暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦解一元二次方程五种高频方法，通过例题与变式系统训练，培养运算能力与推理意识，构建从基础到进阶的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|3例+3变式|含平方形式的简单方程|基础解法，体现降次思想| |配方法|3例+3变式|二次项系数为1或可化为1的方程|推导公式法的基础，培养代数变形能力| |公式法|3例+3变式|一般形式方程，含不同系数特征|通法应用，强化符号运算与判别式理解| |因式分解法|3例+3变式|可分解为乘积形式的方程|简化求解，体现转化与方程思想| |换元法|3例+3变式|含复合未知数的复杂方程|化归思想，提升数学抽象与模型意识|

暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点目录 解一元二次方程：直接开平方法 解一元二次方程：配方法 解一元二次方程：公式法 解一元二次方程：因式分解法 解一元二次方程：换元法 考点一 解一元二次方程：直接开平方法 例1．（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【分析】直接开平方法计算得到方程的根． 【详解】解： ， ∴移项得 ， 对等式两边开平方，可得 ， 即原方程的根为 ． 例2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 例3．（25-26九年级上·广东东莞·月考）方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 【详解】解： ，． 变式2．（25-26九年级上·广东惠州·月考）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 考点二 解一元二次方程：配方法 例1．（25-26九年级上·广东潮州·月考）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 例2．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 例3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 变式1．（25-26八年级下·北京顺义·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项，得， 配方，等式两边同时加1，得， 整理，得， 开平方，得， 解得，． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·月考）用配方法解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把3移到方程的右边，两边都除以2，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：， ， ， 配方得：，即， 开方得： ， 解得：， ． 变式3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：开方得， 解得； （2）解：配方得， 开方得， 解得． 考点三 解一元二次方程：公式法 例1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 例2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 例3．（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 变式1．（25-26九年级上·河北唐山·月考）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 变式2．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 变式3．（25-26九年级上·广东汕头·月考）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 考点四 解一元二次方程：因式分解法 例1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 例2．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． （3）解： 移项，得 或 解得或 所以，原方程的根是，． 例3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 变式1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 变式2．（25-26九年级上·上海金山·月考）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 变式3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 考点五 解一元二次方程：换元法 例1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 例2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如果实数x满足，那么的值是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）若实数x，y满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点目录 解一元二次方程：直接开平方法 解一元二次方程：配方法 解一元二次方程：公式法 解一元二次方程：因式分解法 解一元二次方程：换元法 例1.(25-26八年级下广西梧州期中)一元二次方程x2-25=0的根是() A.5 B.-5 C.±5 D.25 考点一 解一元二次方程：直接开平方法 例2.(25-26九年级下江苏常州期中)方程x2-4=0的根是（) A.=为=2 B.=为=-2 C.=25=-2 D.=45=4 例3.(2526九年级上广东东莞月考》方程4r= 4的根是」 变式1.(25-26九年级上广东佛山月考)方程4x2-1=0的根为() 1 A.x=-2,x2=2 B=子无月 1 C.x=2,=2 D.x=-2,x=V2 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 变式2.(25-26九年级上广东惠州月考)方程8x2-72=0解为 变式3.(2526八年级下福建厦门期未)若：-1少=4 ，该方程的解为一 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点二 解一元二次方程：配方法 例1.(25-26九年级上广东潮州月考)解方程： 0-2x-1=0 (用配方法) ②c+50x+1)= 2(用配方法) 例2.(25-26九年级上湖南衡阳·月考)解方程 a①r-6x+3=0 2r+2x-6=0 (用配方法)· 例3.(25-26八年级下安徽阜阳期末)解方程：x2+2x-1=0. 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 变式1.(25-26八年级下北京顺义期末)解方程：x2-2x-1=0. 变式2.(25-26九年级上四川成都月考)用配方法解方程：2x2-6x+3=0; 变式3.(25-26九年级上福建厦门阶段检测)解下列方程： (①)6r+1)2=9 (2r2-6r-4=0 4 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点三 解一元二次方程：公式法 例1.(25-26九年级上四川宜宾·月考)用公式法解一元二次方程： ①2r-4r-1=0 (x+2)(2x-3)=3x+2 (2) 例2.(25-26八年级下广西南宁·阶段检测)（用公式法）解一元二次方程：2x2-6x-3=0. 例3.(2026陕西西安二模)解下列方程：3x2-5x+2=0(用公式法)： 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 变式1.(25-26九年级上河北唐山月考)用公式法解下列方程： )4r-3=12r 22x-5x+3=0 变式2.(25-26九年级上：湖北荆州月考)用公式法解方程： 0)+x-6=0 a2-x-0: 6)3-6x+2=0 ④4r-6r=0 变式3.(25-26九年级上广东汕头月考)用公式法解下列方程： 0)-2x-1=0 (23r2-10r-8=0 3)(2y+7)=4 6 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 ④x+2)(2x-9)=6 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点四 解一元二次方程：因式分解法 例1.(25-26八年级下山东淄博期末)解方程： (1)x2+12x+27=0 22x-y=2(2x-) 例2.(25-26九年级上：湖南株洲月考)解下列方程： 0)-7x+12=0 (220y-2)=y2+5 6)30r-2)=50r-2y 例3.(25-26八年级下安徽安庆期末)解方程：x2-2x=3. 6 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 变式1.(25-26八年级下福建厦门期末)解方程： 1)-4x=0 (2)r+6x+5=0 变式2。(2526九年级上上海金山月考)解方程：（+5x-2)=8 变式3.(25-26九年级上广东深圳月考)解方程：2x2-5x+3=0 0 暑假预习：解一元二次方程5种高频方法专项训练 考点五 解一元二次方程：换元法 例1.(2526八年级下福建福州阶段检测)已知实数m,n清足(m+m-2(m+)-15=0,则m+m心的值 为() A.3 B.5 C.5或3 D.-3或5 例2，(2s26八年级下安徽豫州期末)已知实数a,b清足（口+2沙女+2次-3列=10，则+26的值为 () A.5或-2 B.-5或2 C.5 D.2 创3,2526九年级上·上海徐汇月考)如果实数x满足十京-2+户1=0 x ,那么x的值是 变式1.(2526八年级上山西期州期末)已知K-2024+-2026=34.则6x-2025 的值是() A.4 B.8 C.12 D.16 变式2.(2526九年级上湖北随州阶段检测)若实数x满足（-1旷-8(-)+16=0，则x=一 变式3.(2526九年级上暴龙江缓化月考)若实数，y满足（心+-3+）4=0，则+少的值为 10