暑假预习：添加一个条件使四边形是正方形、证明四边形是正方形专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦正方形判定的两类核心问题，通过精选不同基础图形（平行四边形、矩形、菱形）的转化情境，系统覆盖添加条件与证明的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |添加一个条件使四边形是正方形|例1（平行四边形）、例3（矩形）|选择/填空，从平行四边形、矩形、菱形出发补充判定条件|基于正方形是特殊矩形+菱形的双重属性，构建“基础图形→补充条件→正方形”的判定路径| |证明四边形是正方形|例1（菱形证正方形）、例2（矩形证正方形）|解答题，需先证矩形/菱形再证另一特征|遵循“先证平行四边形→证矩形/菱形→证邻边相等/直角”的递进推理逻辑，强化判定定理的综合应用|

暑假预习：添加一个条件使四边形是正方形、证明四边形是正方形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是正方形、证明四边形是正方形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是正方形 证明四边形是正方形 考点一 添加一个条件使四边形是正方形 例1．（25-26八年级下·福建宁德·期末）已知平行四边形，，则下列条件中，能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是菱形． 、、均为菱形的性质． 若，则菱形为正方形． 即能判定四边形为正方形的是C． 例2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，再结合正方形的判定定理分析各选项，用到等腰梯形的性质、矩形和正方形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∵， ∴， 由四边形内角和定理可得， A、若，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴邻边相等的矩形是正方形，符合要求； B、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形； C、若，结合可得四边形是平行四边形，又，仅能推出是菱形，无法推出是正方形； D、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形． 例3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件_____时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 点是线段的中点， ． 在和中， ， ∴， ， ∵在中，，点是的中点， ，， ， ∵在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； (2)当再具备条件时，四边形是正方形， 理由：，，， ， 又平行四边形是矩形， 平行四边形是正方形． 【分析】（1）先证明，得出，再由等腰三角形的性质可得，，从而可得，，最后结合矩形的判定定理即可得证； （2）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）略； （2）略． 例4．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2）解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3）解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，不能使矩形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可 ． 【详解】解：对于A选项，四边形是矩形， ∴当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故A不符合题意； 对于B选项，四边形是矩形， ，，， 恒成立，无法判定四边形是正方形，故B符合题意； 对于C选项，四边形是矩形， ∴当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故C不符合题意； 对于D选项，四边形是矩形， ， 若，则， ，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故D不符合题意． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 变式3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法． （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 变式4．（25-26八年级下·山西长治·阶段检测）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，可证得四边形是平行四边形，即可； （2）证明，可得，可证得四边形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，从而得到，即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解： ， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 考点二 证明四边形是正方形 例1．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）在与中，，，、相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 据（1）可知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）先由两组对边平行证得平行四边形，再用证两个直角三角形全等，推出一组邻边相等，得平行四边形为菱形； （2）由得等腰直角三角形，然后根据全等三角形得，进而算出，证得四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）解：先根据正方形性质和勾股定理求出，进而可得是等腰三角形，求，再根据，得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：∵四边形的正方形． ∴，， 又∵ ． ∵， ∴ ∴， ∵在矩形中，， ． 例3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或3 【分析】（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据，得，，则， 在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 变式1．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在中，边，上的中线，相交于点H，点G，F分别为，的中点，连接，，，．    (1)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，，，，可得四边形是平行四边形，再证明，可得是菱形． （2）证明，可得，，再证明，可得四边形为正方形． 【详解】（1）解：菱形．理由如下： ∵点D，E分别为，的中点， ∴，． 同理，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵点E，F分别为，的中点， ∴． ∵， ∴． ∴是菱形． （2）∵， ∴， ∵，分别为，边上的中线， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点G，F分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形，菱形，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形，菱形，正方形的判定方法是解本题的关键． 变式2．（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图所示，点是矩形的边上任意一点，过点作交的延长线于点，．    (1)求证：矩形是正方形； (2)判断线段与线段，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据正方形的性质，得到，全等三角形的性质，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是矩形 ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴矩形是正方形． （2）∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴． 变式3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形是菱形，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，，点在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是正方形． (2)求证：． (3)以下与线段有关的三个结论： ，， ．你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ， ． 又， ， ∴菱形是正方形． (2)证明：∵四边形是正方形， ， ． ， ， ． 又∵， ， ， ． (3)解：正确． 理由如下：过点作交于点，如图，则． ∵四边形是正方形， ∴，， ，， ， ， ， ∵， ． ∵，， ∴， ∵， ， ． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 【分析】（1）证明，即可证明菱形是正方形； （2）证明，得到，，再证明，即可得到结论； （3）过点作交于点，证明，得到．证明，根据即可得证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：添加一个条件使四边形是正方形、证明四边形是正方形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是正方形、证明四边形是正方形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是正方形 证明四边形是正方形 考点一 添加一个条件使四边形是正方形 例1．（25-26八年级下·福建宁德·期末）已知平行四边形，，则下列条件中，能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件_____时，四边形是正方形，请说明理由． 例4．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，不能使矩形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 变式4．（25-26八年级下·山西长治·阶段检测）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 考点二 证明四边形是正方形 例1．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）在与中，，，、相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求证：四边形是正方形． 例2．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 例3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 变式1．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在中，边，上的中线，相交于点H，点G，F分别为，的中点，连接，，，．    (1)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是正方形． 变式2．（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图所示，点是矩形的边上任意一点，过点作交的延长线于点，．    (1)求证：矩形是正方形； (2)判断线段与线段，之间的数量关系． 变式3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形是菱形，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，，点在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是正方形． (2)求证：． (3)以下与线段有关的三个结论： ，， ．你认为哪个正确？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $