暑假作业07 公式法解一元二次方程（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以配方法推导求根公式为逻辑起点，系统整合公式应用、根的判别式及实际问题，形成“原理-公式-判别-应用”完整方法链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式推导与概念|4个知识点|推导六步法（除、移、配、写平方、判号开方、解）|从具体配方法到抽象公式，构建知识生成链| |根的判别式应用|3类关系+口诀|Δ符号判断口诀（正→分岔等）|连接公式与根的情况，强化逻辑推理| |综合计算与实际问题|10+道典例|公式法规范步骤+实际建模|从计算到应用，培养模型意识与应用能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 公式法解一元二次方程 【知识点1 公式法：对一般形式用配方法推导求根公式】 公式法不是凭空来的，它就是配方法的一般化封装：把（为常数，且）当成带字母系数的方程走一遍配方流程，把重复的劳动变成可以直接代入的公式。 步骤 操作 式子 除 两边同除以a（） 移 常数项移右边 配 两边同加 写平方 左边完全平方，右边通分 判号开方 ∵，∴； 当时右边≥0，可开平方 解 移项 【知识点2 一元二次方程的求根公式】 对于一元二次方程（为常数，且），当时，它的根为： 用这个求根公式来解一元二次方程的方法，叫做公式法。 【知识点3 根的判别式（Δ）】 式子叫做一元二次方程（为常数，且）的根的判别式，通常用希腊字母Δ（读作“德尔塔”）表示： 这个名字的含义：它能判别（判断）方程有没有实数根、有几个根，而不需要把根真正算出来。 【知识点4 Δ与方程实数根情况的对应关系】 的符号 方程（）实数根情况 记忆口决 Δ＞0 两个不相等的实数根 正→分岔→两个不同 Δ＝0 两个相等的实数根（即） 零→合拢→两根重合 Δ＜0 没有实数根（实数范围内无解） 负→根号里负数→开不出来 注意： 1. Δ＝0时是“两个相等的实数根”，不是“一个根”。一元二次方程永远讨论两个根（含重合情形），预习阶段就要把这个说法钉牢。 2. “无实数根”≠“无解”的模糊表述，严谨写法：方程在实数范围内没有实数根。 题型01 公式法解一元二次方程（计算） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【详解】解：将原方程两边同乘，整理得 ，，， 判别式， 由求根公式得 ， ， 较小的实数根为， 又，，且， ，即， 不等式同减得； 因此较小的实数根在2和3之间． 3．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 4．（25-26九年级上·山东·期末）如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 5．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 6．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折．使得点落在边上的点处，折痕交于点，交于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出，设，再根据翻折的性质和勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴ 设， ∵将的锐角翻折．使得点落在边上的点处，折痕交于点，交于点， ∴ 在中，， ∴ 解得（不合题意，舍去） 即的长为． 7．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项、整理得：， 其中，， ， 代入一元二次方程求根公式，得 ， ∴，． 8．（2026·安徽安庆·二模）解方程： 【答案】， 【详解】解：整理得， ，，， ． ∴， ∴，． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 10．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 2．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段检测）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 3．（2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（3））直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和两点间距离公式，一元二次方程的解法，先将点代入直线表达式，得到与的关系，再利用两点间的距离公式列方程求解，最后计算所有之和即可． 【详解】解：由题可知， 直线经过点， 将代入直线， ， ， ， 令， 则， 令， 则， 解得：， 被两坐标轴截得的线段长为， ， 化简得， 即或， 解得：或或， 和为：． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程． 利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解方程得， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（22-23八年级上·广西贺州·期中）关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知点是在线段上，满足，若，则线段的长为_____． 【答案】 / 【分析】设的长为，根据线段和差关系用表示出的长，代入已知等式得到一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根，即可得到的长． 【详解】解：设， ∵点在线段上，， ∴， 将，代入得：， 展开整理得：， ∴， ∵，，不符合题意，舍去， ∴． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为，点，分别在边，上，连接．若四边形是正方形，且有，则矩形的周长为_____． 【答案】/ 【分析】先根据正方形性质得出，再根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴矩形的周长为：． 8．（25-26七年级下·河南·期中）按要求完成作答 (1)计算：， (2)用公式法解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ， ， 解得． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期中）在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． (1)一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； (2)小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第_步开始出错的，其错误原因是_． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1) (2)一，未将所给方程化为一般式 (3)正确过程见解析 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 当时，它的求根公式是x． （2）解：观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． （3）解：， ， ， 则， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩 暑假作业07公式法解一元二次方程 新知初探 【知识点1公式法：对一般形式用配方法推导求根公式】 公式法不是凭空来的，它就是配方法的一般化封装：把ar2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)当 成带字母系数的方程走一遍配方流程，把重复的劳动变成可以直接代入的公式。 步骤 操作 式子 除 两边同除以a(a≠0) x+Bx+C=0 a a 移 常数项移右边 x2+bx=-9 a 12 配 两边同加 b b2 + .c b2 2a 4a2 4a2=- a 4a2 写平方 左边完全平方，右边通分 b)2 b2-4ac x+ 2a 4a2 a≠0，.4a2>0: 判号开方 6 当b2-4ac≥0时右边≥0，可开平方 x+ =±VB-4ac 2a 2a 解 移项 x=-b±vB2-4ae 2a 【知识点2一元二次方程的求根公式】 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根为： x=-b±B2-4ac 2a 用这个求根公式来解一元二次方程的方法，叫做公式法。 【知识点3根的判别试（△）】 式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，且a≠0)的根的判别式，通常用希 腊字母△（读作“德尔塔”）表示： 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △=b2-4ac 这个名字的含义：它能判别（判断）方程有没有实数根、有几个根，而不需要把根真正算出来。 【知识点4△与方程实数根情况的对应关系】 △=b2-4ac的符号 方程ar2+br+c=0(a≠0)实数根情况 记忆口决 △>0 两个不相等的实数根 正→分岔→两个不同 △=0 两个相等的实数根（即x=x,=- b 零→合拢→两根重合 △<0 没有实数根（实数范围内无解） 负→根号里负数→开不出来 注意： 1. △=0时是“两个相等的实数根”，不是“一个根”。一元二次方程永远讨论两个根（含重合情形）， 预习阶段就要把这个说法钉牢。 2.“无实数根”≠“无解”的模糊表述，严谨写法：方程在实数范围内没有实数根。 基础检测 题型01公式法解一元二次方程（计算） 1.(24-25八年级下.浙江宁波·期中)用公式法解方程x2-3=5x时，a,b,c的值依次是() A.0,-3,5B.1,-3,5 C.1,5,-3 D.1,-5,-3 2.(25-26八年级下安微合肥期中)一元二次方程x2-3√万x+19=0的较小的实数根应在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 3.(25-26九年级下，河北廊坊·开学考试)若一元二次方程2x(x-)=1的两根是x,x3,则下列结论正确 的是() A.x1+x2<0B.x1-x2<0 C.x1x2>0 D.点<0 x 4.(25-26九年级上山东期末)如果关于x的一元二次方程mx2-3x+1=0的两根中恰有一个根大于-1而 小于0，则m的取值范围是() A.m>4 B.m>-4且m≠0C.m<4且m≠0D.m<-4 5.(2026山东菏泽·二模)已知x2+x=2+√2，则x=· 6.(25-26八年级下，安徽安庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=2V5,将它的锐角 A翻折.使得点A落在边BC上的点F处，折痕交AC于点D,交AB于点E,若CD=CF,则CD的长 为 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下·安微六安阶段检测)解方程：3x-x2=5x-7. 8.（2026安徽安庆二模)解方程：x2-6=-2x+1 9.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)解方程：3x(x-5)=10-2x 10.(25-26八年级下·吉林长春期中)解方程：3x2-4x-1=0, 小试牛刀 1,(25.26八年级下安徽准南阶段检测)下列一元二次方程的根可以根据-3±V3-4x2x1计算得出 2×2 的是() A.2x2+3x+1=0 B.2x2+3x-1=0 C.3x2+x-2=0 D.-2x2-x+3=0 2.(21-22八年级下·江苏无锡-阶段检测)用公式法解-x2+3x=1时，先求出a、b、C的值，则a、b、c 依次为() A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.1,-3,1 3.(2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(3))直线y=c+b经过点1,8)，且被两坐标轴截得的线段 长为5√5，则k的所有可能取值之和为() A.14 B.16 C.18 D.20 4.（25-26九年级上·江苏扬州期中)将关于x的一元二次方程x2-px+g=0变形为x2=px-g,就可以将 xX2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次的月的，又如x3=x·x2=x(px-q)=.,我们将这种方 法称为降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，己知：x2-2x-1=0,且 x<0,则x3+1的值为() A.√2-3 B.8-5W2 C.3+5V2 D.8-√2 5.(22-23八年级上·广西贺州期中)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c为互质的整 数)的两银分别是-4+-43，与-4仁--43，那么a=一 2 6.(25-26八年级下·上海阶段检测)已知点C是在线段AB上，满足BC=AC·AB,若AB=4,则线段 AC的长为， 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2026陕西西安模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD为6Cm,点E,F分别在边AD,BC上，连 接EF.若四边形ABFE是正方形，且有DE=B 则矩形ABCD的周长为cm. AB AD E 8.(25-26七年级下·河南期中)按要求完成作答 (1)计算： 1+1÷ x2-4 、x+1x2+2x+11 (2)用公式法解方程：2x2-5x+3=0, 9.(25-26八年级下·全国课后作业)小明在解方程x2-4x=2时出现了错误，解答过程如下： :a=1,b=-4,c=-2(第一步) ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2）=24(第二步) x=-4±V24 (第三步) 2 x=-2+V6,x2=-2-V6(第四步) (1)小明解答过程开始出错的是 ； (2)写出此题正确的解答过程. 10.(25-26八年级下·山东烟台·期中)在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，可以得到一元二次方程的求根公式. (1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的求根公式是x=,我们也 把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法： (②)小明在用公式法解方程x2-6x=5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第步 开始出错的，其错误原因是· 解：：a=1,b=-6,c=5(第一步) b2-4ac=(-6)2-4×1×5=16(第二步) x=6±16_6±4 2 (第三步) 2 x=5,x2=1（第四步) (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程. /