暑假预习：斜边的中线等于斜边一半、矩形与折叠问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦“斜边中线性质”与“矩形折叠”两大几何核心考点，通过分层例题与变式题构建从基础到综合的知识应用体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜边的中线等于斜边一半|5例+5变式|选择/填空/证明，结合菱形、中点、直角三角形|从直角三角形性质出发，延伸至多边形中线段关系的转化与计算| |矩形与折叠问题|4例+5变式|选择/填空/综合题，涉及坐标系、多步折叠|以折叠轴对称性质为核心，融合勾股定理与方程思想，构建空间观念与逻辑推理链|

暑假预习：斜边的中线等于斜边一半、矩形与折叠问题专项训练 暑假预习：斜边的中线等于斜边一半、矩形与折叠问题专项训练 考点目录 斜边的中线等于斜边一半 矩形与折叠问题 考点一 斜边的中线等于斜边一半 例1．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点．若，，则线段的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 例2．（25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，交于点O，，于点E，则的长为______． 例4．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 例5．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，点是中点，，．于点，．求证：． 变式1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·天津宝坻·期末）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（     ） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 变式3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，是斜边的中点，连接，若，则的长为______． 变式4．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 变式5．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，D，E，F分别为，，边的中点，于H，，求的长． 考点二 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 例4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）已知矩形纸片，点是边的中点，将沿折叠得到． (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连接并延长，交于点．判断是否为的中点，并说明理由； (3)如图3，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交于点．若，求的面积． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠后，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，矩形中，，，把沿对角线折叠，得到，且与相交于点，则的长为________． 变式4．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，矩形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若点在对角线上，则________；________． 变式5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．         【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：斜边的中线等于斜边一半、矩形与折叠问题专项训练 暑假预习：斜边的中线等于斜边一半、矩形与折叠问题专项训练 考点目录 斜边的中线等于斜边一半 矩形与折叠问题 考点一 斜边的中线等于斜边一半 例1．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点．若，，则线段的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质，以及，，即可求得与的长，然后由勾股定理求得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得答案． 【详解】解：四边形为菱形，，， ，，， ， 在中，． 为中点， ． 例2．（25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理求出的长，推导出是等边三角形，，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ，， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，即， 在中，是的中点， ． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，交于点O，，于点E，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 例4．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理得到，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴． 例5．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，点是中点，，．于点，．求证：． 【答案】证明：，点是中点， ． ， 是等边三角形． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． ． ， ． ． ． ． ． 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，结合，得出是等边三角形，进而证明平行四边形是菱形，则，再根据含度角的直角三角形的性质得出，即可得证． 【详解】略 变式1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】在中，，， ， ， ，点是边的中点， ． 变式2．（25-26八年级下·天津宝坻·期末）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（     ） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 【答案】C 【分析】连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据三线合一可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，为的中点， ∴． 变式3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，是斜边的中点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】在中，是斜边的中点， ． 变式4．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 变式5．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，D，E，F分别为，，边的中点，于H，，求的长． 【答案】12 【分析】先根据三角形中位线定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵D、F是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵E是的中点，于点H， ∴． 考点二 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【分析】根据折叠性质，得，设，则，根据折叠的性质，得，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ∴，，， 根据折叠性质，得， ∴， ∴， 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故． 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，设，则，，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，，，结合，，三点共线得出，证明得，由勾股定理求出，进而可得、、的值，再由求出，然后由勾股定理求出，进而得出点、、的坐标． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ，，，， ，，三点共线， ， 四边形是矩形， ，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴点E的横坐标为， ∴点的坐标为． 例4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）已知矩形纸片，点是边的中点，将沿折叠得到． (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连接并延长，交于点．判断是否为的中点，并说明理由； (3)如图3，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交于点．若，求的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵将沿翻折后得到． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)是的中点，理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）①连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出； （2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明； （3）根据（1）的结论以及折叠的性质可得,，设，证明求得，进而证明，设，根据勾股定理建立方程，解方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ 由（1）可知，， ∴ ∵折叠 ∴， ∴, ∵ 设 ∴ 又 ∴ 解得： ∴，， 设 在中， 在中， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 变式1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠后，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，，从而得到的长，，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】在矩形中，，，， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即． 变式2．（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，则，由折叠的性质可得，，，，进而可得，推出，设，则，由勾股定理求出，，作于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∴， 如图，作于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 变式3．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，矩形中，，，把沿对角线折叠，得到，且与相交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据等角对等边，得出，再设，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得 则的长为． 变式4．（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，矩形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若点在对角线上，则________；________． 【答案】 【分析】根据矩形性质和勾股定理求出的长，由折叠性质可得，，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的长，作，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，根据面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 在中，， 由折叠的性质得，，， 点在上， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， ； 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴. 变式5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．         【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 【答案】(1)四边形是菱形； 证明将矩形纸片折叠，点与点重合， 垂直平分， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)解：①理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是等边三角形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ②或 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）①先证明是等边三角形，根据折叠的性质，等边对等角推出，即可得出结论；②分在上和在延长线上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②设 与交于点， 当在上时，，则， 由（2）可知，在中，， ∴，，， ∴， ∴， 作，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当在延长线上时，，则，同理可得. 综上所述，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $