4.5.3等边三角形的性质定理与判定定理-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦湘教版八年级上册“等边三角形的性质定理与判定定理”，核心内容包括等边三角形的三边相等、三角均为60°、三线合一、3条对称轴等性质，以及三边相等、三角相等、有一个60°角的等腰三角形这三种判定方法。课堂导入通过表格对比等腰三角形的定义、性质与判定，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有认知自然过渡到新知学习。 其亮点在于融合动手操作与技术辅助，如“折一折”活动让学生通过尺规作图和折叠发现对称轴数量，结合几何画板互动增强空间观念；例题与练习题分层设计，包含基础计算、推理证明及中考题（如2024泰安中考题）、生活应用题（衣架设计），培养推理能力与应用意识。对学生而言，能深化对性质与判定的理解，提升几何推理和解题能力，对教师则提供系统教学资源，助力高效开展课堂教学。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 4.5.3等边三角形的性质定理与判定定理 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.5.3 等边三角形的性质定理与判定定理同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.5.3等边三角形专项编写，等边三角形是特殊的等腰三角形，整合前面等腰三角形的性质与判定。本节重点掌握等边三角形的三条核心性质、三种判定方法、角度计算、规范几何证明，熟练区分等腰三角形与等边三角形的转化条件，规避“有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形”等高频考点陷阱，题型由浅入深，适配新课课后巩固、几何推理训练与单元检测复习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 关于等边三角形的内角，下列说法正确的是（） A. 只有一个内角为60° B. 三个内角均为60° C. 最大内角为90° D. 内角和为180°且角度各不相等 2. 下列图形中，对称轴数量最多的是（） A. 普通等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 3. 有一个角是60°的等腰三角形是（） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法判定 4. 下列条件不能判定三角形为等边三角形的是（） A. 三边都相等的三角形 B. 三个内角都相等的三角形 C. 有两个角是60°的三角形 D. 有一个角是60°的直角三角形 5. 已知△ABC是等边三角形，则下列式子错误的是（） A. AB=BC=AC B. ∠A=∠B=∠C C. 任意一边都满足三线合一 D. 仅有一条对称轴 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 三条边都相等的三角形叫做________三角形。 7. 等边三角形的三个内角________，且每一个内角都等于________°。 8. 等边三角形有________条对称轴，任意边上的中线、高、顶角平分线互相重合。 9. 判定定理：有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。 10. 三个角相等的三角形，每个角为60°，一定是________三角形。 三、解答题（共60分） 11. 基础角度与边长计算（每题6分，共24分） （1）已知△ABC为等边三角形，求三个内角的度数； （2）已知等边三角形边长为12cm，求三角形的周长； （3）等腰三角形中有一个内角为60°，腰长为8cm，求底边长； （4）等边△ABC中，AD是高，求∠BAD的度数。 12. 基础判定与性质证明（每题8分，共16分） （1）已知：△ABC中，AB=BC，∠B=60°，求证：△ABC是等边三角形； （2）已知：△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，求证：AB=BC=AC。 13. 综合拔高证明（每题10分，共20分） （1）已知：△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，求证：△ADE是等边三角形； （2）已知：△ABC为等边三角形，AB=AC=BC，D为BC中点，求证：AD平分∠BAC且AD⊥BC。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：等边三角形性质：三边相等，三角相等且均为60°。 2.B 解析：普通等腰三角形1条对称轴，等边三角形3条对称轴。 3.C 解析：核心判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 4.D 解析：有一个角为60°的直角三角形，角度为90°、60°、30°，不是等边三角形。 5.D 解析：等边三角形有3条对称轴，每条边上的高所在直线均为对称轴。 二、填空题 6. 等边 7. 相等；60 8. 3 9. 60 10. 等边 三、解答题 11. 解： （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°； （2）周长=3×12=36cm； （3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴底边长=腰长=8cm； （4）等边三角形三线合一，AD为高也是角平分线，∴∠BAD=30°。 12. 证明： （1）∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠B=60°，∴等腰△ABC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 （2）∵∠A=60°，∠B=60°， ∴∠C=180°-60°-60°=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=BC=AC，△ABC为等边三角形。 13. 证明： （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°， ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°， ∴△ADE是等边三角形。 （2）∵△ABC是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 根据三线合一性质：BC边上的中线、BC边上的高、∠BAC的平分线重合， ∵D为BC中点，AD是BC边上中线， ∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC。 知识点总结与易错提醒： 一、等边三角形三大性质 1. 三边相等，三角相等且均为60°； 2. 每条边上都满足“三线合一”； 3. 轴对称图形，共3条对称轴。 二、等边三角形三种判定方法 1. 三边都相等的三角形是等边三角形（定义法）； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 重点必考：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 三、高频易错点 1. 必须是等腰三角形+一个60°角才能判定等边三角形，普通三角形一个60°角无法判定； 2. 等边三角形任意一边都满足三线合一，区别于普通等腰三角形仅底边满足； 3. 等边三角形属于特殊等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 新课导入 三条边都相等的三角形是等边三角形．　　 问题：满足什么条件的三角形是等边三角形？　　 A B C 推进新课 知识点1 等边三角形的性质 一般三角形 有2条边 相等 底=腰 等边三角形也叫作正三角形，是特殊的等腰三角形 三角形 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？ 想一想 等边三角形具有等腰三角形的全部性质 将等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ 等腰三角形 等边三角形 图形 定义 有两条边相等的三角形 三边都相等的三角形 性质 等边对等角 三线合一 判定 两底角相等 （等角对等边） 折一折 使用尺规作图，画出一个三条长都相等的等边三角形。将等边三角形剪下来，折一折，数一数，等边三角形有（ ）条对称轴？ 3 对称轴分别是三条角平分线（中线或高）所在的直线并且三条对称轴交于一点 [单击三角形跳转几何画板] 如图，△ABC 是等边三角形，等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ 因为△ABC是等边三角形， 所以AB = BC = AC， 由于AB = AC，则根据等腰三角形的性质定理，得∠B =∠C. 从而∠A =∠B =∠C. 同理，由于AC = BC，因此，∠A =∠B， 因此∠A =∠B =∠C = 60°. 根据三角形内角和定理得，∠A +∠B +∠C = 180°. 等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60° 由此得到等边三角形的如下性质： 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线. 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 等边三角形 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 三个角都相等， 知识点2 等边三角形的判定 A C B 2 3 1 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题： 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ 有三个角相等的三角形是等边三角形 A C B 2 3 1 则 AC = BC . 由于∠A =∠B， 在△ABC 中， 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC . 于是 AB = AC = BC . 因此△ABC 是等边三角形. 文字语言： 几何语言： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理1： 所以△ABC 是等边三角形. 因为∠1 =∠2 =∠3， 在△ABC 中， A C B 2 3 1 如图，在△ABC中，AB = AC. 由三角形内角和定理得∠A +∠B+∠C = 180°. 情形1 设∠A =60°， 则∠B+∠C = 180°－ 60°= 120°. 又 AB =AC， ∴ ∠B =∠C. ∴ ∠B =∠C =∠A = 60°. ∴ △ABC是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 情形2 设∠B = 60°， 由于AB = AC，因此∠C =∠B = 60°. 从而∠A = 180°－∠B－∠C = 180° － 60°－ 60°= 60°. 因此△ABC 是等边三角形. 情形3 设∠C = 60°， 由于AB = AC，因此∠C =∠B = 60°. 与情景2类似，同理可证△ABC 是等边三角形. 文字语言： 几何语言： 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的判定定理2： 所以△ABC 是等边三角形. 因为∠1 （∠2 或∠3）=60°， 在等腰△ABC 中， A C B 2 3 1 例题 4 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD = AE.求证：△ADE是等边三角形. 证明：因为 △ABC 是等边三角形， 所以∠BAC = 60°（等边三角形的性质定理）. 因为∠EAD =∠BAC = 60°，AD = AE， 所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）. 【从边的角度】三条边都相等的三角形是等边三角形. 【从角的角度】①三个角都相等的三角形是等边三角形． ②有一个角为60°的等腰三角形． 判定等边三角形的方法 知识点1 等边三角形的性质 （第1题） 1.如图，是等边三角形，点在边 上， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 18 （第2题） 2.如图，在等边三角形中，于点 ， ，则 的长为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回 中考考法 19 （第3题） 3.［2024泰安中考］如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点，分别落在直线， 上，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 20 4.［2024宜宾中考］如图，点， 分别是等边三角形 的边，上的点，且，与 交 于点.求证： . 证明：因为 是等边三角形， 所以， . 又因为，所以 （边角边）， 所以 . 返回 中考考法 21 知识点2 等边三角形的判定定理1 5.若一个三角形的三个内角的度数之比为 ，则这个三角形的形状 一定是( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 返回 中考考法 22 6.将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置 ， 已知 ，点，对应的刻度分别为，，则线段 的长为______. 返回 中考考法 23 7.［2025长沙期中］如图，四边形中， ， 平分， .求证： 是等边三角形. 证明：因为， ，所以 ， 因为平分 ， 所以 ，所以 ， 所以，所以 是等边三角形. 返回 中考考法 24 知识点3 等边三角形的判定定理2 8.［2025株洲期末］在中，, ，则 ______. 返回 中考考法 25 9. 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣 服后松开即可.如图①，衣架杆 .衣架收拢时，如图 ②， ，则此时， 两点之间的距离是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 26 10.如图，已知为上一点，，，垂足分别为点， ， 且，， ，求证： 是等边三角形. 中考考法 27 证明：因为， ， 所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 因为 ，所以 ， 所以 是等边三角形. 返回 中考考法 28 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形 A B C 课堂小结 $