5.4.2角平分线的性质与判定的应用课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质与判定的应用及三角形内心性质，课堂导入通过回顾性质（角平分线+垂直得等距）和判定（等距+垂直证角平分线）定理，搭建新旧知识桥梁，为综合应用与拔高训练提供学习支架。 其亮点是题型梯度清晰，融合实际选址问题与多步几何证明，以“遇角平分线作垂线”辅助线口诀强化数学思维，通过面积模型、内心模型培养几何直观与推理意识，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 5.4.2角平分线的性质与判定的应用 第5章 直角三角形 湘教版八年级数学5.4.2 角平分线的性质与判定的应用同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学5.4.2角平分线的性质与判定的应用专项编写，是上一节基础定理的拔高实操内容。本节课不再单纯考查定理背诵，重点训练定理综合应用、三角形内心性质、几何等量代换、实际选址问题、多步推理证明，核心解题思维：遇角平分线、作垂直得等距；遇等距垂直、证角平分线，规避不会作辅助线、内心性质混淆、证明步骤断层、实际模型不会转化等高频扣分点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何拔高与单元压轴训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的（） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 2. 三角形内心的性质是（） A. 到三角形三个顶点距离相等 B. 到三角形三边距离相等 C. 在三角形外部 D. 平分三角形边长 3. 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，若S△ABC=30，DE=DF=3，则AB+AC的长为（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 到三角形三边距离相等的点的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，下列结论不一定成立的是（） A. PA=PB B. OA=OB C. OP平分∠APB D. AB垂直平分OP 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 三角形的内心在三角形________（填“内部”或“外部”）。 7. 实际选址问题中，到两条相交道路距离相等的点，在两条道路夹角的________上。 8. 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为________。 9. 若三角形内心到一边的距离为4，则该内心到另外两边的距离均为________。 10. 角平分线应用的核心辅助线做法：过角平分线上一点，向角两边作________。 三、解答题（共60分） 11. 基础应用计算（每题6分，共24分） （1）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABD=12，AB=6，求DF的长； （2）Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=4，求点D到AB的距离； （3）已知点P是△ABC内部一点，且到三边距离相等，若∠A=70°，求∠BPC的度数； （4）两条公路相交成70°角，现要在夹角内部建一个加油站，使加油站到两条公路距离相等，求加油站与顶点连线平分的角度。 12. 几何综合证明（每题8分，共16分） （1）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点P，求证：点P在∠BAC的平分线上； （2）已知：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF。 13. 压轴综合应用（每题10分，共20分） （1）面积综合题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10，AC=8，DE=4，求△ABC的面积； （2）实际应用题：某地有三条两两相交的公路，现要建一个物资中转站，使中转站到三条公路的距离相等，请说明中转站的位置并阐述依据。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：三角形三条角平分线交点为内心。 2.B 解析：内心核心性质：到三角形三边距离相等。 3.B 解析：S△ABC=S△ABD+S△ACD=$$\frac{1}{2}AB·3+\frac{1}{2}AC·3=30$$，解得AB+AC=20。 4.D 解析：三角形内部1个内心，外部3个旁心，共4个点到三边所在直线距离相等。 5.D 解析：可证△OPA≌△OPB，得PA=PB、OA=OB、OP平分∠APB，但AB不一定垂直平分OP。 二、填空题 6. 内部 7. 角平分线 8. 3 解析：CD=BC-BD=3，角平分线性质得点D到AB距离=CD=3。 9. 4 解析：内心到三边距离相等。 10. 垂线段 三、解答题 11. 解： （1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， 由S△ABD=$$\frac{1}{2}AB·DE=12$$，代入AB=6，得DE=4，∴DF=4； （2）∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），∴点D到AB距离=CD=4； （3）∵P为△ABC内心，∴PB、PC平分∠B、∠C， ∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∠PBC+∠PCB=55°， ∠BPC=180°-55°=125°； （4）到两条公路距离相等的点在夹角平分线上，可将70°角分为两个35°角。 12. 证明： （1）过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC，垂足分别为D、E、F， ∵PB平分∠ABC，∴PD=PE， ∵PC平分∠ACB，∴PE=PF， ∴PD=PF，又PD⊥AB、PF⊥AC， 根据角平分线判定定理，点P在∠BAC的平分线上。 （2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中，$$\begin{cases}AD=AD\\DE=DF\end{cases}$$， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF， 又DE=DF，∴AD垂直平分EF。 13. 