第6讲 一元二次不等式恒成立问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式恒成立问题”核心考点，涵盖实数集R上恒成立、给定区间恒成立、给定参数范围恒成立三大考查类型，对接高考评价体系，通过模拟题实例分析考点权重，归纳选择、填空等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“考点解析+方法提炼+实战训练”模式，如例2用分离变量法求最值、例3通过更换主元转化为一次函数问题，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设方法总结与易错点提示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习，提升备考针对性。

第6讲　一元二次不等式恒成立问题 [例1]　(2026·浙江杭州模拟)若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,则实数k的取值范围是(　　) A.2≤k≤18　　　　　　 B.-18<k<-2 C.2<k<18 D.0<k<2 考点一　在实数集R上恒成立 C [解析]　当k=0 时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不合题意;当k≠0 时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,所以解得2<k<18,所以实数k 的取值范围是2<k<18. 方法总结 1.特别注意对二次项系数为0的讨论,因为不等式不一定为一元二次不等式. 2.一元二次不等式在R上恒成立,可以用判别式Δ. 跟踪训练 1.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,-2) C.(-2,2) D.(-2,2] 解析:当a=2时,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0可化为-4<0,恒成立;当a≠2时,要使关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,只需 解得-2<a<2.综上,-2<a≤2. D [例2]　若不等式ax2-x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为 .  考点二　在给定区间上恒成立 [解析]　法一(函数法):当a=0时,原不等式可化为x<0,易知不合题意;当a≠0时,令f (x)=ax2-x+a,要满足题意,需 解得a≥,所以实数a的取值范围是. 法二(分离变量法):ax2-x+a>0⇔ax2+a>x⇔a>.因为x∈(1,+∞),=<,所以a≥. 变式　将本例变为:若当x∈[m,m+1]时,x2+mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围. 解:设f (x)=x2+mx-1,则 即 化简得 所以-<m<0. 则实数m的取值范围为 -,0 . 方法总结 一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论. 跟踪训练 2.若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,2] A 解析:法一:因为对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,设y=2x2-4x-2=2(x-1)2-4,x∈[-1,0],则m≥ymax.易知y=2(x-1)2-4 在[-1,0] 上单调递减,所以当x=-1 时,ymax=2× (-1-1)2-4=4,所以m≥4,所以实数m的取值范围是[4,+∞). 法二:设f(x)=-2x2+4x+2+m,易知f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,f(x)在[-1,0]上单调递增,结合题意可得,f(-1)≥0,即-2-4+2+m≥0, 解得m≥4. [例3]　(2026·江西新余模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围是(　　) A.[-1,3] B.(-∞,-1] C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) D 考点三　在给定参数范围内恒成立 [解析]　不等式x2+px>4x+p-3, 可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4), 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4), 可得 解得x<-1或x>3. 方法总结 1.弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. 2.已知参数范围求函数自变量的范围常需要更换主元,把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解. 跟踪训练 3.若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为(　　) A. B. C. D.R 解析:设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则<x<. B $