精品解析：江西省樟树中学2025-2026学年高一下学期期末诊断作业数学试题

樟树中学2028届高一年级下学期期末诊断作业数学作业 作业范围：必修2 作业时间：2026.7．7 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 2. 已知为复数单位，，则的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得，进而可求得，再结合模长公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 所以，则. 故选：A. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定． 5. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 6. 如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 7. 空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 266米 D. 266 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意在中根据余弦定理即可求解. 【详解】解：由题意知：D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影， 设米， ， 则米，米， 在中， 由余弦定理得：， 即， 解得：， 故测量时气球到地面的距离是米． 故选：B. 8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 10. 如图所示，点M，N是函数f（x）=2cos（>0，）的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（－1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则（ ） A. f（0）= B. += C. f（x）的单调增区间为[－1+8k，1+8k]（k∈Z） D. f（x）的图象关于直线x=5对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象以及题中信息求出函数的解析式，可判断出B选项的正误；求出的值，可判断出A选项的正误；结合余弦型函数的基本性质可判断出C、D选项的正误. 【详解】由题意可知，当的面积最大时，点为函数图象上的一个最高点， 设点的坐标为，由余弦型函数的对称性可知，又， 则为等腰直角三角形，且，则直线的斜率为， 得，则点的坐标为， 所以，函数最小正周期为， ， ，得， ，， ，得，则， ∴，A选项正确； ，B选项错误； 解不等式，解得， 所以，函数的单调递增区间为，C选项错误； ，所以，函数的图象关于直线对称，D选项正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点A到直线的距离为定值 D. 三棱锥的体积不为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据底边为定值，高为，为定值，故三角形面积为定值；B选项，根据，所以，故B正确；C选项，A到的距离为定值，C正确；D选项，由等体积法得到三棱锥体积为定值. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确； 对于D，的面积为，而A到平面的距离， 即A到平面的距离，为， 因此，为定值，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标. 【详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键. 14. 如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解. 【详解】因为，若，所以,所以，即， 又因为为斜边的中点，， 所以,, 所以 所以在中，,即, 整理得， 在中，,即, 整理得，， 联立得，， 即， 因为， ， 所以，解得， 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． （1）求复数； （2）复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出复数，由复数的模长、复数的乘法及纯虚数的概念得出方程组，求解即可； （2）先写出复数，，，得到向量，，，再写出，由向量垂直的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 设，因为复数在复平面内所对应的点在第一象限，所以，又，则①， 为纯虚数，则②，由①②可得，则； 【小问2详解】 由（1）得，，，则，，，则， 由可得，即，解得. 16. 已知. （1）若，且，求的值. （2）若，且，求的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解； （2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【小问1详解】 . 所以，因为，则，或. 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 即，所以， 所以，即， 可得或. 因为，则，所以. 所以，故. 17. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1） 由已知， 根据正弦定理可得， 即， 又， 则，即，， 所以， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式进行化简即可； （2）根据余弦定理可得，进而可得，再根据二倍角公式可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 则， 由（1）得， 即， 所以. 18. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证：平面； （2）求证： 平面平面； （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2） 由，是的中点，得， 由平面，得平面， 又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线， 因此平面，而AD平面， 所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2028届高一年级下学期期末诊断作业数学作业 作业范围：必修2 作业时间：2026.7．7 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知为复数单位，，则的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 266米 D. 266 米 8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 10. 如图所示，点M，N是函数f（x）=2cos（>0，）的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（－1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则（ ） A. f（0）= B. += C. f（x）的单调增区间为[－1+8k，1+8k]（k∈Z） D. f（x）的图象关于直线x=5对称 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点A到直线的距离为定值 D. 三棱锥的体积不为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 14. 如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． （1）求复数； （2）复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值． 16. 已知. （1）若，且，求的值. （2）若，且，求的值. 17. 在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）证明：； （2）若，求． 18. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证：平面； （2）求证： 平面平面； （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $