暑假预习：添加一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦菱形判定的条件添加与证明，通过分层题型构建从性质到判定的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |添加条件使四边形是菱形|5例+5变式|以平行四边形为基础，逆向考查邻边相等、对角线垂直等判定条件|从平行四边形性质出发，构建“性质→判定”逆向推理链，覆盖中点、对角线等情境| |证明四边形是菱形|3例+3变式|结合作图、平行四边形性质、角平分线等综合证明，需正向应用判定定理|从一般四边形到特殊平行四边形，形成“定义→判定定理→综合应用”的递进逻辑，融合计算与推理|

暑假预习：添加一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是菱形 证明四边形是菱形 考点一 添加一个条件使四边形是菱形 例1．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 例2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平行四边形的顶点E在边上，连接、．添加一个条件，可以使四边形成为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，推导与的位置和数量关系，再根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形逐一验证即可． 【详解】在中，四边形是平行四边形， ∴（即），且； 选项A：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项B：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项C：若，由得， ∴ 在中，，， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形，符合题意； 选项D：若，由平行四边形得， ∴，仅能说明是等腰直角三角形，不能推出是菱形，不符合题意． 例3．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 例4．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 例5．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，理由如下： ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 变式1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 变式2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 变式3．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 变式4．（25-26八年级下·天津蓟州·期末）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形， ∴可添加的条件为（答案不唯一）. 变式5．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 考点二 证明四边形是菱形 例1．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)证明：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，点E为线段的中点． (1)连接，请只用不带刻度的直尺过E点作，与交于点F，不写作法，保留作图痕迹． (2)若，证明：是菱形． 【答案】(1) (2)证明：∵为的中位线， 是菱形． 【分析】（1）连接交于点F，连接即可； （2）根据中位线定理得到，进而可知，即可证明是菱形． 【详解】（1）解：作图略； 证明：根据平行四边形的性质可知F为中点， ∵点E为线段的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）略． 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E点在的延长线上，的长为的一半，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 的长为的一半， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）利用菱形的性质易证明是等边三角形，根据勾股定理求出长，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略； （2）在中，， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、、、、， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积为． 变式1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴ 变式2．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)18 【分析】（1）先利用等边对等角、平行线的性质证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）如图：过点F作交于G，则，由菱形的性质以及等边对等角可得、；利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点F作交于G，则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 变式3．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，结合D为中点，可证，即可结合证明结论； （2）过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H，先求出，，根据勾股定理可求得，再分别求出，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，D为中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H， 为中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：添加一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形专项训练 暑假预习：添加一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形专项训练 考点目录 添加一个条件使四边形是菱形 证明四边形是菱形 考点一 添加一个条件使四边形是菱形 例1．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，平行四边形的顶点E在边上，连接、．添加一个条件，可以使四边形成为菱形的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 例4．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 例5．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 变式1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 变式4．（25-26八年级下·天津蓟州·期末）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可） 变式5．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 考点二 证明四边形是菱形 例1．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，点E为线段的中点． (1)连接，请只用不带刻度的直尺过E点作，与交于点F，不写作法，保留作图痕迹． (2)若，证明：是菱形． 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E点在的延长线上，的长为的一半，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 变式1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 变式3．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $