2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一课时作业7+充要条件

**基本信息** 练习通过基础判断、综合应用到证明推理的三层设计，覆盖充要条件从单一概念到跨知识综合的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一充要条件判断|直接应用定义（如选择1-2不等式范围判断）| |中档|结合集合/方程/几何的综合判断|知识迁移（如选择7集合与充要条件结合）| |提升|充要条件证明与逻辑推理|逻辑严密性训练（如解答17三角形与方程综合证明）|

课时作业7　充要条件 一、选择题 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．“x＝1是x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(　　) A．a≥b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 6．下列p是q的充要条件的是(　　) A．p：a>b，q：ac>bc B．p：x＝0或x＝1，q：x2－x＝0 C．p：x>1且y>1，q：x＋y>2且xy>1 D．p：0<x<3，q：|x－1|<2 7．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5 C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5 8．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(多选题)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．AB的必要条件是card(A)≤card(B) D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 10．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．若a为实数，则“a<1”是“>1”的 条件. 12．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的 条件. 13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“使a，b都为0”的必要条件是________． (2)“使a，b都不为0”的充分条件是________． (3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 14．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是 . 15．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是 . 16．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为 ；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为 . 三、解答题 17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 18．已知x，y是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件为xy>0. 19．已知p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}；q：x∈B，且B＝{x|x2－4x＋3≥0}． (1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a的值； (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 20．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 课时作业7　充要条件 （答案） 一、选择题 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B　“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． ∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B. 2．“x＝1是x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选A　若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件， 若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A. 3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C， 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. ∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B. 4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B　由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．故选B. 5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(　　) A．a≥b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 解析：选A　由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确． 6．下列p是q的充要条件的是(　　) A．p：a>b，q：ac>bc B．p：x＝0或x＝1，q：x2－x＝0 C．p：x>1且y>1，q：x＋y>2且xy>1 D．p：0<x<3，q：|x－1|<2 解析：选项A中c可为0，不符合．选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，符合题意．选项C中，x>1且y>1⇒x＋y>2且xy>1；而x＋y>2且xy>1x>1且y>1.故p是q的充分不必要条件，不符合题意．选项D中，0<x<3⇒|x－1|<2，|x－1|<2⇒－1<x<30<x<3.故p是q的充分不必要条件，不符合题意．故选B. 7．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5 C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5 解析：由题意知⇒故选A. 8．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：在△ABC中，边大则角大，角大边也大，因此AB>AC是∠C>∠B的充要条件．故选C. 9．(多选题)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．AB的必要条件是card(A)≤card(B) D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 解析：由题可知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．A∩B＝∅，也就是集合A与集合B没有公共元素，A是真命题；A⊆B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，B是真命题；AB，也就是集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中的元素的个数有可能多于B中的元素的个数，C是假命题；A＝B，也就是集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D是假命题．故选AB. 10．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝max·min＝1×1＝1，∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，令a＝b＝2，c＝3，∴max＝，min＝，此时l＝×＝1，△ABC为等腰三角形，故不能推出△ABC为等边三角形，∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．综上，故选A. 二、填空题 11．若a为实数，则“a<1”是“>1”的 条件. 解析：由>1得0<a<1， 则“a<1”是“>1”的必要不充分条件， 答案：必要不充分 12．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的 条件. 解析：当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件， 答案：充分不必要 13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“使a，b都为0”的必要条件是________． (2)“使a，b都不为0”的充分条件是________． (3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab>0⇔或则a，b都不为0. 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 14．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是 . 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2. 15．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是 . 解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0，有整数根首先满足Δ＝16－4n≥0，即n≤4，又n∈N＋，所以将n＝1,2,3,4分别代入x2－4x＋n＝0，检验知n＝3或n＝4时，方程的根为整数． 答案：n＝3或n＝4 16．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为 ；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为 . 解析：由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件． 答案：②③；①⑤ 三、解答题 17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 18．已知x，y是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件为xy>0. 证明：必要性：∵<，∴－<0，即<0. ∵x>y，∴y－x<0，∴xy>0.充分性：∵x>y，xy>0， ∴<，即<. ∴综上所述，<的充要条件为xy>0. 19．已知p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}；q：x∈B，且B＝{x|x2－4x＋3≥0}． (1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a的值； (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)B＝{x|x2－4x＋3≥0}＝{x|x≤1或x≥3}，A＝{x|a－1<x<a＋1}． 由A∩B＝∅，A∪B＝R，得 得a＝2.所以满足A∩B＝∅，A∪B＝R的实数a的值为2. (2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B. 又A≠∅，所以结合数轴可知，a＋1≤1或a－1≥3，解得a≤0或a≥4.所以实数a的取值范围是{a|a≤0，或a≥4}． 20．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立． 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立． 综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， 所以|xy|＝xy，所以xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $