奥数培优第15讲 倒推法的应用（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】小学四年级上册奥数培优讲义·第15讲 还原问题——倒推法的应用前言 教学目标与学情分析 波利亚说：解题时，当正向思考遇到困难时，不妨反过来想一想，从结果倒推回去，往往能找到捷径。 还原问题是奥数经典题型，特点是知道最终结果，不知道初始状态，需要从后往前一步步倒推。本讲重点学习倒推法（逆推法），掌握"加变减、减变加、乘变除、除变乘"的逆运算规则，破解各类还原问题。 希望同学们学会逆向思考，巧用倒推法，轻松破解所有还原问题！ 三维教学目标 · 知识与技能： · 掌握倒推法的核心原理与逆运算规则；熟练解决单一变量还原、错中求解、多次操作还原三大类题型。 · 过程与方法： · 学会从结果出发，逆向逐步推导初始状态；通过画流程图、线段图辅助分析，建立有序的逆向推理思维。 · 情感态度与价值观： · 感受逆向思维的巧妙，培养"正难则反"的解题意识，提升逻辑推理与有序思考能力。 教学重难点 · 重点： · 倒推法的逆运算规则；流程图辅助分析；"一半多/少"题型的还原。 · 难点： · 多次操作的复杂还原；"多取了"与"少取了"的区分；多对象互相分配的还原问题。 ⚠️ 【高频易错总提示】 1. 倒推时运算全部反向：加→减，减→加，乘→除，除→乘，不要搞反； 2. "用去一半多3米"倒推时：先加3米，再乘2，顺序不能错； 3. "用去一半少5米"倒推时：先减5米，再乘2，注意与"多"的区别； 4. 多对象分配问题：总数不变，先求最终各是多少，再一步步倒推； 5. 算完一定要正向验算一遍，确保结果正确。 一、知识点总结 （一）什么是还原问题 已知一个数经过一系列运算后的结果，求原来这个数是多少，这类问题叫做还原问题，也叫逆推问题。 （二）核心方法：倒推法（逆推法） 从最终结果出发，按照运算的相反顺序，用逆运算一步步往回算，直到求出初始状态。 逆运算对应表 正向运算 逆向运算 ＋（加） －（减） －（减） ＋（加） ×（乘） ÷（除） ÷（除） ×（乘） （三）三大常考题型 1. 单一变量四则运算型 一个数经过多次加减乘除得到结果，求原数。 解题关键：从结果倒推，每一步都用逆运算，注意运算顺序。 2. 错中求解型 计算时看错数字，得到错误结果，求正确结果。 解题关键：分析看错后多加了多少、少加了多少，再还原修正。 3. 多次操作型 物品多次用去、分配、转移，知道最后剩多少，求原来有多少。 解题关键：从最后剩余量倒推，"用去一半多n"→先加n再乘2；"用去一半少n"→先减n再乘2。 （四）通用解题四步法（速记：找→画→推→验） 1. 找结果：明确最终状态是什么； 2. 画流程：按正向顺序画出运算/操作流程图； 3. 倒着推：从结果出发，用逆运算一步步往回算； 4. 正验算：把求出的原数代入正向计算，验证是否等于已知结果。 二、经典例题 【例1 单一变量四则运算还原】★基础 【题目】 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？ 【解题思路】 从结果4倒着往回推，每一步都用逆运算：减10→加10，除以3→乘3，减46→加46，乘4→除以4。 【完整解析】 正向流程：□ ×4 → －46 → ÷3 → －10 = 4 倒推计算： 最后一步：减10得4 → 减之前是 4＋10 = 14 第三步：除以3得14 → 除之前是 14×3 = 42 第二步：减46得42 → 减之前是 42＋46 = 88 第一步：乘4得88 → 乘之前是 88÷4 = 22 验算：22×4=88，88-46=42，42÷3=14，14-10=4 ✓ 答：这个数是22。 🚀 【随堂小练】 一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。求这个数。 （小练答案：1。验算：(1+8)×8-8=64，64÷8=8 ✓） 【例2 错中求解·加减法看错】★基础 【题目】 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的"和"是123。问：正确的结果应是多少？ 【解题思路】 分析看错数字后，结果是多算了还是少算了，再还原修正。个位5看成9，多加了4；十位8看成3，少加了50。 【完整解析】 个位：把5看成9 → 多加了 9-5 = 4 十位：把8看成3 → 少加了 80-30 = 50 整体：少加了 50-4 = 46 正确结果：123 + 46 = 169 验算：假设正确的另一个加数是x，正确算式是85+x=169→x=84；看错后是39+84=123 ✓ 答：正确的结果应是169。 🚀 【随堂小练】 小明做减法时，把被减数十位上的6看成了9，把减数个位上的3看成了5，结果得120。正确结果是多少？ （小练答案：被减数多看了30，多减了2，正确结果=120-30+2=92。） 【例3 两人分配还原】★★提升 【题目】 学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 【解题思路】 总数36棵不变，先根据最后倍数关系求出两人最终各有多少棵，再一步步倒推。 完整解析 求最终状态： 总数36棵，乐乐是欢欢的2倍 欢欢：36÷(2+1) = 12（棵） 乐乐：12×2 = 24（棵） 倒推第一步：乐乐从欢欢那里抢回6棵之前 乐乐：24-6 = 18（棵） 欢欢：12+6 = 18（棵） 倒推第二步：欢欢抢了乐乐10棵之前（即最初） 乐乐：18+10 = 28（棵） 欢欢：18-10 = 8（棵） 验算：最初乐乐28、欢欢8 → 欢欢抢10棵：乐乐18、欢欢18 → 乐乐抢回6棵：乐乐24、欢欢12，24是12的2倍 ✓ 答：最初乐乐拿了28棵树苗。 【例4 三组图书互相分配】★★提升 【题目】 甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 【解题思路】 总数90本不变，最后三组相等，先求每组最终有多少本，再根据每一组的变化倒推原来的数量。 【完整解析】 求最终状态： 三组相等，每组：90÷3 = 30（本） 倒推甲组： 乙组向甲组借了3本 → 甲组少了3本变成30 甲组原来：30+3 = 33（本） 倒推乙组： 乙组先借了3本（+3），又送出去5本（-5），最后30本 乙组原来：30-3+5 = 32（本） 倒推丙组： 乙组送给丙组5本 → 丙组多了5本变成30 丙组原来：30-5 = 25（本） 验算：甲33+乙32+丙25=90 ✓ 甲借出3本：33-3=30 乙借入3本送出5本：32+3-5=30 丙收到5本：25+5=30 ✓ 答：甲组原来33本，乙组原来32本，丙组原来25本。 🚀 【随堂小练】 甲、乙、丙三人共有糖60颗，甲给乙5颗，乙给丙8颗后，三人一样多。原来各有多少颗？ （小练答案：最终每人20颗。甲25颗，乙23颗，丙12颗。） 三、拓展例题 【拓展1 商店购物多次花钱】★★★拔高 【题目】 某人进A商店购物，先花了身上钱的一半，又花了剩下钱的一半多3元，离开A商店时还有4元钱。问：进A商店时他身上有多少钱？ 【解题思路】 从最后剩的4元倒推，"花了一半多3元"倒推时先加3元再乘2，"花了一半"倒推时直接乘2。 【完整解析】 正向流程：进商店钱数 ÷2 → 再÷2-3 = 剩4元 倒推计算： 第二次花完剩4元 "花了剩下的一半多3元" → 花之前的一半 = 4+3 = 7（元） 第二次花之前：7×2 = 14（元） 第一次花完剩14元 "花了一半" → 进商店时：14×2 = 28（元） 验算：28元→花一半剩14元→花一半多3元（花7+3=10元）→剩14-10=4元 ✓ 答：进A商店时他身上有28元钱。 【拓展2 电线三次用去还原】★★★拔高 【题目】 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原有多少米？ 【解题思路】 从最后剩7米倒推，注意"多"和"少"的区别：用去一半多→倒推先加再乘；用去一半少→倒推先减再乘。 【完整解析】 正向流程：原长 ÷2-3 → ÷2+10 → -15 = 剩7米 倒推计算： 第三次用之前：7+15 = 22（米） 第二次用之前： "用去余下的一半少10米" → 说明没用够一半，还多剩了10米； 余下的一半 = 22-10 = 12（米） 第二次用之前：12×2 = 24（米） 第一次用之前（原长）： "用去全长的一半多3米" → 一半 = 24+3 = 27（米） 原长：27×2 = 54（米） 验算：54米→一半多3米用掉27+3=30米，剩24米→一半少10米用掉12-10=2米，剩22米→用15米，剩7米 ✓ 答：这捆电线原有54米。 🚀 【随堂小练】 一袋米，第一天吃了一半多2千克，第二天吃了剩下的一半少1千克，还剩5千克。原来有多少千克？ （小练答案：20千克。验算：20→吃12剩8→吃3剩5 ✓） 四、基本练习 ★基础 1. 某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？ 2. 某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。 3. 在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？ 4. 小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？ 五、拓展练习 ★★★拔高 1. 有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？ 2. 树上有若干个桔子，第一天摘了一半多2个，第二天摘了余下的一半少1个，第三天又摘了剩下的一半，最后还剩5个桔子。问：树上原来有桔子多少个？ 3. 某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？ 六、基本练习完整分步答案 第1题 题型：单一变量四则运算还原 正向：□ +11 → -12 → ×13 → ÷14 = 26 倒推： 26×14 = 364 364÷13 = 28 28+12 = 40 40-11 = 29 验算：29+11=40，40-12=28，28×13=364，364÷14=26 ✓ 答：这个数是29。 第2题 题型：单一变量四则运算还原 正向：□ +6 → ×6 → -6 = 36 倒推： 36+6 = 42 42÷6 = 7 7-6 = 1 验算：1+6=7，7×6=42，42-6=36 ✓ 答：这个数是1。 第3题 题型：单一变量四则运算还原 正向：125×□ → ÷3 → ×8 → -1 = 1999 倒推： 1999+1 = 2000 2000÷8 = 250 250×3 = 750 750÷125 = 6 验算：125×6=750，750÷3=250，250×8=2000，2000-1=1999 ✓ 答：□内应填入6。 第4题 题型：单一变量四则运算还原（年龄问题） 正向：爷爷年龄 -15 → ÷4 → -6 → ×10 = 100 倒推： 100÷10 = 10 10+6 = 16 16×4 = 64 64+15 = 79 验算：79-15=64，64÷4=16，16-6=10，10×10=100 ✓ 答：小乐爷爷今年79岁。 七、拓展练习完整分步答案 拓展1 题型：三次取一半又一个还原 正向：原有个数 ÷2-1 → ÷2-1 → ÷2-1 = 剩1个 倒推： 丙取之前：(1+1)×2 = 4（个） 乙取之前：(4+1)×2 = 10（个） 甲取之前（原有）：(10+1)×2 = 22（个） 验算：22→甲取11+1=12，剩10→乙取5+1=6，剩4→丙取2+1=3，剩1 ✓ 每个梨价格：8.80÷22 = 0.40（元） 答：每个梨值0.40元。 拓展2 题型：三次操作还原 正向：原有个数 ÷2-2 → ÷2+1 → ÷2 = 剩5个 倒推： 第三天摘之前：5×2 = 10（个） 第二天摘之前：(10-1)×2 = 18（个） 第一天摘之前（原有）：(18+2)×2 = 40（个） 验算：40→摘一半多2个=22，剩18→摘一半少1个=8，剩10→摘一半=5，剩5 ✓ 答：树上原来有桔子40个。 拓展3 题型：两次取款还原（一半多） 正向：原有存款 ÷2-5 → ÷2-10 = 剩125元 倒推： 第二次取之前：(125+10)×2 = 270（元） 第一次取之前（原有）：(270+5)×2 = 550（元） 验算：550→取一半多5元=280，剩270→取一半多10元=145，剩125 ✓ 答：此人原有存款550元。 学科网（北京）股份有限公司 $