5.4 角平分线的性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 导入新课 问题1：角平分线的定义是怎样的？请在练习本上画出一个角，并作出它的角平分线. 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. O B A M N C 问题2：什么是点到直线的距离？请通过作图说明. P l A B C O P C A B O D E P D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 PD = PE，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 活动一：探究角平分线的性质 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO≌△PEO(AAS). 所以PD＝PE. 所以∠PDO＝∠PEO＝90°. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线性质定理： 几何语言： ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA PE⊥OB ∴PD = PE. C A B O D E P 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 针对训练 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件： 结论： 点在这个角的角平分线上 这个点到角的两边的距离相等 逆命题： 如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ C A B O D E P 如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C OP = OP， PD = PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） 因此OC是∠AOB 的平分线， A B O D E P C 证明：如图，过点O，P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， ∴∠AOC =∠BOC 即点 P 在∠AOB 的平分线OC上. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理： C A B O D E P 几何语言： ∵PD⊥OA ，PE⊥OB ， 且 PD = PE， ∴OC是∠AOB 的平分线 即点 P 在∠AOB 的平分线OC上. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处？ 0 200m 答：集贸市场应建在 S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点 P 所示. P 针对训练 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. 证明： （1）在△ABC中， 因为∠1 =∠2， 又BA⊥AD， BC⊥CD， 所以点B 在∠ADC 的平分线上. 所以BA = BC. 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. （2）在Rt△BAD 和Rt△BCD 中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL） 因此∠ABD =∠CBD， 从而 BD 平分∠ABC. BD= BD， BA = BC， 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 课堂小结 角平分线的性质与判定 判定 性质 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 下 课 $