精品解析：江西吉安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

高一下学期期末教学质量检测 数学试题 （测试时间：120分钟卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的方程的一个根，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的实部是 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与是异面直线 B. 正方体的外接球半径为 C. 平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 若是线段上的动点，则平面 11. 如图放置的边长为2的正方形的顶点，分别在轴的正半轴，轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 13. 已知，则________. 14. 如图所示，四面体中，，，分别是，的中点，用一个与直线垂直且与四面体的各个面都相交的平面去截该四面体，得到一个多边形截面，则该多边形的周长是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）设，若，求实数u的值； （2）若与共线，求实数的值． 16. 函数（，）的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且． （1）求a； （2）若，求的面积． 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，． （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在上． （ⅰ）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由； （ⅱ）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，其中为实数． （1）若为偶函数，求的值． （2）当时，求函数在区间的值域． （3）已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末教学质量检测 数学试题 （测试时间：120分钟卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值． 【详解】，，，则. 故选：B. 3. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则或，异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，则使得， 又，则，所以，故C正确； 对于D，若，，则或相交，故D错误． 5. 内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，而， 所以，则， 所以. 6. 已知是关于的方程的一个根，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】也是方程的根，由韦达定理可得答案 【详解】是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的根， 由韦达定理得，故 7. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大小圆锥的侧面积之差， 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由相似得，解得， 所以羽毛所在曲面面积. 8. 已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的实部是 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】. 选项A，实部为，选项A正确； 选项B，，选项B错误； 选项C，，选项C错误； 选项D，，选项D正确. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与是异面直线 B. 正方体的外接球半径为 C. 平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 若是线段上的动点，则平面 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项AC，如图，连接 因为是的中点，所以，且， 在正方体中且， 所以，且， 所以四边形是梯形，故直线与共面，A选项错误. 所以梯形是平面截正方体所得截面图形， 梯形的周长为，C选项正确. 对于选项B，正方体的外接球直径为体对角线，所以半径，B选项正确. 对于选项D：因为，，可知四边形为平行四边形， 则，且平面，平面， 则平面， 同理可得平面， 且，平面， 可知平面平面，且平面，所以平面，故D正确. 11. 如图放置的边长为2的正方形的顶点，分别在轴的正半轴，轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先求得两点的坐标，进而得到的表达式，再利用三角函数性质即可求得的取值范围. 【详解】设，则， 则， 则 又，则，则， 则，则的取值范围为, 所以可能的值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【答案】6 【解析】 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】三角公式求值中变角的解题思路 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 14. 如图所示，四面体中，，，分别是，的中点，用一个与直线垂直且与四面体的各个面都相交的平面去截该四面体，得到一个多边形截面，则该多边形的周长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，找出截面，由平行线分段成比例，即可求解. 【详解】已知四面体，连接，， 在中，，，为中点， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，为中点，故，同理， 由题知四面体中互为异面直线的两条棱长分别相等,故可将此四面体放入长方体中, 设截面与、、、分别交于点、、、，如图所示， 可得，，，， 故此截面为平行四边形，设， 由平行线分段成比例，，， 故平行四边形的周长为，故周长为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）设，若，求实数u的值； （2）若与共线，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ，得，得 【小问2详解】 与共线，且与不共线， ，， 得：． 16. 函数（，）的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数的性质求解不等式. 【小问1详解】 由函数的图象，得， 的最小正周期， 由，得，由，得，而，则， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得， 由，得，则，， 所以不等式的解集为． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且． （1）求a； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理和叠加公式求出，再根据求； （2）根据及求出，再根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得，， ， 又，，， 所以． ，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 【小问2详解】 ，故 ， 解得： ， . 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，． （1）证明：平面； （2）设点为的中点，点在上． （ⅰ）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由； （ⅱ）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面四边形中，，，，， 所以四边形为直角梯形，且， 所以，即， 因为侧棱底面，底面，所以， 且，平面，平面． 所以平面 （2）（ⅰ）是定值，为，理由如下： 连接，因为侧棱底面，，， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 在四棱柱中，，， 因为，，，点为的中点， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 可得， 所以三棱锥的体积为定值． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明，再结合即可证明； （2）（i）连接，证明平面，进而转化为的体积即可判断并求解；（ii）取中点，连接，证明，得是平面与平面所成的二面角的平面角，且，最后在中时最小，并结合对应距离求角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）是定值，定值为； （ⅱ）取中点，连接，， 因为，为中点，所以， 在四棱柱中，点为的中点，所以四边形为平行四边形， 因为侧棱底面，所以底面， 又底面，底面， 所以，， 又，平面，平面， 所以底面，又底面，所以 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 因为， 所以的面积最小时，最小， 在中，最小，则，如下图， 由于，，，故， 所以，在中，， 所以当的面积最小时，平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数，其中为实数． （1）若为偶函数，求的值． （2）当时，求函数在区间的值域． （3）已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求值； （2）分和两种情况，分别令，，再结合一元二次函数求值域； （3）可知是的一个周期，结合第（2）问分别求出在、上的零点个数以及a的范围，结合周期性可求. 【小问1详解】 因为为偶函数，则对恒成立， 则， 可得对恒成立，则. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 令，则， 则， 因为，所以，则，即， 因为，，所以； 当时，， 令，则， 则， 因为，所以，则，即， 因为，，所以； 综上可知，函数的值域为． 【小问3详解】 因为， 所以是的一个周期， 由（2）可知，当时，，， 令，则， 若，则左边为，右边为，显然不成立，故，则， 因为在上单调递减，所以， 则，且当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有一个根，在上存在两个零点， 当时，有一个根，在上存在一个零点； 当时，，， 令，则， 若，则左边为2，右边为0，显然不成立，故，则， 因为在上单调递增，所以， 则，且当时，， 所以当时，有一个根，在上存在两个零点， 当时，有一个根，在上存在一个零点； 故当时，在一个周期内存在一个零点， 因为，则当时的零点必然在内， 若或，则在一个周期内存在偶数个零点， 所以若函数在内恰好有2025个零点，则； 综上所述：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $