5.4角平分线的性质（第2课时角平分线性质的应用）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质定理及其逆定理的应用，通过问题导入回顾旧知，以“说一说”“思考分析”等学习支架，引导学生从性质回顾过渡到实际应用，构建新旧知识的逻辑脉络。 其亮点在于以“新知探究”问题链和“典例分析”培养学生推理能力与几何直观，如例2通过转化线段利用三角形三边关系推理，小结用数学语言系统梳理性质。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供从导入到应用的完整教学方案，便于高效备课。

湘教版2024·八年级上册 5.4角平分线的性质 第2课时 角平分线性质的应用 第5章 直角三角形 导入新课 问题引入 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 2.叙述角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 O C B 1 A 2 P D E 学 习 目 标 1 2 掌握角平分线性质定理及其逆定理.（重点） 能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明（难点） 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC, AB，AC边上的点.若BE=CF，S∆BDE=S∆CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗? 新知探究 说一说 新知探究 思 考 如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点.需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢? CM为∠ACD的平分线 分析： 根据条件需MN=EM AM为∠CAB的平分线 根据条件需MN=FM 已知EM=FM 需要添加一个什么条件? MN=EM MN=FM 新知探究 添加条件MN=MF可以吗？ 若添加MN=EM 因为ME⊥CD，MNLAC,MN=ME, 所以点M在∠ACD的平分线上， 即CM是∠ACD的平分线. 又M是EF的中点，则MF=ME=MN. 同理可证AM是∠CAB的平分线. 典例分析 例2 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 分析： BE+PF 必须把BE、PF转化到一条线段上或一个三角形中 根据题意可以将PF转化成PE BE、PE、PB是一个三角形的三边 典例分析 解 因为AP是∠CAD的平分线， 又PE⊥DB，PF⊥AC， 所以PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB, 因此BE+PF>PB. 新知探究 做一做 任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等. A B C P N M D E F 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 根据题意可知点P在∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线上 找点P，只要画△ABC中任意两个内角的角平分线 在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P 这个点P为什么到三边的距离相等呢？ 新知探究 A B C P N M D E F 证明.过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， 所以PD=PE. 因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC, 所以PD=PF. 故PD=PE=PF， 因此P为所求作的点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 新知应用 基础巩固题 1.如图1.4-13，已知是 的角平分线，， 分别是和 的高，，， 则点到直线 的距离为___. 2.如图1.4-6，在中， ， ，是的平分线，设 ， 的面积分别为，，则 ( ) ． A A. B. C. D. 新知应用 基础巩固题 3.如图，点是 的内角平分线的交点， ，，，，则 等于( ) ． A A.2 B.3 C.1 D.4 4.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是(　　)    A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2    C．∠1＜∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系 B 新知应用 基础巩固题 6.如图，已知是的平分线，是 的 外角的平分线，由点出发，分别作点到， 和 的垂线，和，垂足分别为点，， ，则 ，， 的关系是_______________. 5.如图 ，平分，交 于点 ，，垂足为点.若，则 的长为 ( ) . A.2 B. C.4 D. C 新知应用 基础巩固题 7.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D， 求证:(1) ∠ECD= ∠EDC; (2) OC=OD. 证明:(1)因为E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA ,ED⊥OB 所以EC=ED(角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 所以∠ECD=∠EDC(等边对等角). (2)在Rt△COE和Rt△DOE 中， OE =OE(公共边)， CE=DE(已证)， 所以 Rt△COE≌Rt△DOE(HL).所以OC=OD. 新知应用 基础巩固题 8.如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE. M ∵ AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM (HL) 证明： 在作CM⊥AB，垂足为M ∴ CD = CM， ∴ CE = CM. ∵ BC平分∠ABE，AD⊥DE，CM⊥AB ∴ AD = AM 同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM， ∴ AB=AD+BE. 新知应用 能力提升题 9、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　 A B C D E F 新知应用 能力提升题 10．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半． 新知应用 能力提升题 课堂小结 角平分线 性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 感谢聆听! 【分析】本题利用角平分线的性质， 证S△ABC＝S△ACD，S△AEC＝S△CDF， 从而得到结论． 解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥AD于点H. ∵AC为∠BAD的平分线，∴CG＝CH.∵AB＝AD， ∴S△ABC＝S△ACD＝S四边形ABCD.又∵AE＝DF，∴S△AEC＝S△CDF. ∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△CDF＋S△ACF＝S△ACD＝S四边形ABCD， 即四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半． $