4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理，通过回顾全等三角形定义与性质，以“最少元素相等判定全等”的问题驱动，引导学生分组画图、叠合验证，构建从旧知到定理推导的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观与空间观念，通过规范证明书写强化推理意识，结合生活应用题目提升应用意识。知识点总结突出易错点辨析，助力学生深化理解与规范表达，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边SAS）同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.3.2边角边（SAS）判定定理专项编写，承接全等三角形的性质与对应关系识别，聚焦“SAS判定定理的理解、两边夹角的辨析、利用SAS证明三角形全等、结合已知条件补全证明条件、规范几何书写”等核心考点。重点区分“夹角”与“非夹角”的易错陷阱，题型由概念辨析、条件判断到规范证明循序渐进，适配新课课后巩固、规范书写训练与基础拔高。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 边角边定理（SAS）判定两个三角形全等的条件是（） A. 两组边对应相等 B. 两组边对应相等，且其中一组边的对角相等 C. 两组边对应相等，且夹角对应相等 D. 一组边和一个角对应相等 2. 下列条件中，能直接用SAS判定$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$的是（） A. $$AB=DE，BC=EF，\angle A=\angle D$$ B. $$AB=DE，AC=DF，\angle A=\angle D$$ C. $$AB=DE，AC=DF，\angle B=\angle E$$ D. $$\angle A=\angle D，\angle B=\angle E，AB=DE$$ 3. 已知$$OA=OB，OC=OD$$，$$\angle AOC=\angle BOD$$，可判定$$\triangle AOC\cong\triangle BOD$$的依据是（） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 4. 下列说法正确的是（） A. 两边对应相等，任意一角相等即可证全等 B. SSA可以判定三角形全等 C. 必须是两边的夹角相等才可用SAS D. 以上都不对 5. 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle ABD$$中，$$AB=AB，AC=AD$$，要利用SAS证明全等，需补充条件（） A. $$\angle C=\angle D$$ B. $$\angle BAC=\angle BAD$$ C. $$\angle ABC=\angle ABD$$ D. $$BC=BD$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成________。 7. 用SAS证明全等时，必须严格满足：边、角、边，且角必须是两组对应边的________。 8. 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DEF$$中，$$AB=DE$$，$$\angle B=\angle E$$，补充条件________，可利用SAS证明两三角形全等。 9. 对顶角相等、公共边相等、公共角相等，都是SAS证明中常用的________条件。 10. 两边及其中一边的对角相等（SSA）________（填“能”或“不能”）判定三角形全等。 三、解答题（共60分） 11. 条件判断辨析（每题6分，共24分） 判断下列各组条件能否用SAS判定两个三角形全等，能的说明理由，不能的说明原因： （1）$$AB=A'B'，AC=A'C'，\angle A=\angle A'$$ （2）$$AB=A'B'，BC=B'C'，\angle A=\angle A'$$ （3）$$AC=DF，BC=EF，\angle C=\angle F$$ （4）$$AB=DE，AC=DF，\angle B=\angle E$$ 12. 基础规范证明（每题8分，共16分） （1）已知：如图，AB=AD，$$\angle BAC=\angle DAC$$，AC为公共边。求证：$$\triangle ABC\cong\triangle ADC$$。 （2）已知：如图，OA=OB，OC=OD。求证：$$\triangle AOD\cong\triangle BOC$$。 13. 综合应用证明（每题10分，共20分） （1）已知：AB=CD，AB∥CD，求证：$$\triangle ABC\cong\triangle CDA$$。 （2）已知：点C是AB中点，AC=BC，$$\angle ACD=\angle BCE$$，CD=CE。求证：$$\triangle ACD\cong\triangle BCE$$。 参考答案与解析 一、选择题 1.C 解析：SAS定理核心：两组对应边相等，且两边的夹角对应相等。 2.B 解析：$$\angle A$$是AB、AC的夹角，$$\angle D$$是DE、DF的夹角，满足SAS结构。 3.B 解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定依据。 4.C 解析：SAS关键是“夹角”，SSA无法判定全等，是高频易错点。 5.B 解析：$$\angle BAC$$是AB与AC的夹角，$$\angle BAD$$是AB与AD的夹角，满足SAS夹角条件。 二、填空题 6. 夹角；SAS（边角边） 7. 夹角 8. $$BC=EF$$ 9. 隐含 10. 不能 三、解答题 11. 解： （1）能，$$\angle A$$是AB、AC的夹角，满足SAS； （2）不能，$$\angle A$$不是两组边的夹角，属于SSA，无法判定； （3）能，$$\angle C、\angle F$$为对应夹角，满足SAS； （4）不能，$$\angle B、\angle E$$不是两组对应边的夹角，属于SSA。 12. （1）证明： 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle ADC$$中， $$\begin{cases} AB=AD（已知）\\ \angle BAC=\angle DAC（已知）\\ AC=AC（公共边） \end{cases}$$ $$\therefore \triangle ABC\cong\triangle ADC(\text{SAS})$$。 （2）证明： 在$$\triangle AOD$$和$$\triangle BOC$$中， $$\begin{cases} OA=OB（已知）\\ \angle AOD=\angle BOC（对顶角相等）\\ OD=OC（已知） \end{cases}$$ $$\therefore \triangle AOD\cong\triangle BOC(\text{SAS})$$。 13. （1）证明： $$\because AB\parallel CD$$（已知），$$\therefore \angle BAC=\angle DCA$$（两直线平行，内错角相等）。 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle CDA$$中， $$\begin{cases} AB=CD（已知）\\ \angle BAC=\angle DCA（已证）\\ AC=CA（公共边） \end{cases}$$ $$\therefore \triangle ABC\cong\triangle CDA(\text{SAS})$$。 （2）证明： $$\because$$点C是AB中点，$$\therefore AC=BC$$（中点定义）。 在$$\triangle ACD$$和$$\triangle BCE$$中， $$\begin{cases} AC=BC（已证）\\ \angle ACD=\angle BCE（已知）\\ CD=CE（已知） \end{cases}$$ $$\therefore \triangle ACD\cong\triangle BCE(\text{SAS})$$。 知识点总结与易错提醒： 1. SAS定理口诀：两边夹一角，角在中间，必须是两条对应边的夹角； 2. 致命易错：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等，考试高频陷阱； 3. 常用隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等，可直接作为推理依据； 4. 证明书写规范：必须列出三组对应条件，最后标注判定依据SAS，步骤完整、对应准确； 5. 平行条件可推出等角，是SAS证明中最常用的角度推导方式。 1. 什么叫全等三角形？ 能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角. A B C D E F 知识回顾 ① AB = DE ③ CA = FD ② BC = EF ④∠A =∠D ⑤∠B =∠E ⑥∠C =∠F 2 A B C D E F ① AB = DE ③ CA = FD ② BC = EF ④∠A =∠D ⑤∠B =∠E ⑥∠C =∠F 如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 思考：两个三角形至少需要满足其中的几组元素相等才能说明它们全等呢？ 3 分组合作探究 每个小组选择一种边和角的相等条件，根据给出的条件，每位组员画出对应的三角形，互相比较画出的三角形是否全等，将结果记录在教材的表格中。 推进新课 （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 30° 6 cm （5）有两个角分别相等的两个三角形 （3）有两条边分别相等的两个三角形 （4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形 6 cm 30° 60° 30° 30° 60° （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 不一定全等 不一定全等 不一定全等 （5）有两个角分别相等的两个三角形 （3）有两条边分别相等的两个三角形 （4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形 当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等. 能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等? 用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2cm，2.5cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？ 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. （1）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图. A B C A′ B′ C′ A B C 将△ABC放到△A′B′C′上，使点B与点B′重合，BC落在射线B′C′上，点A与点 A′在BC的同侧，则由BC= B′C′可得，点C与点C′重合. 又∠B =∠B′，则射线BA与射线B′A′重合，由BA= B′A′可得，点A与点A′重合. 于是△ABC与△A′B′C′完全重合，从而△ABC≌△A′B′C′. （2）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图（顶点B与顶点B′ 重合）. A B′(B) C A′ C′ 将△ABC作绕点B的旋转， 旋转角等于∠C′BC， 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. B′(B) C A′ C′ A ∵BC＝B′C′， ∴线段BC的像与线段B′C′重合. ∵∠ABC＝∠A′B′C′， ∴∠C′BC =∠A′BA. 又∵BA=B′A′， ∴在上述旋转下， BA 的像与B′A′重合， 从而AC的像就与A′C′重合， 于是△ABC的像就是△A′B′C′. 由于旋转不改变图形的形状和大小， ∴△ABC≌△A′B′C′. （3）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图. A B C A′′ B′(B′′) C′′ A′ C′ 将△ABC作平移， 使顶点B的像B″和顶点B′重合， 根据情形（1），（2）的结论得△A″B″C″≌△A′B′C′， 因此△ABC≌△A′B′C′. 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. （4）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图. B C A B′ A′ C′ 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. A′′ B C A B′ A′ C′ 将△ABC作关于直线BC的轴对称， △ABC在轴对称下的像为A′′BC，由于轴对称不改变图形的形状和大小， 因此△ABC≌△A′′BC， A′′ B C A B′ A′ C′ 根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′， 因此△ABC≌△A′B′C′. 结论 由此得到判定两个三角形全等的基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. （可简写成“边角边”或“SAS”）. 边角边定理 文字语言： 几何语言： AB = A′B′， ∠A =∠A′， AC =A′C′ ， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SAS）． A B C || | ||| A′ B′ C′ | || ||| 在△ABC 和△ A′B′ C′中， 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）． 提示 今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形的判定定理进行证明即可. 如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO. 求证：△ACO≌△BDO. 证明 在△ACO和△BDO中， AO = BO， ∠AOC =∠BOD，（对顶角相等） CO = DO， ∴ △ACO≌△BDO.（边角边） 例题 2 证明的书写步骤： 1. 准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； 2. 三角形全等书写三步骤： （1）写出在哪两个三角形中； （2）摆出三个条件用大括号括起来； （3）写出全等结论. 结 小 纳 归 “两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法。 A B C C′ A B C A B C′ 发现：顶点 C 可能存在两个位置，两个三角形不一定全等. 【结论】是假命题. 知识点 用边角边判定三角形全等 1.如图所示的三角形中全等的是( ) C A.①③ B.②③ C.①② D.以上都不对 返回 中考考法 22 （第2题） 2.如图，点，在上，， ，要 使 ，还需要添加的一个条件可以是 ( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 23 （第3题） 3.［教材P练习T变式］如图， ， ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 24 （第4题） 4.如图，点在 的平分线上，若能用“边角边” 判定 ，则需添加的一个条件是 __________. 返回 中考考法 25 （第5题） 5.如图，点，，，在一条直线上， ， ，，，则 ___. 6 返回 中考考法 26 6. 如图是某纸伞的截面示意图，伞柄 平分两条伞骨所 成的角，.若支杆 需要更换，则所换长度应与____相等. （第6题） 返回 中考考法 27 7.［2025衡阳期末］如图， ， ，，求证： . 证明：因为，所以 . 在和中， 所以 （边角边）. 返回 中考考法 28 8.［2025常州期中］如图，是边上一点， 交 于点，，，求证： . 证明：在和 中， 所以 （边角边）， 所以，所以 . 返回 中考考法 29 9.如图，公园有一条“”字形道路，其中 ，在点 ，，处各有一个小石凳，且，为的中点，连接 ， ，请问石凳到石凳，的距离， 是否相等？说出你的理由. 中考考法 30 解：石凳到石凳，的距离， 相等. 理由如下：因为，所以 . 因为为的中点，所以 . 在和中， 所以（边角边），所以 ， 即石凳到石凳，的距离， 相等. 返回 中考考法 31 10.在与 中，嘉淇发现有两个结论：①若 ，，，则 ； ②若，， ，则 .对于上述的两个结论，下列说法正确的是( ) C A.①，②都错误 B.①，②都正确 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 返回 中考考法 32 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 三角形全等的判定方法“边角边” ①已知两边，找“夹角”； ②已知一角和该角的一边，找这角的另一边. 注意 课堂小结 $