妨考虑位于第一象限， 则， 故. 15．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 【解析】（1）依题意，椭圆的右焦点为，则左焦点为，设， 由椭圆的定义可知， 所以，可得， 所以椭圆的方程为． （2）依题可设过点的直线方程为， 将其与椭圆方程联立，消元得， 设，则得，（*）， 于是 将（*）代入，得． 16．（2026·山东滨州·二模）已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程. 【解析】（1）由题意，椭圆上顶点为，故， 又，故，从而 因此椭圆方程为：； （2）由（1）可知，故，， 因为为的垂心，所以且， 则必有，设直线方程为： 联立直线与椭圆：得： 令，解得：， 由韦达定理：， 则，故， 即： 整理得：， 将代入化简得：，解得或 当时，直线过点，不符合题意，舍去 当时，满足，符合题意. 故直线方程为：，即. 17．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 【解析】（1）由题，联立，解得，所以椭圆的方程为； （2） 设直线的方程为，即，，， 联立，化简得， ，，，， ，， 直线的方程为，令，，故， 直线的方程为，令，，故， 由，可得， ，化简为，解得. 18．（2026·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，则， 所以， 因为直线，的斜率之积为，所以，解得． 因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得， 则． 所以C的方程为． （2）由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，不妨设， 联立消去y得， 令，解得． 设，，则，， 因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即， 所以，即， 所以， 整理可得即，满足，解得， 所以直线l的方程为． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $