4.3.2 全等三角形的判定(SAS) 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的SAS判定定理，通过“一个条件→两个条件→两边及其夹角”的探究活动导入，从“不一定全等”到“完全重合”的实验，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接三角形全等的前期认知。 其亮点在于以画图叠合等探究活动培养几何直观（数学眼光），通过平移旋转证明SAS培养推理意识（数学思维），规范“边—角—边”书写强化模型意识（数学语言）。含基础证明、对顶角及生活情境题，帮助学生规避SSA错误，教师可直接用于分层教学提升效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.3.2 全等三角形的判定(SAS) 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.3.2 全等三角形的判定（SAS）同步讲义与练习 本节核心考点：掌握全等三角形判定定理“SAS（边角边）”，理解夹角的核心含义，区分“SAS”与“SSA”的本质区别，熟练规范书写SAS证明过程，是几何全等证明的第一个核心判定方法，考试高频必考。 一、核心知识点精讲 1. SAS判定定理（边角边定理） 定理内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 简写：SAS（S边、A角）。 核心关键——夹角（重中之重） 夹角：指两条对应边中间夹着的那个角，必须是两边的公共内角。 公式理解：边1 → 夹角 → 边2，三者连续对应相等。 2. 定理严格条件（缺一不可） ① 两组边分别对应相等； ② 两组边的夹角对应相等； ③ 必须是对应关系，非对应边角相等不能判定全等。 3. 超级易错点：SSA不能判定全等 绝对禁止：两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等。 区分口诀： 夹角相等是SAS，可证全等； 对角相等是SSA，无法判定。 这是本节最大扣分点，选择题、证明题高频挖坑。 4. SAS标准证明格式（考试通用模板） 在△XXX和△XXX中： ∵ 边1 = 边1（已知/公共边/已证） 　夹角 = 夹角（已知/对顶角相等/已证） 　边2 = 边2（已知/公共边/已证） ∴ △XXX ≌ △XXX（SAS） 书写要求：边角顺序必须严格对应“边—角—边”，顺序错乱扣分。 5. 常用隐藏条件（做题秒找） ① 公共边：同一个线段，天然相等； ② 对顶角：相交直线形成的对顶角相等，可直接当夹角； ③ 题干给出边长、角度，直接套用。 6. 本节解题思路 先找两组对应边 → 再找两边夹角相等 → 严格按SAS格式证明 → 得出全等 → 可进一步推对应边、对应角相等。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列能判定两个三角形全等的条件是（） A. SSA B. 两边及夹角对应相等 C. 两边对应相等 D. 一角一边对应相等 2. 根据SAS判定定理，证明全等必须对准的顺序是（） A. 边—边—角 B. 边—角—边 C. 角—边—边 D. 角—角—边 3. 下列说法正确的是（） A. 任意两边一角相等可证全等 B. SSA不能判定三角形全等 C. 夹角是任意一个角 D. 两组边相等即可证全等 4. 已知AB=DE，∠B=∠E，若用SAS证明△ABC≌△DEF，还需条件（） A. BC=EF B. AC=DF C. ∠A=∠D D. ∠C=∠F 5. 两个三角形有两边对应相等，要保证SAS全等，必须相等的是（） A. 其中一边的对角 B. 两边的夹角 C. 任意一个角 D. 第三边 6. 下列条件无法判定三角形全等的是（） A. 两边夹角对应相等 B. SSA C. 公共边+两边夹角相等 D. 对顶角为夹角的两边相等 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 全等三角形判定定理SAS的含义是：________、________、________对应相等。 8. 两边及其中一边的对角相等，简称为________，________（能/不能）判定全等。 9. SAS证明的核心是必须相等的角为两条边的________。 10. 在几何图形中，常见的天然相等夹角条件是________、________。 11. 若两组对应边和夹角都相等，则两个三角形________。 12. SAS书写证明时，条件顺序必须是________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础证明题： 已知：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD为公共边。求证：△ABD≌△ACD。 14.（18分）对顶角题型（高频考题）： 已知：AB、CD相交于点O，OA=OB，OC=OD。求证：△AOC≌△BOD。 15.（18分）综合应用题型： 已知：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF，并写出全等后可得的对应边角结论。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（SAS即两边及夹角对应相等，可判定全等；SSA、单边单角均不可）； 2.B（SAS固定顺序：边—角—边）； 3.B（SSA是经典错误条件，永远不能判定全等）； 4.A（已有AB=DE，∠B为夹角，需另一组夹边BC=EF，满足SAS）； 5.B（必须是两边夹角，对角为SSA，无法判定）； 6.B（SSA无法判定三角形全等）。 二、填空题 7. 两边；夹角；两边 8. SSA；不能 9. 夹角 10. 公共角；对顶角 11. 全等 12. 边—角—边 三、解答题 13. 证明： 在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC（已知） 　∠BAD=∠CAD（已知） 　AD=AD（公共边） ∴ △ABD≌△ACD（SAS） 14. 证明： 在△AOC和△BOD中 ∵ OA=OB（已知） 　∠AOC=∠BOD（对顶角相等） 　OC=OD（已知） ∴ △AOC≌△BOD（SAS） 15. 证明： 在△ABC和△DEF中 ∵ AB=DE（已知） 　∠B=∠E（已知） 　BC=EF（已知） ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 可得结论：AC=DF，∠A=∠D，∠ACB=∠DFE（全等三角形对应边角相等）。 本节易错必记 1. 最致命易错：SAS必须是夹角，SSA（一边对角）绝对不能证全等； 2. 证明书写必须严格遵循边—角—边顺序，顺序颠倒扣分； 3. 不要混淆“夹角”和“对角”，看清角是否在两条已知边中间； 4. 公共边、对顶角是SAS题型最常用的隐藏条件，做题优先观察； 5. 全等判定必须满足对应相等，非对应边角相等无效。 学习目标 1.经历探索三角形全等条件的过程 2.培养学生识图、分析图形的能力； 3.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题. 学习目标 探究活动1：一个相等的条件可以吗？ （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 结论： 只有一个相等条件不能保证两个三角形全等. 利用“SAS”判定三角形全等 1 有两个分别相等的条件也不能保证三角形全等. 不一定全等 探究活动2：两个相等的条件可以吗？ 3 cm 4 cm 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 30° 6 cm 结论： (1) 有两个角分别相等的两个三角形 (2) 有两条边分别相等的两个三角形 (3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形 6 cm 30° 60° 30° 30° 60° 每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为 50°，夹这个角的两边长分别为 2 cm， 2.5 cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？ 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 探究活动3：已知两边及其夹角可以吗？ 下面我们利用平移、旋转、轴对称知识来证明上述猜测成立. 设在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠ABC =∠A′B′C′， 我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. A B C AB = A′B′，BC = B′C′. A′ B′ C′ 第一步，如图，将△ABC 沿射线 BB′ 的方向平移，平移的距离等于线段 BB' 的长度. A B C A1 B' C1 在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1，则点 B 的像（点B1）与点B 重合，且△A1B1C1≌△ABC， 从而 B1C1 = BC，B1A1 = BA，∠A1B1C1 = ∠ABC. A′ C′ (B1) 从而 B2A2 = B1A1，B2C2 = B1C1. 又 B1C1 = BC，BC = B'C'， 则 B'C2 = B'C'，于是点 C2 与点 C' 重合. 又∠A2B2C2 =∠A1B1C1，∠A1B1C1 =∠ABC， ∠ABC =∠A'B'C'， 所以∠A2B2C2 =∠A'B'C'. A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) 第二步，如图，将△A1B1C1 绕点 B' 旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C'.在这个旋转下，将△A1B1C1 的像记为△A2B2C2 ，则点 B1 的像（点B2）与点 B' 重合，点 C1 的像 (点C2) 在射线 B'C' 上，且△A2B2C2 ≌△A1B1C1， A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 第三步，如图，作△A2B2C2 关于直线 B'C' 成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3 ，由于点 B2 与点 B' 重合，且均在对称轴 B'C' 上，因此点 B2 的像（点B3 ）与点 B' 重合. 同理可得，点 C2 的像（点C3）与点 C' 重合. 又 △A3B3C3 ≌△A2B2C2 ，于是∠A3B3C3 =∠A2B2C2 . 又∠A2B2C2 = ∠A'B'C'，所以∠A3B3C3 =∠A'B'C'. 又点 B3，C3 分别与点 B'，C' 重合，从而∠A3B3C3 =∠A3B'C'， 于是∠A3B'C' =∠A'B'C'， 因此射线 B'A3 与射线 B'A' 重合. 又 B3A3 = B2A2，B2A2 = B1A1，B1A1 = BA，BA = B'A'， 于是 B3A3 = B'A' = B'A3，因此点 A3 与点 A' 重合. 所以△A3B3C3 与△A′B′C′ 重合，即△A3B3C3 ≌△A′B′C′ . 又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3 ， 因此△ABC≌△A'B'C'. 