第5章 直角三角形 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学单元复习课件系统梳理了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定及应用等核心内容，通过选择填空解答题的梯度设计，将斜边中线、30°角性质、HL判定等知识点串联，帮助学生构建完整的几何知识网络。 其亮点在于融入生活情境与实践探究，如大树折断、购物车距离等问题培养数学眼光，通过折叠证明、面积法证勾股定理发展推理能力。分层题目设计兼顾基础与提升，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·XJ 第5章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　C　) A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ， ，2 D. 1，2，2 2. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则以 下判断正确的是(　D　) A. BC＝2CD B. CD＝2AB C. AC＝2CD D. CD＝BD C D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 如下图，P为∠AOB内一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，连接OP，可通过证明△POC≌△POD得∠AOP＝∠BOP. 适用的判定定理是(　D　) A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 斜边、直角边 第3题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 如上图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB， ∠B＝39°，则∠1的度数为(　B　) A. 39° B. 51° C. 38° D. 52° 第4题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如上图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D， E，AE＝2，则CE的长为(　A　) A. 1 B. C. D. 第5题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如下图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m的点C处，则大树折断前的高度是(　D　) A. 9m B. 14m C. 11m D. 10m 第6题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 如上图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD； ③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP∶AB＝(　D　) A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶ D. 1∶ 第7题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如上图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是(　C　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第8题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 新情境 生活应用 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如下图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为2 cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为(　B　) B A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 第9题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如上图，在4×4的正方形网格中，每个小正方 形边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A，B， C，D，E，F都在格点上，若以AB，CD，EF为 边能构成一个直角三角形，则点F的位置有(　D　) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 第10题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边上的中线CD ＝3，则斜边AB的长是 ⁠. 12. 如下图，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△ABC，你添加的条件是 ⁠ ⁠. 6　 AD＝AC (答案不唯一)　 第12题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 如上图，A代表的是所在的正方形的面积，则 A的值是 ⁠. 第13题图 225　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如上图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到直线 AB的距离是 cm. 第14题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 在△ABC中，已知∠A＝30°，AC＝8，BC＝ 5，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A，C，再用BC长确定顶点B时，作出了如下图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为 ⁠. 第15题图 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如上图，系在旗杆顶端用来升旗的绳垂直落地 后还剩余1m，若将绳子拉直，绳子末端离旗杆底端 的距离(BC)为5m，则该旗杆的高度为 m. 第16题图 12　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. 将一副三角尺按如上图所示的方式叠放在一起，若AB＝14cm，则图中阴影部分的面积是 ⁠. 第17题图 cm2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. 我国古代数学中有这样一道数学题：如右图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺(注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺). 15　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共66分) 19. (6分)如下图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D 为垂足，∠C＝55°，求∠ABC的度数. 解：因为CD⊥BD，所以∠D＝90°. 因为∠C＝55°， 所以∠CBD＝90°－55°＝35°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠CBD＝70°.(6分) 解：因为CD⊥BD，所以∠D＝90°. 因为∠C＝55°， 所以∠CBD＝90°－55°＝35°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠CBD＝70°.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (6分)如下图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，CD是AB边上的 中线，将△ADC沿AC边所在的直 线折叠，使点D落在点E处，得到 四边形ABCE. 求证：EC∥AB. 证明：因为CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°， 所以CD＝AD. 所以∠CAD＝∠ACD. (3分) 又因为△ACE是由△ACD沿AC边所在的直线折叠而成， 所以∠ECA＝∠ACD. 所以∠ECA＝∠CAD. 所以EC∥AB. (6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (8分)如下图，在四边形ABCD中，已知AB＝10，BC＝6，AD＝8，CD＝8 ，且AC⊥BC于点C. 求： (1)AC的长； 解：(1)因为AB＝10，BC＝6，AC⊥BC， 所以AC＝ ＝8.(4分) 解：(1)因为AB＝10，BC＝6，AC⊥BC， 所以AC＝ ＝8.(4分) (2)∠BCD的度数. 解：(2)因为AD＝8，AC＝8，CD＝8 ， 所以CD2＝AD2＋AC2.所以∠CAD＝90°. 又因为AD＝AC＝8，所以∠ACD＝∠ADC＝45°. 所以∠BCD＝90°＋45°＝135°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (8分)如下图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4， BC＝5. (1)直接写出△ABC的形状是 ；(2分) 直角三角形　 (2分) (2)若P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP， 求AP的长. 解：在Rt△ABP中，∠A＝90°， 所以AB2＋AP2＝BP2. 因为BP＝CP，AP＋CP＝AC＝4，AB＝3， 所以32＋AP2＝(4－AP)2.所以AP＝ .(8分) 解：在Rt△ABP中，∠A＝90°， 所以AB2＋AP2＝BP2. 因为BP＝CP，AP＋CP＝AC＝4，AB＝3， 所以32＋AP2＝(4－AP)2.所以AP＝ .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (8分)新情境 购物车 下图①是超市的儿童玩具购物车，下图②为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24 cm，BC＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离.(结果保留整数) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E， 则CE的长即点C到AB的距离. 在△ABC中，因为AC＝24，CB＝18，AB＝30， 所以AC2＋BC2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900. 所以AC2＋BC2＝AB2. 所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. 因为S△ABC＝ AC·BC＝ CE·AB， 所以AC·BC＝CE·AB， 即24×18＝CE×30.所以CE＝14.4≈14(cm). 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E， 则CE的长即点C到AB的距离. 在△ABC中，因为AC＝24，CB＝18，AB＝30， 所以AC2＋BC2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900. 所以AC2＋BC2＝AB2. 所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. 因为S△ABC＝ AC·BC＝ CE·AB， 所以AC·BC＝CE·AB， 即24×18＝CE×30.所以CE＝14.4≈14(cm). 答：点C到AB的距离约为14cm.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (8分)如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF. 求证： (1)CF＝EB； 证明：(1)因为AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DC⊥AC， 所以DE＝DC. (2分) 在Rt△DCF和Rt△DEB中， 所以Rt△DCF≌Rt△DEB(斜边、直角边). 所以CF＝EB. (4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF. 求证： (2)AB＝AF＋2EB. 证明：(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， 所以Rt△ADC≌Rt△ADE(斜边、直角边). 所以AC＝AE. (6分) 所以AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB. (8分) 证明：(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， 所以Rt△ADC≌Rt△ADE(斜边、直角边). 所以AC＝AE. (6分) 所以AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF ＋CF＋EB＝AF＋2EB. (8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25. (10分)如下图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M，N 分别是边BD，AC的中点. (1)求证：MN⊥AC； (1)证明：如图，连接AM，CM. 因为∠DAB＝∠DCB＝90°，点M是BD的中点， 所以AM＝ BD，CM＝ BD. 所以AM＝CM. 因为点N是AC的中点， 所以MN⊥AC. (5分) 26 25 如下图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M，N (2)当AC＝30cm，BD＝34cm时，求MN的长. (2)解：因为BD＝34cm， 所以AM＝CM＝ BD＝17cm. 因为AC＝30cm，所以AN＝ AC＝15cm. 由(1)知MN⊥AC， 所以MN＝ ＝ ＝ 8(cm).(10分) (2)解：因为BD＝34cm， 所以AM＝CM＝ BD＝17cm. 因为AC＝30cm，所以AN＝ AC＝15cm. 由(1)知MN⊥AC， 所以MN＝ ＝ ＝8(cm).(10分) 26 25 26. (12分)综合与实践 [背景介绍]下图①是著名的赵爽弦图，由四个全等 的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路 是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另 一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积 之和，即 ab×4＋(b－a)2，从而得到等 式c2＝ ab×4＋(b－a)2，化简便得结论 a2＋b2＝c2.这里用两种求法来表示同一 个量从而得到等式或方程的方法，我们 称之为“双求法”. 26 25 [方法运用]把两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如上 图②放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝ ∠DEA＝90°，显然BC⊥AD. (1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC、梯形 AEDC、△EBD的面积，再探究这三个图形面积之 间的关系，证明勾股定理a2＋b2＝c2. 26 25 (1)证明：因为S四边形ABDC＝ c2，S梯形AEDC＝ (b＋ a)b， S△BED＝ (a－b)a，S四边形ABDC＝S梯形AEDC＋ S△BED， 所以 c2＝ (b＋a)b＋ (a－b)a. 所以 c2＝ b2＋ ab＋ a2－ ab. 所以a2＋b2＝c2.(4分) (1)证明：因为S四边形ABDC＝ c2，S梯形AEDC＝ (b＋a)b， S△BED＝ (a－b)a，S四边形ABDC＝S梯形AEDC＋S△BED， 所以 c2＝ (b＋a)b＋ (a－b)a. 所以 c2＝ b2＋ ab＋ a2－ ab. 所以a2＋b2＝c2.(4分) 26 25 [方法迁移]请利用“双求法”解决下面的问题： (2)如上图③，在6×6的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点，可得 △ABC，则△ABC中AB边上的高为 .(7分) 　 (7分) 26 25 (3)如上图④，在△ABC中，AD是BC边上的高， AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值. (3)解：在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝42－x2. 因为BD＋CD＝BC＝6，所以CD＝6－x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2－CD2＝52 －(6－x)2， 所以42－x2＝52－(6－x)2.所以x＝ .(12分) (3)解：在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝42－x2. 因为BD＋CD＝BC＝6，所以CD＝6－x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2＝AC2－CD2＝52－(6－x)2， 所以42－x2＝52－(6－x)2.所以x＝ .(12分) 26 25 $