江西省樟树中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2026届高一下学期期末考试数学学科试卷 1、 选择题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. (    ) A. B. C. D. 2. 关于直线，及平面，，下列命题正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 3. 如图所示，在中，，，若，，则(    ) A. B. B. D. 4. 已知复数，，则的代数形式是(    ) A. B. C. D. 5. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为(    ) A. B. C. D. 6. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为(    ) A. B. C. D. 7. 若，则(    ) A. B. C. D. 8. 已知锐角中，，，则边上的高的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2、 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则正确的有(    ) A. B. 与方向相反的单位向量是 C. 与的夹角为 D. 与平行 10. 如图所示，点，是函数的图象与轴的交点，点在，之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则(    ) A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线对称 11. 正方体棱长为，若是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是(    ) A. 平面 B. 存在唯一一点，使 C. 存在无数个点，使 D. 若，则点到直线的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则与的夹角为           ． 13. 底面直径为的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为          ． 14. 已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为           ． 四、解答题：本大题5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 本小题13分 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． 求复数； 复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值． 16. 本小题15分 如图，正三棱柱中，是的中点，． 求证：平面；                  求三棱锥的体积． 17. 本小题15分 在中，为上一点，，，． 若，求外接圆的半径； 若，求面积． 18. 本小题17分 已知向量，设函数，． 求函数的单调增区间； 当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围； 若方程在上的解为，，求． 19. 本小题17分 南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题如图所示，正方体，棱长为． 求图中四分之一圆柱体的体积； 在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线不要求说明理由； 四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 2026届高一下学期期末考试数学学科试卷 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高一下学期期末考试数学学科试卷答案 ABBD BDCD AC AD ACD 15．解：设，则，即， 为纯虚数，且， 由解得：，，； （6分） ，，， ，，， ，，，， ，， ，，．  （13分） 16.解：证明：连接，设，连接， 是正三棱柱，且 ， 四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 平面，平面，平面D.    （7分） 解：正三棱柱中，是的中点， 平面平面，且，平面平面， 平面， （10分）   （15分） 17. 解：由余弦定理， 解得；又，解得； 外接圆的半径为； （6分） 由，得； （8分） 设，则，， 在中， 由余弦定理得，解得； 所以，； （11分） 由正弦定理，即， 解得；所以， 即的面积为．  （15分） 18. 解：由题意可知， （4分） 函数的单调增区间为：， 化简可得： 即的单调增区间为； (6分） 令， 当时，令，则， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 若使得方程有两个不等的实根， 则需函数与有两个交点， 即与有两个交点， ，即； （11分） 由，令，则， 又时，图象关于对称，且 时，图象关于对称，且 等价于， 设，为与的两交点的横坐标，则， ，为方程的两个解，， 即，即， ．  （17分） 19. 解：因为正方体的棱长为，所以四分之一圆柱体的体积为：． （3分） 如图： 曲线是所求的一条交线． （3分） 如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形． 因为，所以，而正方体的棱长为，因此， 所以，因此正方形的面积为， 即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为． （10分） 用平行于八分之一“牟合方盖”底面， 且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”， 所得截面的面积为． 所得截面如图： 正方体的棱长为，为底面的中心， 把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与“牟合方盖”底面放到同一平面上， 则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间， 则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体， 截面为图中的阴影部分，且面积为， 因此八分之一“牟合方盖”的体积为， 所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为．  （17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$