5.4.1角平分线的性质与判定课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质与判定，通过回顾角平分线概念、尺规作图及动手折叠探究，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解定理的形成过程。 其亮点在于结合动手操作培养几何直观，通过规范证明过程发展推理意识，表格小结对比性质与判定的条件结论，助力学生掌握互逆关系。学生能提升几何推理与应用能力，教师可获得系统教学资源及易错点指导，提升教学效率。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 5.4.1角平分线的性质与判定 第5章 直角三角形 湘教版八年级数学5.4.1 角平分线的性质与判定同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学5.4.1角平分线的性质与判定专项编写，是几何证明、距离计算、尺规作图应用的核心必考内容。本节课重点掌握角平分线的性质定理（由线得距相等）和角平分线的判定定理（由距相等得线平分角），区分两大互逆定理的因果关系，熟练解决距离求值、角度计算、几何证明、实际选址问题，规避定理混用、遗漏垂直距离条件、因果倒置等高频扣分点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何推理训练与单元检测。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的性质定理的核心内容是（） A. 角平分线平分对边 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到角两边距离相等的点在角平分线上 D. 角平分线互相垂直 2. 判定一条射线是角平分线的依据是（） A. 射线过角的顶点 B. 射线将角分成两个角 C. 射线上的点到角两边距离相等 D. 射线在角内部 3. 已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 4. 点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，则下列结论正确的是（） A. OP平分∠AOB B. OA=OB C. ∠AOB=90° D. PM∥PN 5. 下列说法错误的是（） A. 角平分线是射线 B. 性质定理是“知平分线，得距相等” C. 判定定理是“知距相等，得平分线” D. 点到角两边的线段相等即可用性质定理 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 性质定理：角平分线上的点到________的距离相等。 7. 判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的________上。 8. 若OC平分∠AOB，点P在OC上，且点P到OA的距离为6，则点P到OB的距离为________。 9. 点P在∠AOB内部，到OA、OB的距离相等，若∠AOB=80°，则OP平分∠AOB，可得∠AOP=________°。 10. 三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等。 三、解答题（共60分） 11. 基础计算应用（每题6分，共24分） （1）已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=9，求PN的长； （2）点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC，PD=PE，∠ABC=70°，求∠ABP的度数； （3）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=4，求DF的长； （4）∠AOB=90°，OP平分∠AOB，点P到OA的距离为3，求点P到OB的距离。 12. 规范定理证明（每题8分，共16分） （1）证明角平分线的性质定理； （2）证明角平分线的判定定理。 13. 综合几何证明（每题10分，共20分） （1）已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF； （2）已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：A为性质定理，C为判定定理，区分核心因果关系。 2.C 解析：利用距离相等的判定条件，可证射线为角平分线。 3.C 解析：角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=5。 4.A 解析：角内部到两边距离相等的点，在角平分线上。 5.D 解析：必须是垂线段距离相等，普通线段相等不满足定理条件。 二、填空题 6. 角两边 7. 平分线 8. 6 解析：角平分线性质，两边垂线段距离相等。 9. 40 解析：OP为角平分线，平分80°的角。 10. 三边 三、解答题 11. 解： （1）∵OC平分∠AOB，P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PN=PM=9； （2）∵PD⊥AB，PE⊥BC，PD=PE，∴BP平分∠ABC，∠ABP=$$\frac{1}{2}$$×70°=35°； （3）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4； （4）∵OP平分∠AOB，∴点P到OB距离=到OA距离=3。 12. 证明： （1）性质定理证明： 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N。 求证：PM=PN。 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POM=∠PON， ∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°， 在△POM和△PON中，$$\begin{cases} \angle PMO=\angle PNO \\ \angle POM=\angle PON \\ OP=OP \end{cases}$$ ∴△POM≌△PON（AAS），∴PM=PN。 （2）判定定理证明： 已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN。 求证：OP平分∠AOB。 证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°， 在Rt△POM和Rt△PON中，$$\begin{cases} OP=OP \\ PM=PN \end{cases}$$ ∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM=∠PON， ∴OP平分∠AOB。 13. 证明： （1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴DE=DF。 （2）∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴点P到∠AOB两边的垂线段PM、PN相等， 根据角平分线的判定定理，角内部到两边距离相等的点在角平分线上， ∴OP平分∠AOB。 核心知识点与满分易错总结 1. 两大互逆必考定理（必背） 性质定理（正用）：已知角平分线 ⇒ 两边垂线段距离相等 判定定理（逆用）：已知角内两边垂线段距离相等 ⇒ 射线为角平分线 2. 解题必备前提条件 使用两大定理必须有垂直，即点到角两边的垂线段，普通线段相等无效。 3. 高频扣分点 ① 无垂直条件直接用定理，步骤直接扣分； ② 性质与判定因果倒置，证明题混用依据； ③ 忽略“角的内部”，外部点距离相等不满足角平分线判定； ④ 混淆“线段相等”和“垂线段距离相等”。 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 回顾导入 O B A 尺规作角的平分线 M N C 观察领悟作法，探索思考证明方法： 画法： 1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2.分别以M，N为圆心．大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 3.作射线OC． 射线OC即为所求． 动动手: 将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母: ①将∠AOB对折，记折痕为OC ； ②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形； ③展开，观察分析. 推进新课 A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 交流探究 问题一：折痕分得的两个角的大小有什么关系？ 问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系？它们的长度有什么关系？ 问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗？ 问题四：你能证明你的结论吗？ A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 如图，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P，作PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 若将∠AOB 沿角平分线OC 折叠，则可以发现点D 与点E 重合，因而PD与PE 重合，即PD = PE. P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 A D O P C E B 证明：因为PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E， 所以∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， 所以△PDO ≌ △PEO（角角边）. 因此 PD = PE. 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 这个点到这个角两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言： 文字语言： 角平分线性质定理： 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件： 结论： 点在这个角的角平分线上 这个点到角的两边的距离相等 逆命题： 如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ C A B O D E P 如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 证明：如图，过点O，P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP， PD = PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） ∴∠AOC =∠BOC 因此OC是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线OC上. A B O D E P C 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： 文字语言： 角的平分线的判定定理： C A B O D E P 位置关系 数量关系 如图，∵P 为∠AOB 内部一点， PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. 证明：（1）在△ABC中， 因为∠1 =∠2，所以BA = BC. 又BA⊥AD， BC⊥CD， 所以点B 在∠ADC 的平分线上. 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. （2）在Rt△BAD 和Rt△BCD 中， BA = BC， BD = BD， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD =∠CBD， 从而 BD 平分∠ABC. 知识点1 角平分线的性质定理 1.如图，平分，于点，于点，若 ， 则 的长为( ) B （第1题） A.1 B.2 C.3 D.4 返回 中考考法 18 （第2题） 2.［2025郴州月考］如图，平分，点是 上 一点，于点，点是射线 上的一个动点， 若,则 的最小值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 返回 中考考法 19 （第3题） 3.如图，，点在上， 于 点，于点.若，，则 的长为___. 6 返回 中考考法 20 （第4题） 4.如图，在中， ， 平分 ，，，那么点 到 直线的距离是___ . 3 返回 中考考法 21 5.［2025常德期中］如图，在中，平分，于点 . 若，，则 ___. 1 返回 中考考法 22 6.如图，在四边形中，， ， ， 于点.求证： . 证明：因为，所以.因为 ，所以 ，即是的平分线.又因为 ， ， 所以 . 返回 中考考法 23 知识点2 角平分线的性质定理的逆定理 （第7题） 7.在由小正方形组成的网格中， 的位置如图 所示，，，均在格点上，到 两边距离相 等的点应是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 返回 中考考法 24 8.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线， 重合，另一边相交 于点，若 ，则 _____. （第8题） 返回 中考考法 25 9.［2025益阳开学考］如图，已知 ， ，，相交于点，连接 .若 .求证：平分 . 证明：因为， ，所以 .在和 中， 所以 ，所以 .所以点在的平分线上.所以平分 . 返回 中考考法 26 课堂小结 图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词 角平分线 性质定理 判定定理 P C ∵OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E ∴PD = PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一平分， 两个垂直， 得一个相等 P C ∴OP平分∠AOB ∵PD = PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 一相等， 两个垂直， 得一个平分 $