解： （1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4， S△ABD=$$\frac{1}{2}×10×4=20$$，S△ACD=$$\frac{1}{2}×8×4=16$$， S△ABC=20+16=36。 （2）位置：三条公路围成三角形的内心和三个旁心，共4个位置。 依据：①三角形内角平分线交点（内心）到三边距离相等； ②三角形任意两个外角平分线与一个内角平分线交点（旁心）到三边所在直线距离相等，共4个点满足条件。 核心知识点与满分易错总结 1. 本节三大必考应用模型 ① 面积模型：角平分线分三角形为两个小三角形，高相等（垂线段相等），面积比等于底边长之比； ② 内心模型：三角形内心是三角平分线交点，唯一在内部，到三边距离相等； ③ 选址模型：两线夹角等距点在角平分线上，三线等距点为内心、旁心。 2. 万能辅助线口诀 遇角平分线，两端作垂线；等距证平分，垂直得等边。 3. 高频扣分点 ① 忘记作垂直辅助线，无法使用角平分线定理； ② 混淆内心（到三边等距）和外心（到三顶点等距）； ③ 三线选址问题只答内心，遗漏3个旁心，答案不完整； ④ 面积计算忽略两个小三角形面积求和，单独计算出错。 回顾导入 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 思考：在三角形内，角的平分线有哪些性质？ 推进新课 如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE = S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗？ 由于S△BDE = S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上. 如图，已知EF⊥CD 于点E ，EF⊥AB 于点F ，MN⊥AC 于点N ，M 是 EF 的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB 的平分线呢？ 解：可以添加条件___________. MN = MF ？ MN = ME 因为ME⊥CD，MN⊥CA， MN = ME . 所以点M 在∠ACD 的平分线上，即 CM 是∠ACD 的平分线. 又M 是 EF 的中点，则MF = ME = MN. 同理可证 AM 是∠CAB 的平分线. 例2 如图， 在△ABC的外角∠CAD 的平分线上任取一点P，作 PE⊥DB， PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE + PF 与 PB 的大小关系. 解：因为AP 是∠CAD 的平分线， 又PE⊥DB，PF⊥AC， 所以 PE = PF. 在△EBP 中，BE + PE > PB， 因此 BE+ PF > PB. 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等. A B C 思考 如何才能在三角形内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？ 可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等. 所求作的点应在△ABC 中任意两个内角的角平分线上. A B C P 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A 与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点. 求证：点P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等. 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等. 在△ABC 中分别作∠BAC 与∠ABC 的平分线，它们交于点P，如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP 是∠BAC 的平分线，PD ⊥ AB，PE ⊥AC，所以PD = PE. 因为BP 是∠ABC 的平分线，PD ⊥ AB，PF ⊥ BC，所以PD = PF. 故PD = PE = PF，因此P 为所求作的点. 在△ABC 中分别作∠BAC 与∠ABC 的平分线，它们交于点P，如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F. 思考：点 P 在∠ACB 的角平分线上吗？ 因为PD = PE = PF ，PE⊥AC，PF⊥BC， 所以CP 是∠ACB 的平分线， 故三角形三个角的角平分线经过一点，点P . 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 知识点 角平分线的性质与判定的应用 （第1题） 1.学校一角围墙的形状如图所示，其中，， 表 示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点 修建一座 朗读亭，使点到三面墙的距离都相等，则点 在( ) D A.（连接，）线段， 的交点处 B.线段， 垂直平分线的交点处 C.线段， 垂直平分线的交点处 D.， 的平分线的交点处 返回 中考考法 12 2.如图，点到三边的距离相等，则 _____；若 ，则 ______. （第2题） 返回 中考考法 13 3.［2025长沙月考］如图， ，是的中点， 平分 ，且 ，则 _____. （第3题） 返回 中考考法 14 4.如图，是的三条角平分线的交点，连接，， ，若 ，，的面积分别为，，，则___ . （填“ ”“”或“ ”） （第4题） 返回 中考考法 15 5.［2025怀化期中］如图，已知为 的平分 线，点在上，于，于 ， 且.求证： . 证明：因为，，且 ， 所以.因为平分，所以 ，在 和 中， 所以 ，所以 . 返回 中考考法 16 6.如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物 流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可 以选择的地址有( ) D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 返回 中考考法 17 （第7题） 7.如图，在中，，分别平分 和 ，于点，.若 的面积 为94，则 的周长为____. 47 返回 中考考法 18 8.如图，在中，，的平分线相交于点，连接 并延 长，交于点，于点，若 ， ，则 ___ . 6 （第8题） 返回 中考考法 19 课堂小结 角平分线的性质与判定 判定 作用 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 判断一个点是否在角的平分线上 $