4.5.1等腰三角形的性质定理-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质定理，通过图形标注明确顶点、腰、底边等要素，结合“特殊性质”问题引导，承接全等三角形判定，搭建轴对称几何的学习支架。 其亮点在于采用剪纸折叠操作观察重合关系培养几何直观，练习题分层设计并结合易错提醒发展推理意识，规范证明步骤强化数学语言表达。教师使用可系统巩固知识，学生能提升数学思维与应用能力。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 4.5.1等腰三角形的性质定理 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.5.1 等腰三角形的性质定理同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.5.1等腰三角形的性质定理专项编写，承接全等三角形判定与几何证明内容，是轴对称几何的核心基础考点。聚焦等腰三角形定义、等边对等角性质、三线合一核心定理、等腰三角形角度与边长计算、性质定理规范证明、分类讨论思想等重难点，题型由概念辨析、基础计算到综合证明循序渐进，贴合期中期末考情，适配新课课后巩固与专项拔高训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的核心性质“等边对等角”指的是（） A. 等腰三角形的任意两个角相等 B. 等腰三角形两腰对应的底角相等 C. 等腰三角形顶角与底角相等 D. 等腰三角形三边对应角相等 2. 等腰三角形“三线合一”中的“三线”不包括（） A. 顶角平分线 B. 底边上的中线 C. 底边上的高 D. 腰上的高 3. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的底角度数为（） A. 70° B. 55° C. 70°或55° D. 40° 4. 等腰三角形的对称轴是（） A. 底边的直线 B. 顶角平分线所在直线 C. 腰所在直线 D. 三角形的中线 5. 下列说法正确的是（） A. 等腰三角形一定是锐角三角形 B. 等腰三角形两底角的平分线相等 C. 三线合一适用于等腰三角形所有线段 D. 有两边相等的三角形是等边三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 有________相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。 7. 等腰三角形的两底角相等，简写成________。 8. 等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。 9. 若等腰三角形顶角为80°，则底角为________°。 10. 等腰三角形是________图形，有________条对称轴。 三、解答题（共60分） 11. 基础角度计算（每题6分，共24分） 求下列等腰三角形的内角度数： （1）顶角为50°，求两个底角度数； （2）一个底角为65°，求顶角度数； （3）一个内角为100°，求其余两个角度数； （4）等腰直角三角形，求三个内角度数。 12. 性质规范证明（每题8分，共16分） （1）求证：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； （2）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。 13. 综合性质应用（每题10分，共20分） （1）已知：AB=AC，AD是△ABC的中线，求证：AD⊥BC； （2）已知等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两底角平分线，求证：BD=CE。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：等边对等角专指等腰三角形两腰所对的两个底角相等，顶角与底角不一定相等。 2.D 解析：三线合一特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高不适用该性质。 3.C 解析：分两种情况：①70°为底角，底角为70°；②70°为顶角，底角为(180°-70°)÷2=55°。 4.B 解析：等腰三角形对称轴为顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线。 5.B 解析：A等腰三角形可为钝角、直角三角形；C三线合一仅适用于底边相关线段；D三边相等才是等边三角形。 二、填空题 6. 两条边 7. 等边对等角 8. 底边上的中线；底边上的高 9. 50 解析：(180°-80°)÷2=50° 10. 轴对称；1 三、解答题 11. 解： （1）底角度数=(180°-50°)÷2=65°，两底角均为65°； （2）顶角=180°-65°×2=50°； （3）100°为钝角，只能是顶角，底角=(180°-100°)÷2=40°，其余两角均为40°； （4）等腰直角三角形三角度数为90°、45°、45°。 12. （1）证明：等边对等角 已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。 证明：作AD平分∠BAC，交BC于点D， 在△ABD和△ACD中，$$\begin{cases} AB=AC（已知）\\ \angle BAD=\angle CAD（角平分线定义）\\ AD=AD（公共边） \end{cases}$$ ∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C。 （2）证明： ∵AB=AC，AD⊥BC， 根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高与顶角平分线重合， ∴AD平分∠BAC。 13. （1）证明： ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， 由等腰三角形三线合一性质，底边上的中线与底边上的高重合， ∴AD⊥BC。 （2）证明： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）， ∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠ACE， 在△ABD和△ACE中，$$\begin{cases} \angle A=\angle A（公共角）\\ AB=AC（已知）\\ \angle ABD=\angle ACE（已证） \end{cases}$$ ∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE。 知识点总结与易错提醒： 1. 核心性质：①等边对等角；②三线合一（仅限底边、顶角相关线段）； 2. 角度计算必分类：已知等腰三角形一个内角，未说明顶角/底角时，需分锐角、钝角讨论，钝角只能为顶角； 3. 三线合一易错点：仅适用于等腰三角形，且针对底边，腰上的中线、高、角平分线不重合； 4. 等腰三角形只有1条对称轴，为顶角平分线（底边上中线、高）所在直线； 5. 几何证明中，遇等腰三角形优先用等边对等角、三线合一，简化推理步骤。 新课导入 A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形具有一般三角形的性质 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形还具有哪些特殊的性质呢？ 推进新课 剪出一个等腰三角形，折一折，使△ABC 的两腰重合. A C B D 折痕为 AD. 说一说你观察到了什么？ △ADB 与△ADC 有什么关系 图中的线段有哪些数量关系和位置关系？ 图中的角有哪些数量关系？ 在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD是△ABC的中线，则∠B = ∠C 吗？∠BAD =∠CAD 吗？AD是△ABC的高线吗？ 由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD = CD. 在△ABD和△ACD中， AB = AC， BD = CD， AD = AD， 所以△ABD≌△ACD（边边边）． 因此∠B =∠C，∠BAD = ∠CAD， ∠ADB =∠ADC = 90°. 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. A C B D 重合的线段 角的关系 　 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B =∠C ∠BAD =∠CAD ∠ADB =∠ADC = 90° A C B D 你能发现等腰三角形的性质？ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是AD. 点D是底边的中点，AD是底边的中线. 等腰三角形两底角相等. AD是顶角的角平分线. AD是底边上的高线. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 点D是底边的中点，AD是底边的中线. 等腰三角形两底角相等. AD是顶角的角平分线. AD是底边上的高线. 必须是在同一个三角形中 符合语言： 如图，在△ABC中， 若AB=AC，则∠B=∠C. 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 符合语言： 如图，在△ABC中，AB=AC. （1）若∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC， BD=CD； （2）若AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD； （3）若BD=CD，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 对腰上的高、中线、底角平分线一般不成立. 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. 解 （1）因为BE=AE，D为AB的中点， 所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线， 从而ED⊥AB（三线合一）. 例题 1 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. （2）因为AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC =∠C， ∠C =∠1， ∠A =∠2（等边对等角）. 于是∠1=∠A +∠2 = 2∠A， 从而∠ABC = ∠C =∠1 = 2∠A. 例题 1 如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. 又∠A +∠ABC +∠C = 180°， 于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， 从而∠A = 36°， 因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 例题 1 知识点1 等边对等角 1.在中，， ，则 _____. 返回 中考考法 12 2.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶 角的度数为_____ . 100 返回 中考考法 13 （第3题） 3.［2024济南中考］如图，已知， 是 等腰直角三角形， ，顶点， 分别 在，上，当 时，____ . 65 返回 中考考法 14 （第4题） 4.如图，在中， ， ，，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 15 5.如图，直线，相交于点，若，则 等于( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 16 6.［教材P练习T变式］［2025南京期中］如图，在中，点 在边上，.若 ，求 的度数. 解：因为， ，所以 .因为 ，所以.因为是 的外角，所以 ，所以 . 返回 中考考法 17 知识点2 三线合一 （第7题） 7. 如图，衣架可以近似看成一个 等腰三角形，其中， 于点 ，若 ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 18 （第8题） 8.如图，在中，，是 边上的中 线， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 19 9.如图，在中，， 是角平分线，则 下列结论不一定正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 20 10.如图，，分别是 的中线和角平分线，若 ， ，求 的度数. 解：因为，是 的中线，所以 ， 所以 . 因为是 的角平分线， 所以 ，所以 . 返回 中考考法 21 等腰三角形的性质 课堂小结 $