4.2.2 证明，举反例-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“证明与举反例”核心知识点，通过复习导入中真假命题判断及理由阐述，承接上一节定义与命题内容，搭建几何逻辑推理入门的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于题型由概念辨析到规范证明循序渐进，结合举反例（如“|a|=|b|则a=b”的反例）和证明步骤规范（如对顶角相等证明标注依据），培养学生推理能力与逻辑思维，助力学生形成严谨表达习惯，教师可用于新课巩固与逻辑训练。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 4.2.2 证明，举反例 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.2.2 证明、举反例同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.2.2证明与举反例专项编写，承接上一节定义与命题知识，是几何逻辑推理的核心入门内容。聚焦几何证明的步骤规范、推理依据、文字命题证明流程、利用举反例判定假命题、基础几何推理证明等核心考点，题型由概念辨析到规范证明循序渐进，贴合考试答题标准，适配新课课后巩固与逻辑思维训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于几何证明的说法正确的是（） A. 证明时可以凭肉眼观察得出结论 B. 证明过程每一步都要有依据 C. 假命题也可以推理证明为真 D. 证明依据只能是定理 2. 要证明一个命题是假命题，常用的方法是（） A. 推理证明 B. 举反例 C. 画图验证 D. 测量实验 3. 下列命题中，可以举反例推翻的假命题是（） A. 直角三角形两锐角互余 B. 对顶角相等 C. 若|a|=|b|，则a=b D. 三角形内角和为180° 4. 几何证明的依据不包括（） A. 已知条件 B. 定义、公理、定理 C. 个人猜测 D. 已证结论 5. 命题“任意两个锐角的和是钝角”的反例是（） A. $$\angle1=30^\circ，\angle2=40^\circ$$ B. $$\angle1=60^\circ，\angle2=50^\circ$$ C. $$\angle1=80^\circ，\angle2=70^\circ$$ D. $$\angle1=90^\circ，\angle2=30^\circ$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 从命题的条件出发，通过一步步推理，判断结论成立的过程叫做________。 7. 证明一个命题是假命题，只需举出一个________的例子即可。 8. 几何证明的三大依据：已知条件、________、________。 9. 命题“若a＞b，则a²＞b²”的一个反例可以是________。 10. 文字命题的证明步骤：审题、画图、________、推理证明、总结结论。 三、解答题（共60分） 11. 举反例证假命题（每题6分，共24分） 判断下列命题真假，假命题请举出反例： （1）相等的角是对顶角； （2）若a为正数，则a²＞a； （3）三角形的外角大于任意一个内角； （4）两直线被第三条直线所截，同位角相等。 12. 基础规范几何证明（每题8分，共16分） （1）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，求证：对顶角相等。 （2）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。 13. 文字命题综合证明（每题10分，共20分） （1）求证：直角三角形的两个锐角互余； （2）求证：对顶角的平分线在同一条直线上。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：几何证明每一步推理必须有依据，不能主观臆断，依据包含已知、定义、公理、定理。 2.B 解析：举反例是证明假命题的唯一简便方法，真命题需要完整推理证明。 3.C 解析：|2|=|-2|，但2≠-2，可举反例证明该命题为假命题，其余均为真命题。 4.C 解析：个人猜测无理论依据，不能作为几何证明的推理依据。 5.A 解析：30°+40°=70°，为锐角，可证明“两个锐角和为钝角”是假命题，D中90°不是锐角。 二、填空题 6. 证明 7. 符合条件、不符合结论 8. 定义；公理、定理 9. a=1，b=-2（答案不唯一） 10. 写出已知、求证 三、解答题 11. 解： （1）假命题。反例：两平行线被第三条直线所截，同位角相等，但不是对顶角。 （2）假命题。反例：当a=0.5时，a²=0.25，此时a²＜a。 （3）假命题。反例：三角形的钝角外角小于相邻的钝角内角。 （4）假命题。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等。 12. 解： （1）证明：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOD+∠BOC=180°（平角定义）， ∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等），即对顶角相等。 （2）证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-90°=90°（等式性质）。 13. 解： （1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。 证明：∵三角形内角和为180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B+∠C=180°， ∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=90°，即直角三角形两锐角互余。 （2）已知：直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求证：OE、OF在同一直线上。 证明：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=$$\frac{1}{2}$$∠AOC，∠BOF=$$\frac{1}{2}$$∠BOD， ∴∠AOE=∠BOF， ∵∠AOE+∠EOB=180°（平角定义），∴∠BOF+∠EOB=180°， ∴∠EOF=180°，即OE、OF在同一条直线上。 知识点总结与易错提醒： 1. 真假命题判定：真命题必须完整推理证明，假命题只需一组反例即可推翻； 2. 反例核心要求：满足命题条件，不满足命题结论，缺一不可； 3. 几何证明规范：每一步推理必须标注依据（已知、定义、定理、公理），步骤完整、逻辑清晰； 4. 文字命题证明四步法：画图→写已知、求证→推理证明→得出结论； 5. 严禁主观臆断、跳过步骤、无依据推理，是几何入门最易扣分点。 判断下列命题为是真命题还是假命题。 复习导入 （2）有理数的绝对值是正数 （3）若a＋b＞0，则a＞0，b＞0 （4）内错角相等，两直线平行 假命题 假命题 真命题 （1）若a是有理数，则a是整数 假命题 你能给出理由或例子来支持你的判断吗？ 想一想 （2）有理数的绝对值是正数 假命题 （1）若a是有理数，则a是整数 假命题 如何判断一个命题是假命题呢？ 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. （3）若a＋b＞0，则a＞0，b＞0 假命题 0. 1是有理数，但不是整数 0 的绝对值是0，不是正数 若a + b = -2 + 5 = 3＞0，但 a = -2＜0 命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？ 例题 2 1×0 = 0，但是 a = 1 ≠ 0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. （1）若 a² = b²，则 a = b； （2）一个角的余角大于这个角； （－1）2 = 12，但是－1 ≠ 1， 因此“若 a² = b²，则 a = b”是假命题 一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°， 因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. 用举反例的方法说明下列命题是假命题. 5 （3）若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； （4）如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. |a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2，但是 0≠2， 因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题. A B C 等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，但这两个角并不是对顶角. 因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题. 用举反例的方法说明下列命题是假命题. 6 用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ） A. ∠A＝60° B. ∠A＜60° C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60° D ∠A与60°的大小关系有∠A>60°，∠A=60°，∠A<60°三种情况，因而∠A>60°的反面是∠A≤60°. 试一试 要证明一个命题是真命题，常常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明. 证明的每一步都必须要有根据. 如何判断一个命题是真命题呢？ 证明：如果实数a ≠ 0 或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0. 例题 3 证明：若a ≠ 0，则a2 为正数. 又 b2 为正数或0， 从而 a2 + b2 是正数， 因此 a2 + b2 ≠ 0. 同理可得，若b ≠ 0，则 a2 + b2 ≠ 0. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明. 例题 4 我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等60°， 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 则∠A+∠B+∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 所以假设不正确. 因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 例题 4 直接证明一个命题为真有困难时 假设命题不成立 利用命题的条件或有关的结论 推理 导出矛盾 假设不成立 即所证明的命题正确 反证法 （间接证明） 否定结论，导出矛盾，肯定结论. 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x 成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有(n - 1)个 至少有(n + 1)个 存在某个x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 填一填 用反证法证明：如果实数 a ≠ 0 或实数 b ≠ 0，那么 a2 + b2 ≠ 0. 证明：假设 a² + b² = 0. 因为对于任意实数 a、b，都有 a² ≥ 0，b² ≥ 0， 要使 a² + b² = 0 成立，则 a² = 0 且 b² = 0， 由此可得 a = 0 且 b = 0. 这与已知条件“实数 a ≠ 0 或实数 b ≠ 0”矛盾. 所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0，那么 a² + b² ≠ 0. 知识点1 举反例 1.对于，的取值，能够说明命题“若，则 ”是假命题的 是( ) D A.， B.， C.， D.， 返回 中考考法 15 2.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的是 ( ) C A. ，的补角 ， B. ，的补角 ， C. ，的补角 ， D. 角不小于它的补角 返回 中考考法 16 3.要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是 ___________________（写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 中考考法 17 知识点2 证明 4.“因为，，所以 ”，这个推理的依据是( ) C A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 B.垂线段最短 C.平行于同一直线的两条直线平行 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 返回 中考考法 18 5.如图，下列结论中不正确的是( ) A （第5题） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 返回 中考考法 19 6.如图, 若于点,于点，则___ ,理由是:______ ___________. 同角 的余角相等 （第6题） 返回 中考考法 20 7.［2025永州期中］补全证明过程，并在括号内填写 推理的依据. 已知：如图，于点，于点 ， ，求证：是 的平分线. 证明：因为， ， 所以 （____________）. 所以 （________________________）. 所以 ______， 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 中考考法 21 （________________________）. 因为 ， 所以 ______ ， 所以是 的平分线（________________）. 两直线平行，内错角相等 角平分线的定义 返回 中考考法 知识点3 反证法 8.［2025茂名期中］已知在中，，求证： .用反 证法证明时，第一步应先假设( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 23 9.用反证法证明“若，则， 至少有一个不小于0”时，第一步 应假设( ) A A.，都小于0 B.， 不都小于0 C.，都不小于0 D.， 都大于0 返回 中考考法 24 10.［教材 例4变式］在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大 于 ”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于 ，则可推出三个内角之和大于 ，这与_____________________ _____相矛盾. 三角形的内角和等于 返回 中考考法 25 命题的证明 课堂小结 要证明一个命题是真命题，常常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明. $