我们将上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边) A B C A1 C1 A2 B'(B1)(B2) A′ C′(C2) (C3) (B3) (A3) 在△ABC 和△DEF 中， 所以△ABC≌△DEF (边角边)． 文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”(SAS). “边角边”判定三角形全等的方法 几何语言： AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， A B C D E F 必须是两边“夹角” 知识要点 例1 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO. 分析: △ ACO≌△BDO. 边: 角: 边: AO = BO (已知)， ∠AOC = ∠BOD (对顶角相等)， (边角边) CO = DO (已知). ？ 典例精析 证明： 在△ACO 和△BDO 中， ∴△ACO≌△BDO (边角边). AO = BO， ∠AOC =∠BOD (对顶角相等)， CO = DO， 方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些. 例2 如图，AB = CB，∠ABD = ∠CBD，那么△ABD 和△CBD 全等吗？ 分析: △ABD≌△CBD 边:角:边: AB = CB (已知)， ∠ABD =∠CBD (已知)， ？ A B C D BD = BD (公共边). 解： 在△ABD 和△CBD 中， AB = CB (已知)， ∠ABD =∠CBD(已知)， ∴△ABD≌△CBD (边角边). BD = BD (公共边)， 想一想： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？ B A C D △ABC 和△ABD 满足AB = AB，∠B =∠B，AC = AD，但它们并不全等. 画一画：画△ABC 和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm， AC=DF=3 cm. 观察所得的两个三角形是否全等？ 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 结论 A B C 30° D E F1 F2 30° 3cm 3cm 1．[湘潭市期中]如图，已知 ，能直接用 “边角边”证明 的条件是( ) A A. B. C. D. 返回 17 2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁 四个三角形中，与 全等的是( ) A A. B. C. D. 返回 18 返回 3. 小明用同种材料制 成的金属框架如图所示，已知 ，， ，其中 框架的质量为， 的质量 为 ，则整个金属框架的质量为 ( ) D A. B. C. D. 19 4. 在测量一个小口圆形容 器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法 进行测量，其中， ，测得 ，，用和 表示圆形容器的壁 厚是_________. 返回 20 5.如图，在 的方格中，每个小方格的边长 均为1，则与 的数量关系是 ____________ ____. 21 【点拨】如图， 在与 中， 所以 （边角边）.所以 . 又因为 ，所以 . 返回 22 6. 如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，AB与EC交于点D，FB与EC交于点M. (1)EC与BF有什么数量关系？并说明理由． 【解】EC＝BF.理由： 因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE＝∠CAF＝90°. 所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF. 23 (2)试判断EC与BF的位置关系，并说明理由． 【解】EC⊥BF.理由：由(1)知△AEC≌△ABF， 所以∠AEC＝∠ABF. 因为∠BAE＝90°，所以∠AEC＋∠ADE＝90°. 又因为∠ADE＝∠BDM，所以∠ABF＋∠BDM＝90°. 所以∠BMD＝180°－(∠ABM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°，所以EC⊥BF. 25 7．[武汉市汉阳区模拟]如图, 中，，平分，点为 上 一点.则图中全等三角形有( ) C A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 26 8. 如图，在中， ， ，，平分交 于点 ，在上截取，则 的周长 为( ) A A. 19 B. 20 C. 18 D. 17 27 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E均在小正方形网格的格点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α C 28 边角边 内容 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等[简写成“边角边(SAS)”] 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1. 已知两边，可以找“夹角”； 2. 已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 课堂小结 在△AEC和△ABF中， 所以△AEC≌△ABF(边角边)，所以EC＝BF. $